新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(安徽高考)

薪符.彩行.港教学选砂2—2第一章课后习题解答

第一章导数及其应用

3.1变化率与导数

练习(P6)

在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和3.它说明在第3h附近，原油温度大

约以1C/h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3C/h的速率上升.

练习(P8)

函数〃«)在/=4附近单调递增，在/=%附近单调递增.并且，函数丸«)在。附近比在J附近

增加得慢.说明：体会“以直代曲”的思想.

练习(P9)

函数=的图象为

根据图象，估算出'(0.6)*0.3,/(1.2)«0.2.

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意

义估算两点处的导数.

习题1.1A组(P10)

1、在，。处，虽然叱(幻=明9)，然而叱优一也吗优)-吗(…/).

—2-AZ

所以，企业甲比企业乙治理的效率高.

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

ZVz_/l(l+A0-/l(l)_grrf,_22

2、—=------------=-4.9A1-3.3,JTTkA>h(1)=-3.3.

ArAr

这说明运动员在r=ls附近以3.3m/s的速度下降.

3、物体在第5s的瞬时速度就是函数s«)在，=5时的导数.

As_s(5+^t)-s(5)_in时、］

——△/+10,/TT9s(5)-10.

NtAZ

因此，物体在第5s时的瞬时速度为10m/s,它在第5s的动能E*=工><3x102=15。j.

2

4,设车轮转动的角度为e,时间为/,则。=比2«〉0).

由题意可知，当f=0.8时，6=271.所以左=且，于是。=三产.

88

车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度就是函数8。）在7=3.2时的导数.

仇3.2+At）—8（3.2）25〃.山…八，小小

——=—--------------=——At+20〃，所以夕（3.2）=20〃.

AtAZ8

因此，车轮在开始转动后第3.2s时的瞬时角速度为20乃s-L

说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知，函数/（x）在无=-5处切线的斜率大于零，所以函数在1=-5附近单调递增.同

理可得，函数/（X）在x=T,-2,0,2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调

递减.说明：“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数;"（x）的图象

如图（1）所示；第二个函数的导数/''（X）恒大于零，并且随着x的增加，7•'（》）的值也在增加;

对于第三个函数，当x小于零时，/''（》）小于零，当x大于零时，/'（X）大于零，并且随着x的

增加，/'（X）的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.

习题3.1B组（P11）

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是

速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.

说明：由给出的V。）的信息获得S。）的相关信息，并据此画出5（/）的图象的大致形状.这个

过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.

3、由（1）的题意可知，函数/（X）的图象在点（1,-5）处的切线斜率为-1,所以此点附近曲

线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得（2）（3）某

点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.

说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思

想的领悟.本题的答案不唯一.

1.2导数的计算

练习(P18)

1、/''(%)=2x—7,所以,"2)=-3，八6)=5.

1

2、(1)(2)y'=2e>

xln2

(3)y'-10x4-6x；(4)y'=-3sinx—4cosx；

ixi

(5)y=--sin-(6)y'=,.

33;-27^1

习题1.2A组(P18)

1、2nr+Ar,所以，S'(r)=lim(2^r+Ar)=Inr.

ArAr=Ar^°

2、//(，)=—9.8,+6.5.

3

3、/(V)=4i

3:4万丫2

4,(1)y'=3x2H---(2)y=

xln2

/0、,3x2sinx-x3cosx+cosx

⑶，=-----------------(4--)--y=990+1)3

(5)y=—2d>(6)y'sin(2x+5)+4%cos(2x+5).

5、/'(x)=—8+2后.由/(%)=4有4=—8+28/,解得/=30.

6、(1)y'=Inx+l；(2)y=x—l.

7、y=--+1.

71

8、(1)氨气的散发速度A'«)=500xln0.834x0.834’.

(2)4(7)=-25.5,它表示氨气在第7天左右时，以25.5克/天的速率减少.

就越来越逼近函数y=cosx.

2、当y=0时，x=0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).

所以y'k°=—1.

所以，曲线在点尸处的切线的方程为丁=-%.

2、d\t)=-4smt.所以，上午6:00时潮水的速度为-0.42m/h；上午9:00时潮水的速度为

-0.63m/h；中午12:00时潮水的速度为-0.83m/h；下午6:00时潮水的速度为-1.24m/h.

1.3导数在研究函数中的应用

练习(P26)

1、(1)因为/(%)=犬—2x+4,所以/''(x)=2x—2.

当/(x)>0,即1>1时，函数_/(x)=f—2x+4单调递增;

当―<0,即无<1时，函数/(x)=必一2》+4单调递减.

(2)因为/(x)=/—x,所以尸(x)=H—1.

当小)>0,即尤>0时，函数/(x)=e、—x单调递增；

当;''COvO,即无<0时，函数/(x)=e、—x单调递减.

(3)因为/(x)=3x-d,所以八x)=3-3f.

当八%)>0,即一1cx<1时,函数/(x)=3x-d单调递增；

当仁(x)<0,即x<-l或x>l时，函数/(x)=3x-d单调递减.

(4)因为f(%)—x3—x2—x,所以f\x)—3x"-2.x—1.

当/''(x)>0,即x<—；或x>l时，函数/(x)=d-f一x单调递增;

当了'(%)<。，即一§<九<1时，函数/(%)=V一九2—%单调递减.

2、

注：图象形状不唯一.

3、因为/(x)=ax2+bx+c{a0),所以/'(x)=2ox+b.

(1)当〃>0时，W

/(x)>0,即无>-时函数/(%)=依+Zzx+c(iwO)单调递增;

r(%)vo,即尤<-时函数/(x)=ax2+bx+c(aw0)单调递减.

2

/(x)>0,即%<-时函数/(x)=ax2+bx+c(aw0)单调递增;

时

f\x)<0,即光〉-函数/(%)=。%2+/?%+c(4zwO)单调递减.

4、证明：因为/(%)=2炉一6/+7,所以/'(%)=6/—12%.

当无£(0,2)时，/r(x)=6x2-12%<0,

因此函数/(x)=2%3—6尤2+7在(0,2)内是减函数.

练习(P29)

1、12，工4是函数y=/(%)的极值点，

其中％=冗2是函数y=/(x)的极大值点，％=X4是函数丁=/(%)的极小值点.

2、(1)因为/(%)=61—%—2,所以/'(x)=12x—1.

令—(%)=12%—1=0,得%=\.

当九〉七时，/,(%)>0,/(%)单调递增；当尤<，时，ff(x)<0,/(x)单调递减.

111149

所以，当工=—时，/(%)有极小值，并且极小值为/(—)=6x(—)2-----2=—-.

121212122^^

(2)因为/(X)=%3_27X,所以八x)=3/-27.

令/'0)=3必—27=0,得％=±3.

下面分两种情况讨论：

①当/''(x)〉。，即x<—3或x>3时；②当/''(x)<0,即—3<x<3时.

当X变化时，f\x),/(X)变化情况如下表:

X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+oo)

/'(X)+0一0+

/(X)单调递增54单调递减-54单调递增

因此，当x=-3时，/(x)有极大值，并且极大值为54；

当％=3时，有极小值，并且极小值为-54.

(3)因为/(x)=6+12x—Y,所以0(x)=12—3炉.

令八x)=12-=0,得x=±2.

下面分两种情况讨论：

①当_f(x)>0,即一2<x<2时；②当/'(x)<0,即x<—2或x>2时.

当了变化时，变化情况如下表：

(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

/'(X)一0+0一

/(X)单调递减-10单调递增22单调递减

因此，当x=-2时，/(X)有极小值，并且极小值为-10；

当x=2时，/(x)有极大值，并且极大值为22

(4)因为_/(x)=3x—V,所以八乃=3-3炉.

令八x)=3-3x2=0,得％=±1

下面分两种情况讨论：

①当/''(x)>0,即一1<X<1时；②当/''(x)<0,即x<-4或尤>1时.

当x变化时，/'(x),“九)变化情况如下表：

X(F,-1)-1(-1,1)1

/'(X)一0+0一

/(X)单调递减-2单调递增2单调递减

因此，当％=-1时，/(无)有极小值，并且极小值为-2；

当x=l时，/(x)有极大值，并且极大值为2

练习(P31)

1149

(1)在［0,2］上，当％时，/(x)=6x2—x-2有极小值，并且极小值为/(石)=—五.

又由于/(0)=—2,/(2)=20.

4Q

因此，函数/(》)=6必-x-2在［0,2］上的最大值是20、最小值是-一.

24

(2)在［-4,4］上，当x=—3时，/(x)=%3-27x有极大值，并且极大值为/(-3)=54；

当％=3时，/(x)=d-27x有极小值，并且极小值为/(3)=-54；

又由于/(T)=44,/(4)=-44.

因此，函数/(%)=^-27%在［-4,4］上的最大值是54、最小值是-54.

(3)在［-；,3］上，当尤=2时，/(x)=6+12x-/有极大值，并且极大值为/(2)=22.

又由于八一3)=||，八3)=5

因此，函数/(x)=6+12x-/在~g,3］上的最大值是22、最小值是

(4)在［2,3］上，函数/(x)=31-/无极值.

因为/'(2)=-2,/(3)=-18,

因此，函数/(幻=3%-^在［2,3］上的最大值是-2、最小值是-18.

习题1.3A组(P31)

1、(1)因为/(x)=—2x+l,所以/''(%)=-2<0.

因此，函数/(x)=-2x+l是单调递减函数.

TTTC

(2)因为/(x)=x+cosx,xe(0,—),所以/''(x)=1—sinx>0,xe(0,—).

因此，函数/(x)=x+cosx在(0,9)上是单调递增函数.

(3)因为/(x)=—2x—4,所以/'(x)=—2<0.

因此，函数/'(x)=2x-4是单调递减函数.

(4)因为/(乃=2/+4%，所以广(幻=6炉+4〉0.

因此，函数/(x)=2x3+4x是单调递增函数.

2、(1)因为/(%)=/+2%—4,所以7''(%)=2x+2.

当_f(x)>0,即x>-L时，函数/(%)=三+2工一4单调递增.

当一(%)<0,即1<-1时，函数/(x)=必+2x-4单调递减.

(2)因为/(x)=2x2-3x+3,所以八x)=4x-3.

3

当/>'(x)>0,即x〉一时，函数/(x)=2x2-3x+3单调递增.

4

3

当/''(x)<0,即TV/时，函数/(%)=2%2-3》+3单调递减.

(3)因为/(x)=3x+V,所以0(x)=3+3/>0.

因此，函数/(x)=3x+d是单调递增函数.

(4)因为70)=X3+f—x,所以/0)=3/+2%—1.

当/''(%)>0,即x<—1或X〉g时，函数/(X)=+%2一X单调递增.

当/''(%)<0,即—1<X<；时，函数/(X)=+%2-X单调递减.

3、(1)图略.(2)加速度等于0.

4、(1)在x=%2处，导函数y=/'(x)有极大值；

(2)在％=石和x=》4处，导函数y=/'(%)有极小值；

(3)在x=%3处，函数y=/(x)有极大值；

(4)在x=%5处，函数y=/(%)有极小值.

5、(1)因为/(x)=6必+》+2,所以/'(x)=12x+l.

令r(x)=i2x+i=o,得％=吊.

当X〉-J时，/'(%)>0,/(x)单调递增；

当x〈—七时，f\x)<0,/(%)单调递减.

11114Q

所以，X=---时，/(%)有极小值,并且极小值为/(---)=6x(---)2----2=---.

1212121224

(2)因为&)=X3—⑵,所以/。)=3/—12.

令尸(x)=3f—12=0,得］=±2.

下面分两种情况讨论：

①当八%)>0,即x<—2或x>2时；②当/'(x)<0,即—2<x<2时.

当X变化时，/(X),/(X)变化情况如下表:

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+QO)

/'(X)+0一0+

/(X)单调递增16单调递减—16单调递增

因此，当犬=-2时，/(X)有极大值，并且极大值为16；

当x=2时，/(x)有极小值，并且极小值为-16.

(3)因为/(x)=6—12x+d,所以r(x)=—12+3/♦

令广(%)=—12+3/=0,得％=±2.

下面分两种情况讨论：

①当_f(x)>0,即x<—2或%>2时；②当/'(x)<0,即一2<无<2时.

当x变化时，/'(x),“九)变化情况如下表：

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+00)

/'(X)+0一0+

/(X)单调递增22单调递减-10单调递增

因此，当x=-2时，/(X)有极大值，并且极大值为22；

当x=2时，有极小值，并且极小值为-10.

(4)因为/(x)=48x—/，所以尸(x)=48—3/.

令尸(x)=48-3/=0,得1=±4.

下面分两种情况讨论：

①当r(x)>0,即尤<—2或x>2时；②当/''(x)<0,即一2<x<2时.

当x变化时，变化情况如下表：

(-00,-4)-4(T4)4(4,+oo)

/'(X)—0+0—

/(x)单调递减-128单调递增128单调递减

因此，当x=T时，/(x)有极小值，并且极小值为-128；

当％=4时，有极大值，并且极大值为128.

147

6、(1)在［-1,1］上，当x=-上时，函数/。)=6f+工+2有极小值，并且极小值为二.

1224

由于/(—1)=7，/(1)=9，

47

所以，函数/(》)=6必+%+2在上的最大值和最小值分别为9,—.

24

(2)在［-3,3］上，当％=-2时，函数/(x)=d—12x有极大值，并且极大值为16；

当x=2时，函数/(x)=x3-12x有极小值，并且极小值为-16.

由于/(—3)=9,”3)=—9，

所以，函数/(X)=X3_12X在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16,-16.

(3)在［-上，函数/(x)=6-12X+X5在［—；1］上无极值.

由于〃」)=箸，阿=-5,

所以，函数/(x)=6-12x+/在［_」/］上的最大值和最小值分别为当，-5.

327

(4)当x=4时，/(x)有极大值，并且极大值为128..

由于/(-3)=-117,45)=115,

所以，函数/(x)=48x-/在卜3,5］上的最大值和最小值分别为128,-117.

习题3.3B组(P32)

1、(1)证明：设/'(x)=sinx-尤，xe(0,TT).

因为/'(x)=cosx—l<0,xe(0,TT)

所以/'(%)=5也%-了在(0,乃)内单调递减

因此/(x)=sinx-x</(0)=0,xe(0,7i),BPsin%<%,xG(0,7i).图略

(2)证明：设/(x)=x-f，xe(0,1).

因为/''(%)=l—2x,xe(O,l)

所以，当xw(0,5)时，/,(x)=l-2x>0,/(x)单调递增，

/(x)=12〉/(0)=0；

当xe(g,l)时，/'(%)=1—2%<0,/(x)单调递减，

/(x)=x-x2>/(l)=0；

Xy(1)=l>0.因此，x-x2>0,xe(O,l).图略

(3)证明：设/(%)=靖—1—x,x^O.

因为/'(x)=eX—l,XHO

所以,当尤>0时，f'(x)=ex-l>0,单调递增，

/(x)="——>/(0)=0；

当尤<0时，f'(x)=eA-1<0,/(x)单调递减，

综上，ex-l>x,XHO.图略

(4)证明：设/(%)=lnx-x,x>0.

因为/''(x)=L—1,无20

X

所以，当0<%<1时，/(%)=--1>0,_/■(%)单调递增，

X

/(x)=lnx-x</(I)=-1<0；

当x>l时，/'(%)=--1<0,/(%)单调递减，

/(%)=lnx-x</(I)=-1<0；

当x=l时，显然Inlvl.因此，］nx<x.

由(3)可知，ex>x+l>x,x>0.

.综上，inx<x<ex,x>0图略

2、(1)函数“^)=加+/+5+2的图象大致是个“双峰”图象，类似“/、,，或“s”

的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估

计它的单调区间.

(2)因为/(x)=ax3+Z?x2+cx+d,所以/'(%)=3ax2+2bx+c.

下面分类讨论：

当时，分〃>0和〃<0两种情形：

①当a>0,且"-3ac>0时，

设方程/'(x)=3ax2+2bx+c=0的两根分别为七,々，且再<々，

当f(x)=3ax2+2bx+c>。，即％<占或%>%时，函数/(%)=+bx1+cx+d单调递增;

当了'(%)=3〃%2+2bx+c<0,即再<%<9时，函数/(%)=ax3+bx2+cx+d单调递减.

当〃>0,且/?2_3QC<0时，

止匕时/r(x)=3ax2+2bx+c>0,函数/(%)=ax3+bx2+cx+d单调递增.

②当〃<0,且/一3QC>0时，

设方程/'(%)=3加+2Zzx+c=0的两根分别为九1，%2，且王<犬2，

当fr(x)=3ax2+2bx+c>0,即再<X<々时，函数/(%)=+bx2+cx+d单调递增；

当/'(%)=3。%2+2Zzx+c<0，即％或Jr〉马时，函数/(%)=ad+"2+c%+d单调递减.

当a<0,且"一3。。<0时，

止匕时/r(x)=3ax2+2bx+c<0,函数/(%)=展+bx2+cx+d单调递减

1.4生活中的优化问题举例

习题1.4A组(P37)

1、设两段铁丝的长度分别为X,1-X,则这两个正方形的边长分别为二，S,两个正方

44

形的面积和为S=/(X)=(：)2+(7)2=,(2X2—2氏+/)，0<x</.

令r(x)=0,即4x—2/=0,x=g.

当xw(0,3)时，/(%)<0；当xe(g,/)时，/(x)>0.

因此，X=g是函数/(X)的极小值点，也是最小值点.

所以，当两段铁丝的长度分别是L时，两个正方形的面积和最小.

2,T%*

2、如图所示，由于在边长为。的正方形铁片的四角截去一Iq—T

四个边长为X的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无

盖方盒的底面为正方形，且边长为。-2龙，高为x.

(1)无盖方盒的容积V(x)=(a-2x)2%,Q<x<^.〃

(2)因为V(x)=4%3—4依2

(第2题)

所以V'(x)=12x2—8奴+/.

令『(x)=0,得x=巴(舍去)，或％=@.

26

当xe(0,q)时，V'(x)>0；当xc(q,q)时，V'(x)<0.

662

因此，x=V是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.

所以，当x=3时，无盖方盒的容积最大.

6

3、如图，设圆柱的高为力，底半径为R,

则表面积S=2=R/Z+2=R2

由丫="尺2〃，得〃=二.

兀R2

i,V,2V

因此，S(R)=2TIR--+2^=——+2"尺2,R>0.

兀R“R

2VV

令S'(R)=—--+4^7?=0,解得E=

R

当Re(01上)时，S'(R)<0；

V2兀

当ReQ上,+s)时，S'(R)>0.

V2兀

因此，R=是函数S(R)的极小值点，也是最小值点.此时，h=\=2&=2R.

所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.

4、证明:由于/(x)」之(x-q)2,所以尸(x)=2之(x—q).

n;=in;=1

1ri

令1(%)=0,得％=一2《，

ni=i

1n

可以得到，x=.是函数〃%)的极小值点，也是最小值点.

n,=1

这个结果说明，用n个数据的平均值工之％表示这个物体的长度是合理的,

n;=i

这就是最小二乘法的基本原理.

5、设矩形的底宽为xm,则半圆的半径为土m,半圆的面积为巴二n?,

28

2

矩形的面积为矩形的另一边长为今―£)m

e1/d7/、冗x2〃7ix”兀、2a八8a

因此铁丝的长为/(%)=X~\--------(1H)%H90<%<J

2x44xVn

令r(x)=i+色-至=o,得％=、呼二(负值舍去).

4x2V4+^-

当X，。层M"；当X，(虐'竹)时’/，W>0-

因此，x=是函数/(%)的极小值点，也是最小值点.

所以，当底宽为、「亘m时，所用材料最省.

6、利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘单价.

由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.

收入R=q，p=q(25—q)=25(J—q?,

88

利润L=K—C=(25“一,/)—(100+44)=—工/+2%一100,0<q<200.

88

求导得L，=—：q+21

令Z/=0,即—%+21=0,q=84.

当qe(0,84)时，L'>0；当qw(84,200)时，L'<0；

因此，q=84是函数L的极大值点，也是最大值点.

所以，产量为84时，利润L最大，

习题1.4B组(P37)

1、设每个房间每天的定价为了元，

r—1SO1

2

那么宾馆利润£(%)=(50--io)(%-20)=--X+70X-1360,180<x<680.

令L'(x)=—/x+70=0,解得x=350.

当xe(180,350)时，L'(x)>0；当xe(350,680)时，£,(x)>0.

因此，x=350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.

所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.

2、设销售价为x元/件时，

b—x4Sb

禾！J润L(x)=(X-Q)(C+C------x4)=c(x-tz)(5——x),a<x<一.

bb4

人“、8c4ac+5bc八々刀”曰4a+5b

令1/(%)=——%+-----------=0,解得x=---------.

bb8

、[//4。+5~、一Y,/、八、1/Aa+5b5b、心“、八

当％W(Q,------)时，£(%)>0；当％w(---------,一)时，£(%)<0.

884

当x=《至是函数〃X)的极大值点，也是最大值点.

所以，销售价为超3元/件时，可获得最大利润.

8

1.5定积分的概念

练习(P42)

8

3-

说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.

练习(P45)

,,1•12

1、As产As,'=v(-)Ar=[-(-)2+2]--=-(-；)9,—1-•一,1=1,2,，几.

nnnnnn

于是§=z加产Z=Z

z=li=li=l〃

力-(与，+马

二nnn

222

=-(-)----(^)---(-)■-+2

nnnnnn

=-^[l+22++W2]+2

n

1n(n+1)(2〃+1).

=—--------------------1-2

"36

=--(l+-)(l+—)+2

3n2n

取极值，得

s=lim£[-v(-)]=lim^[-^-(l+--)(1+^-)+2]=1

nnn18n3,n2n3

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近,”的思想.

22

2、——km.

3

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”’的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法

和步骤.

练习(P48)

,2々

x3dx=4.该七明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.

Jo

从几何上看，表示由曲线y=d与直线％=0,尤=2,y=0所围成的曲边梯形的面积S=4.

习题1.5A组(P50)

WO；_11

1、(1)［2(x-l)tZx«¥［(1+——)-l］x——=0.495；

Ji£100100

2500»_11

(2)r「(x—1)仆>［(1+——)-l］x——=0.499；

Jl白500500

WOO1

(3)「2(x—1)小>［(1+---)-l］x-----=0.4995.

Jl官10001000

说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18x1+12x1+7x1+3x1+0x1=40(m)；

距离的过剩近似值为：27x1+18x1+12x1+7x1+3x1=67(m).

3、证明：令/(x)=l.用分点«=%0<Xj<<<%,<<4=b

将区间［a,b］等分成〃个小区间，在每个小区间［%._］，知上任取一点。。=L2,,,

nn

作和式=£---n--=b-a,

i=li=l〃

从而fIdx=limV-——=b-a,

JanT9yi

i=l

说明：进一步熟悉定积分的概念.

4、根据定积分的几何意义，J；J1-甘力；表示由直线％=0,x=l,y=0以及曲线丫=51—%2

所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此二无=?.

/•0.1

5、(1)Ixdx——.

J-i4

由于在区间［-1,0］上工3«0,所以定积分『/dx表示由直线无=0,x=-l,y=o和曲线

y=d所围成的曲边梯形的面积的相反数.

(2)根据定积分的性质，得fx,dx=fx3dx+［x,dx=-—+—=0.

J-iJ-iJo44

由于在区间［-1,0］上KO,在区间［0,1］上d20,所以定积分,产3公等于位于工轴上方的

曲边梯形面积减去位于％轴下方的曲边梯形面积.

(3)根据定积分的性质，得［-2x^dx=,f0x5dx+［x3dx=--1-1-4=—15

J-iJ-iJo44

由于在区间［-1,0］上尤3K0,在区间［0,2］上920,所以定积分『产3dx等于位于工轴上方的

曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

说明：在(3)中，由于/在区间［—1,0］上是非正的，在区间［0,2］上是非负的，如果直接利

用定义把区间［-1,2］分成"等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵

挡一些项，求和会非常麻烦.利用性质3可以将定积分「三心化为「\3必；+1》3公，这样，/

J-lJ-lJo

在区间和区间。2］上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出［产3公，

1V公，进而得到定积分广产3公的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.

在(2)(3)中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的

几何意义.

习题1.5B组(P50)

1、该物体在f=0到，=6(单位：s)之间走过的路程大约为145m.

说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过

的路程.

2、(1)v=9.81r.

8j11QXQ

(2)过剩近似值：y9.81x-x-=9.81x-x——=88.29(m)；

tT2242

8；—111Rv7

不足近似值：y9.81x^x-=9.81x-x—=68.67(m)

£2242

(3)［9.81A*；［9.81d=78.48(m).

JoJo

3、(1)分割

在区间［0,/］上等间隔地插入〃-1个分点，将它分成n个小区间：

［0,-］,……,［^^-,1］,

nnnn

记第i个区间为［四二更,U］(z=l,2,..n),其长度为

nn

人il(z-l)ZI

nnn

把细棒在小段［0」］,d，3］,……，［生二尊力上质量分别记作：

nnnn

八叫，△加2，,△加〃,

则细棒的质量△叫.

1=1

(2)近似代替

当"很大，即Ar很小时，在小区间上，可以认为线密度P(x)=f的值变

nn

化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点。.处的函数

nn

值/0=会于是，细棒在小段四二更当上质量Am产=(z=l,2,〃).

nnn

(3)求和

flfifi7

得细棒的质量m=XA〃Z=£身-.

i=li=li=l〃

(4)取极限

细棒的质量m=limy^2—,所以根=『》2公..

n—>00ytJO

1.6微积分基本定理

练习(P55)

50(3)迪—2；(4)24；

(1)50；(2)

33

31

(5)——ln2；(6)-；(7)0；(8)-2.

22

说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

习题1.6A组(P55)

409

1、(1)(2)---31n2；(3)-+In3-ln2；

322

_n/u、3/.

(4)(5)——+1；(6)e2—e—2In2.

~~68

说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

2、J。sinxdx=[-cosx]^-2.

它表示位于X轴上方的两个曲边梯形的面积与X轴下方的曲边梯形的面积之差.或表述为：

位于X轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与X轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代

数和.

习题1.6B组(P55)

1、(1)原式=弓62寸)=[一；；(2)原式=[；sin2x]?=g—9；

(3)原式=[^-.

In21In2

r兀cosinx1

2、(1)sinmxdx=[---------f乃=---[cosm兀-cos(-mTr)]=0；

)一冗mm

(2)fcosmxdx=‘i11mx匕乃=—[sinmji-sin(-m^)]=0；

1冗mm

/c、1•2ry1-cos2iwc7xsin2mxM

(3)Jsinmxdx=J------------cbc=r[------------]_»=7i；

/“、1,i1+cos2mx_xsin2mxM

(4)cosm2xdx-----------------cbc=r[—+--------]”=»•

kth2t

3、(1)5(0=£-(1-e-)dt=[-t+-^e-y0=-t+-^e*_与=4%+245e-°--245.

"kkkkkk

(2)由题意得4%+245e"'-245=5000.

这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t的取值范围.

根据指数函数的性质，当f>0时，从而5000<49r<5245,

50005245

因此,----<t<-----

4949

因止匕245/°入石土3.36x10',245/,必而«1.24xl0-7,

所以，1.24x10-7<245e{2'<3.36x101

从而，在解方程4%+2456“，_245=5000时，245e"r可以忽略不计.

5245

因止匕，.49/—24575000,解之得----(s).

49

说明：B组中的习题涉及到被积函数是简