2023-2024学年北京海淀高三（上）期中数学试卷（含答案）

2023北京海淀高三（上）期中

数学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合、={小＜2}1={1,2},则ADB=（）

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.{1}D.{152}

2

2.若复数z满足z•i=---，则z=()

1+i

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=lnrB.y=x3C.^=|tanx|D.y=2W

4.已知向量a1满足a=（2』）,a-8=（—l,2）,则ab=（）

A.—5B.0C.5D.7

5.设等差数列{%}的前«项和为s„,且§5=15,则〃2.%的最大值为（）

9

A.—B.3C.9D.36

4

3

6.设a=k>g46,〃=log23,c=/,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

7.“sin6+tan。＞0”是"0为第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.在_A8C中，sinB=sin2A,c=2a,则()

A.NB为直角B.为钝角C.NC为直角D.NC为钝角

9.古典吉他的示意图如图所示.4,8分别是上弦枕、下弦枕，4（i=l,2,,19）是第i品丝.记生为4

X-L

与4T的距离，4为Aj与4的距离，且满足勾=i,i=l,2,…，19,其中XL为弦长（4与B的

距离），M为大于1的常数，并规定4=0.则（）

V

A.数列4,。2,，，“19是等差数列，且公差为-'M14,

B.数列q,《，，％9是等比数列，且公比为-----

M

2M-1

C.数列右,乙，，49是等比数列，且公比为——

M

D.数列，49是等差数列，且公差为

M-

10.在等腰直角三角形ABC中，4B=2,M为斜边的中点，以“为圆心，M4为半径作公，点P在

线段上，点。在衣上，则的取值范围是()

A.[0,V10]B.[0,2+V2]C.[2-V2,V10]D.12—0,2+也]

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数〃x)=lg(x+l)+，的定义域是.

12.在平面直角坐标系X。)，中，角a以Ox为始边，终边经过点P(l,—2),则tan2a=.

13.已知非零向量a=x,+e2),b=G+ye2，其中弓,弓是一组不共线的向量.能使得a与匕的方向相反

的一组实数的值为x=,丁=.

14.已知函数/(x)=2sin(&x+0)的部分图象如图所示.

①函数/(%)的最小正周期为

②将函数的图象向右平移（>0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若函数g（x）为奇函数，贝打

的最小值是.

15.已知函数=给出下列四个结论：

[x+2ax.x>a

①当a=0时，/（x）的最小值为0；

②当时，/（x）存在最小值；

③/（%）的零点个数为g（。），则函数g（。）的值域为｛0,1,2,3｝；

④当。21时，对任意不/eR,/（xJ+/（X2）N2/（七三）.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知无穷等比数列｛4｝的各项均为整数，其前"项和为工吗=3,4+%=10.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）证明：对VZeN*,3晶,2S&M，1+2这三个数成等差数列.

17.已知函数/（x）=2cosx-cos（x+e）（M<^）,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作

为己知，使函数/（X）存在.

条件①：=

TT

条件②：函数/（X）在区间0,-上是增函数；

条件③：

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（1）求。的值；

1T

（2）求/（X）在区间-5,0上的最大值和最小值.

18.已知曲线C:y=4—无2与x轴交于不同的两点A3（点A在点8的左侧），点尸«,0）在线段A3上

（不与端点重合），过点P作x轴的垂线交曲线C于点Q.

（1）若△APQ为等腰直角三角形，求△APQ的面积；

(2)记△APQ的面积为S(r),求S(。的最大值.

19.某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道co,长为50m,如图所示.现要测是

A,8两点之间的距离，工作人员分别在C,。两点进行测量，在C点测得NA8=45。，ZBCD=30°；

在0点测得乙4。3=135°,/5。。=12()°.(A,8,C,。在同一平面内)

(1)求A8两点之间的距离;

(2)判断直线CO与直线是否垂直，并说明理由.

20.己知函数〃尤)=*鬓，且/⑴4/⑷染.

(1)求。力的值；

(2)求/(尤)的单调区间；

(3)设实数加满足：存在ZwR,使直线丫=辰+机是曲线y=/(x)的切线，且丘+加2/(力对

xe[0,4s)恒成立，求机的最大值.

21.设无穷数列｛%｝的前“项和为",乩｝为单调递增的无穷正整数数列，记A“=S褊-％,(〃=1,2,…),

定义。=｛/eN*%—S/0次=/+1"+2,,｝.

⑴若aa=〃,*=〃2(〃=1,2,),写出4，42的值；

(1

(2)若a“=——(”=1,2,),求C；

、2)

1,x>0,

⑶设sgn(x)=<0,x=0,求证：对任意的无穷数列｛a“｝,存在数列使得｛sgn(A,)｝为常数歹ij.

-1,x<0.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.【答案】B

【分析】根据并集的运算即可求解.

【详解】A集合包含所有小于2的实数，8包含1和2两个元素，所以Au8={x|x<2},

故选：B.

2.【答案】A

【分析】根据复数除法和乘法运算法则计算.

2122(TT)=2(-l-i)-

【详解(-l+i)(-l-i)-1+1

故选：A.

3.【答案】D

【分析】A选项，y=定义域不关于原点对称，不是偶函数；B选项，/（x）=%3为奇函数；C选项,

根据8（兀）=8（2兀）=0得到C不满足在区间（0,+8）上单调递增；D选项，判断出函数为偶函数且在

（0,+8）上单调递增.

【详解】A选项，y=hl丫的定义域为（0,+8）,定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；

B选项，f（x）=d的定义域为R,且/（_%）=__?=_/（£）,故/（x）=d为奇函数，B错误;

C选项,设g（x）=kanx|,因为g（jr）=|tan兀|=0,g（2兀）=|tan27tl=0,

故丁=卜刎在（0,+8）上不单调递增，c错误；

D选项，〃（%）=2凶的定义域为区，且〃（一%）=2问=2凶=〃（刀），故〃（x）=2凶为偶函数，

又当x>0时，网力=2"在（0,+8）上单调递增，故满足要求，D正确.

故选：D

4.【答案】C

【分析】先求出》="一（。一。）=（3,-1）,进而利用向量数量积公式求出答案.

【详解】因为a=（2,l）,a—6=（—1,2）,所以。=“一（。一4=（2,1）—（一1,2）=（3,—1）,

故am=(2,l>(3,_l)=2x3—l=5.

故选：C

5.【答案】C

【分析】先求得小的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为"，则S5=5G+1（W=15,6+22=3,

Z\2

也即%=3,所以2以=d=9，

I2,

当且仅当4=4=3时等号成立.

故选：C

6.【答案】D

【分析】首先将这三个数化为同底的对数，再根据单调性比较大小.

【详解】a=log46=log,V6-b=log23=log2>/9,

32/-

c=—=log22=log2A/8，

因为y=log2X是增函数，yje<yfs<49<

所以“<c<b.

故选:D

7.【答案】C

【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.

【详解】因为sine+tane=1m°（c°s,+l）>。时,则tan8>0,

cos。

所以。为第一或第三象限角，

反之，当。为第一或第三象限角时，tan0>0,所以sine+tan6>0,

综上，“sin6+tan。>0”是"。为第一或第三象限角''的充分必要条件，

故选：C

8.【答案】C

【分析】由正弦定理边化角得COSA=2,结合余弦定理和。=2。化解，可求出A,B,C.

2a

、b

【详解】由sin8=sin2A=2sinAcosA,即Z?=2acosA,cosA=一,

2a

1

又c=2。，所以cosA=b———b+4/-/=~^~，化简得。=百0,

2hc2h-2a2a

则Q:〃：c=1:G:2，故在中，A=t，3=g,C=],

故选：C

9【答案】B

【分析】根据项与前〃项和的关系结合条件可得。卬=-----%，根据等比数列的概念进而判断AB,结合

M

条件可得4I=XL—X/上一，进而判断CD.

-L"IM]

［详解］因为q=EL—LT,j=i,2,.,19,4=0,

M

X

所以q=号fci

iM

X「Li_XL-L1=一(『Li)_2L

所以4*1=

MM~M~M

aM

即a=a,.一一=-----q,又M为大于1的常数,

,M+11MM'

ci,.M—\M-1

所以:；=，即数列4a2，吗9是等比数列，且公比为下一，故A错误，B正确;

由上可知卬=*M-l尸X-L

，又a尸二~~^,i=l,2,』9,

MIM

"M-li-lM-P

所以4|，A

l—l।XLFXLF

M-l

1-

LM

所以「=—2,3,』9不是常数，故C错误;

M-\

M

所以乙―4i=x/丝4]—x/"二?|"=2,3,,19,不是常数，故D错误.

，1-1\M）L\M）

故选：B.

10.【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算即可得|AP+M。卜J（a+正cos"+'近+0sin6『，进而将

J(a+0cos6)+(-0+0sin9)可看作是点。（夜cos。,夜sin。）到点网-必旬的距离，即可

求解.

【详解】以M为圆心，以MA,例C为尤,丁轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由于AB=AC=2,所以3C=20,3M=CM=血,

由于点。在AC，不妨设Q（&cos。,sin。），0G0,1-

A（0,血），尸（a,0）,其中一血«“《血,

AP+MQ=(4,-0)+(后cos仇V2sin0=(a+gcos4-夜+V2sin6),

所以JAP+M。卜+V2cos+(-V2+V2sin6^，

J(a+Ocos("+丘sin可看作是AC上的点Q(&cos6,0sin6)到点R(—a,亚)的距

离，

由于点R(~a,y/2)在线段y=-后＜J5)上运动，

故当点E(-”,、历)运动到点£卜血,0)时，此时距离最大，为

CE=dCF2+EF2=«可+(2⑸=M，

当点网-a,码运动到点A(0,⑹时，此时距离最小为0,

综上可知：卜尸+/。，［(),而］,

故选：A

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】(-1，0)50，+8)

【详解】要使函数/(x)=lg(x+l)+g有意义，贝上x+1>0

-0，解得X>-W。，所以函数

y(x)=lg(x+l)+-的定义域是(-l,o)u(o,+a))，故答案为(-l,o)u(o,+(x).

4

12.【答案】一

3

【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.

【详解】由三角函数的定义可知tana=-2,

2tana_-44

所以tan2a=

1-tan2a1-43

4

故答案为：一.

3

13.【答案】①.-1(不唯一)②.1

【分析】设a=，仇几<0)，则有xex+xe2=4q+Aye2,列出方程组求解即可.

【详解】解：设a=/l〃(/l<()),

则有x,+02)=+ye2),

即xet+xe2=Aet+Aye2,

x=A

所以《，，所以X=D(X<0),解得x<O,y=l,

x=Ay

取x=-l,y=l.

故答案为：-1(不唯一)，1

14.【答案】—②.g

28

【分析】空1：可由图像直接读出半个周期，进而可得周期大小；空2：通过周期大小和函数上的点(0,1),

可求出/(x)的解析式，再平移得到g(x),然后根据奇偶性求参即可.

【详解】空1：由图可知一7=三一0=」,即T=」

2442

.,2兀37t4

空2：—=—t1n=

323

则/(x)=2sin(gx+*),又过点(0,1),

所以/(0)=2sin夕=1,即sin夕=；,

又(0,1)在原图增区间上，所以可取9=^+2版次wZ,

6

所以/(1)=2sin'工+弓+2%兀］=2$m(31+.),&eZ,

47C(4兀4)

向右平移f(f>0)个单位可得g(x)=/(xT)=2sin-(x-t)+-=2sin-x+---t,

_3oJ\3637

jr4

又g(x)为奇函数，所以-----f=E,左eZ,

63

即1=工一人.羽，氏eZ,

84

又f>0,

-_,,7T

所以4nin

O

故答案为：y；f.

15.【答案】①③

【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判

断④.

2\x<Q

【详解】对①，当a=0时，=<

x2,x>0

当x<0时，0<2'<1，当xNO时，x2>0,

综上，/(x)的最小值为0,①正确;

2"+Q,X<Q

对②，u<—〃尤)=,

3X1+2or,x>a

当工<。时，

当工之。时，若。<0,X2+2ax>a2-2a2=-a2；若。WaW；,x2+2ax>a2+2a2=3a2，

如。=一;时，/(无)>—3,函数不存在最小值，②错误；

对③，当a<0时，2、+a=()最多一个解，

y=J+2ax=0得％=0或%=-2a，

如°=一1时，/(尤)=〈，，由2*-1=0可得x=0(舍去),

''X2-2X,X>-1

由丁一2%=0得x=0或x=2,故此时/(x)两个零点，即g(a)=2；

Lx11

12——n，x<——oi

如。=——时，〃X)=〈;，由2*-：=0可得%=—1,

22、12

x—x,x2—

2

由d—x=0得x=0或x=l，故此时三个零点，即g(a)=3；

[2X%<0

当々=0时，f(x]=<5，由2"=0可得xw0，

[x,x>0

由/=0得1=0,故此时/(%)一个零点，即g(a)=l；

“、12”+〃,1〈。

当Q〉o时，f(x)=<?时，2"+a>0，2'+4=0无解,

时，X2+lax>0，工2+2狈=。无解,

此时，(力没有零点，即g(a)=o

综上，g(a)的值域为{0,1,2,3},故③正确；

2"+4%<4

对④，当a与时，如a=4时，f(x)=\,',

[X2+8X,X>4

"3)=12,/4)=48,45)=65,此时〃3)+/(5)=77<2,f(4)=96,故④错误.

故答案为：①③

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零令/(力=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[。,可上是连续不断的曲线，且还必须

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.【答案】16.3”T17.证明见解析

【分析】(1)设出公比，代入已知条件，解方程即可；

(2)按照等差数列的定义，作差即可证明.

【详解】(1)设公比为夕，由题意有4+%=&+。应=10

q

代入4=3得3/—1。4+3=0,故q或3

又各项均为整数，故4=3

于是。"=々'3"2=3"!

1-3”3"-1

(2)由(1)得1

1-32

3*+i-13*-11+3川

所以2sHi—3&=2-^—一3・丁

2

3-2—11+3A+1

SJI+2_2S&+]-------------2•

222

所以2sA「3S.=兀2-2S^=空■•

所以3SQ2SN，S*+2是以匕工二为公差的等差数歹!].

2

17.【答案】(1)选择见解析；答案见解析

（2）答案见解析

【分析】（1）根据题意先把函数/（x）进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三

角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数/（X）存在，从而求解;

（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数/（尤）的解析式，然后求出在区间一5,0上的最大值

和最小值.

【小问1详解】

由题意得：/(x)=2COSJC-cos(x+^)=2cos[cosxcos。一sinxsin(p\

=2cos(pcos2x-2sinecosxsinx=coscp(cos2x+l)-sin(psin2x

=cos(pcos2x-sin0sin2x+coscp-cos(2%—°)+cos(p

COS/COS当2K［一仙谡吟与OS。一冬in°=cos"升711,

当选条件①：

33

I兀|兀兀ULI、I兀兀571

又因为一，所以K一所以——<—，

222636

“I兀TTTT

所以cos[e+§=1时，即得：夕+§=0,即9=—

当选条件②:

/(x)=2cosx•cos(x+°)=cos(2x一夕)+cos°

从而得：当2k1-7142》一。42版,左€2时，/（x）单调递增,

化简得：当也一■|+}14也+多02时，“X）单调递增,

又因为函数/（x）在区间0。上是增函数,

kn--+—<0

9?TT

所以得：,,keZ,解之得：-2far+—<0<-2E+兀次EZ,

E+32

24

当％=0时，得兀，与已知条件时<>|矛盾，故条件②不能使函数八无）存在.

故：若选条件②，⑴不存在.

当选条件③：

[g),/(x)=2co&x•cos(x+o)=cos(2x一6+cos°,

由VxeR,/(x)之/

得当x时，COS（2X-^9）=COS-=-1,又因为Ml〈色,

3\3）2

47rjr

所以得,一8=兀，得0=".

33

【小问2详解】

当选条件①：

由（1）知：（p=q,则得：/（x）=cos（2x+?+g,

又因为xe--,0,所以2》+弓€，

2333」

当选条件③：

由（1）知：0=三，则得：/（x）=cos（2x-1J+；,

又因为xe£,0,所以2x一枭一年,4

所以当x=0时，/（可有最大值/⑼=」+人；

22

II

所以当*=一二时,+-C0S(-7t)+—=

32\)22

9

18.【答案】(1)

2

128

(2)—

27

【分析】（1）求得AB,P,Q的坐标，从而求得三角形AP。的面积.

（2）先求得三角形APQ面积的表达式，然后利用导数求得面积的最大值.

【小问1详解】

依题意,AP±PQ,所以|AP|=|尸Q],

由尸（右0）,得式/,4一产）,

则1一（一2）=4-巴解得"1或"—2（舍去），则尸（1,0）,。（1,3）,

19

所以SAP0=—x3x3=—.

APQ22

【小问2详解】

由PQ,O），得Q（f,4-2）,

则S（r）=gx«+2）x（4—户）=—/+2f+8（—2<r<2）,

5，（。=_|产_力+2=3产,4/+4

3产+4L4_（f+2）（3-2）

------------------------------------------------------------------------------------------------------------f

22

所以s（f）在区间12,g［上y（r）>O,S（f）单调递增，

在区间（1,2）上S'«）<0,S（，）单调递减，

所以S。）的最大值是S（g）=Jx（g+2）（4-［）=Jxgx£=等.

19.【答案】（1）50V5m

（2）直线CO与直线AB不垂直，理由详见解析.

【分析】（1）先求得AD,BD,利用余弦定理求得AB.

（2）先求得AC,BC,然后根据向量法进行判断.

【小问1详解】

依题意，Z4cD=45。，/BCD=30°,^ADB=135°,ZBDC=120°,

所以ZADC=360°-135。-120。=105°,ZCAD=180。一45。—105。=30°,

ZCBD=180°-120°-30°=30°=/BCD,所以8。=8=50,

在三角形ACD中，由正弦定理得上2-=-,AD=5072,

sin45°sin30°sin30°

在三角形ABD中，由余弦定理得AB=J5O2+（50>/2）2-2x50x505/2xcos135°=506m.

【小问2详解】

在三角形BCD中,由余弦定理得BC=V502+502-2x50x50xcosl20°=50百，

sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin450=好乎一，

ACCDAC50100

在三角形ACO中，由正弦定理得sinl050-sin30°'#+&一丁一,

~~4~2

AC=25（6+0）,

直线CD与直线不垂直，理由如下：

CDAB^CD（CB-CA^^CDCB-CDCA

=50X50A/3XCOS30。-50X25（V^+V^）XCOS45°

=2500-1250^^0,

所以直线CO与直线AB不垂直.

20.【答案】（1）a=0,b=3

（2）增区间（0,1）,减区间（1,+8）

⑶-

4

【分析】（1）根据已知条件列方程组，从而求得。力.

（2）利用导数求得“力的单调区间.

（3）结合/（力的图象、切线以及不等式恒成立求得优的最大值.

【小问1详解】

J\）Ih4

依题意，:+c，解得a=0力=3.

r/八2+a2

，（）―16+厂历

【小问2详解】

由（1）得/（力=^^@20），/（。）=。，

当x＞0时,r（力=

所以/（X）在区间（0,1）上r（x）＞OJ（x）单调递增，

在区间（L+OO）上/'（尤）＜0J（x）单调递减.

【小问3详解】

由（2）得r（i）=o,/（i）=；,

所以y=的图象在x=l处的切线方程为y=；,此时〃?=；.

同时，/（力皿'=/（1）=；,因此去+加2^在％e[°，+°0）时恒成立，

3（l+x）1-x

直线y=履+〃?是曲线y=/（x）的切线，则k=2G'7T-，

结合图象可知，当《＜0时，履不恒成立.

当人=（）时，"?=；，恒成立.

当人＞0时，〃2＜,，因此mW,，所以的最大值为

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y