2023届天津市南开区高三年级下册3月质量监测一数学试题

2023届天津市南开区高三下学期3月质量监测（一）

数学学科试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷

1至3页，第II卷4至9页.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目涂在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案标号.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•柱体的体积公式％体=助，其中S表示柱体的底面积，〃表示柱体的高.

•如果事件A8互斥，那么P（AuB）=尸（A）+P（B）.

•如果事件AB相互独立，那么P（AB）=P（A）.P（B）.

•对于事件A民P（A）>0,那么P（AB）=P（A〉P（®A）.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U=R,集合4={1,2,3,4,5},8={1％<—1或了>2},则Ac（98）=（）

A.{1,2}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.设aeR,则“。（々-3）>0"是“a>3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=（2x-sinx>2-N的图象可能是（）

4.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组:

[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95],绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间[70,85)

内的学生有()

频率

名名名名

5.已知直线y=与圆f+(y—l)2=16相交于两点，则的长度可能为()

6.己知e"=lg2,b=lg(ln2),c=lng,则仇c的大小关系是()

\.c<b<aB.h<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

2

7.已知抛物线>2=16x上一点A(〃V)到准线的距离为5,尸是双曲线r、二一=1的左焦点，P是双曲线右支

12

上的一动点，则|PF|+|PA|的最小值为()

8.将函数/(关)=80[如:+(卜3>0)的图象向右平移:个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在

7T571

上单调递减，则。的最大值为()

11

A.-B.-cE

424

\6x2-24x+9,x,1,

9.已知函数/(x)=《1/、则下列结论:

①/（〃）=9i,〃eN*

②VxG（0,+8）,/（x）<L恒成立

③关于x的方程/（X）=m（mGR）有三个不同的实根，则!<根<1

④关于X的方程“X）=9f（〃eN*）的所有根之和为〃2+g

其中正确结论有（）

个个个个

第n卷

注意事项：

L用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.

2+4i

10.i是虚数单位，复数力y=.

3—1

11.在（X—的展开式中，/的系数为.

12.已知实数a>O,b>O,a+b=\,则2"+2〃的最小值为.

13.如图，直三棱柱ABC-A£G的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB^AC,侧面BCC4是半球底

面圆的内接正方形，则直三棱柱ABC-A4G的体积为.

14.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂产品的合

格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；若在该市场中随

机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.

15.在平面四边形488中，|48|=|8。=|。方|=。4。。=1,848。=3,则〔AC卜；

BDCD=.

三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分14分）

在QABC中，角A,8,c所对的边分别为ag,c,且4。=石c,b=ll,cosC=|.

(1)求sinA的值；

(2)求。的值；

(3)求cos(A-2C)的值.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,AB=3,AO=6,AP=CO=2,ZPAB=6(),M是CD中点，N是PB上一

点.

(1)当时，

3

(i)证明：MN〃平面P4O；

(ii)求直线PM与平面PAD所成角的正弦值；

4PN

(2)平面P40与平面夹角的余弦值为一，求——的值.

5PB

18.(本小题满分15分)

丫22

已知是桶圆C：=+M=l(a＞分＞0)的两个焦点，过月(1,0)的直线/交。于P，Q两点，当/垂直于X

a~b~

3

轴时，且，PGK的面积是彳.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆。的左顶点为A，当/不与x轴重合时，直线AP交直线m:x=2a于点M，若直线〃，上存在另

一点N,使F?M.F?N=0,求证：AQ,N三点共线.

19.(本小题满分15分)

已知等差数列｛a,,｝的首项为1,前〃项和为S,,,单调递增的等比数列｛〃｝的首项为2,且满足

%+§2=7也+邑=14.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)证明：35.=4S,,+1——1)S”(〃GN*卜

〃TS1

（3）记｛a｝的前『项和为雹，证明：Z十1<1〃（鹿+1）（〃+2）・

i=ia3

20.（本小题满分15分）

已知函数/（x）=x2-2（a+l）x+26dnx（Qe7?）.

（1）当a=2时，求曲线>=/（%）在点处的切线方程；

（2）若函数/（x）有极大值，试确定。的取值范围；

（3）若存在玉）使得/（%0）+（1叫）-2〃），，工玉：一［2J%+彳成立，求。的值.

2022-2023学年度第二学期高三年级质量监测（一）

数学学科参考答案

一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）

题号123456789

答案ABCDBCDCB

二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）

万

10.1+i11.4012.2加13*

2

14.0.18,0.86（第一个空2分，第二个空3分）；

15.1，1+^（第一个空2分，第二个空3分）.

2

三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

34

16.解：（1）由于cosC=—,0<C<"，则sinC=—.

55

因为4a=J^c，由正弦定理知4sinA=J^sinC，

贝|JsinA=-^-sinC=-

45

(2)因为4〃=\/5c，

由余弦定理，得「a2+b2-c2”+121-5,ILV3,

2ab22a2a5

即。2+6。-55=0，解得a=5.

jr

(3)由(2)知a</?,所以0<A<一.

2

由(1)得cosA=Jl-sin2A=~~~~•

.,247

sin2c—2sinCcos(7——,cos2c=2cos7-C—1----,

2525

所以cos(A-2C)=cosAcos2C+sinAsin2C

2>/5(7)石24275

=-------x-------d---------x——=-------

5125J52525

17.解：如图建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，AB为％轴，AD为丁轴，过点A作

面ABCD的垂线为z轴,则8(3,0,0),0仅,疯0),尸(1,0,@,"(1,60),

(1)由PB=(2,0,—6)/加=位,出,一6),及PN=；PB,

可得PN==PN-PM=-,-V3,

(i)设平面PAD的一个法向量为机=(x,y,z),

AP•加=X+AAZ=O,[x=-y/3z

则「解得

AD-m=J3y=0,[y—0,

令Z=l,得〃2=卜6,0,1)是平面FA£>的一个法向量.

一毡+0+毡=0,

因为MN•m

33

所以MN_Lm•又MV(Z平面PAD,

所以MN〃平面PAO.

V2

(ii)由⑴可得costPM,“。PM-m

77

所以直线PM与平面所成角的正弦值为W.

4

(2)设PN=fPB=(2r,0,—gr),y0,l],

则AN=AP+PN=(l+2f,0,6-网，

设〃=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量,

n-AM=x+\J?>y=0,

则〈

〃.47=(1+2)+百(1-6=0,'

取x=G(f—1),则〃=(G(r-l),l—+是平面AAW的一个法向量,

|3—3/+2,+1|

则cos(m.n

琲“253(4—1)2+(1—1)2+(2f+1)25

解得「28+24而或”28-24府（舍去）.

所以空=28+24刷

PB487

18.解:（1）依题意c=l,所以足=。2+]

31Q3

因为居的面积是G，即5x2x|尸用=；,解得|P81=],

所以户用=

从而2a=归耳|+归6|=4,解得0=2,

所以。2=3,椭圆的标准方程为三+匕=「

43

（2）由（1）知,A（-2,0）.

依题意，设直线/方程为％=阳+1,。（玉，另）,。（为,％），

由’3^3/-12消去"得（3"+4）,+6中y-9=°，

「.-6m-9

则y+必=22＞，"2=.20'

3m+43m+4

直线AP的斜率上小=-A；，直线AP的方程：y=。4；（x+2）,

玉+2%,+2

而直线加：x=4,所以M4,9匚.

I西+2）

6yl

直线6加的斜率_x,+2_2y,

KRM~~；——T

而6M-6N=0,即6M_L鸟N,

7%+2

所以直线居N的斜率=-U—•

2M

因此直线8N的方程：>=一年2(x—1),则点N(4,-与土g

2%I2yJ

3%+6

所以直线AN的斜率,_2y_X+2.

又直线AQ的斜率须2%

入2+2

y2(%+2)必吵+3("22+4)乂%+3〃2(%+%)+9

则上A0-^AN------—―-------,+---------、

马+2I4^)〃少2+34y4>"冲2+3)

-9(m2+4

而(/〃2+4)乂%+3加(凹+%)+9=-6m-3m八

-------7------Z-------—A——+90，即怎2="AN，

3〃r+43"+4

所以A,Q,N三点共线.

19.解：（1）由题意，设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛〃｝的公比为9（401）,

因为。+§2=7,4+83=14,

2q+d+2=7,24+d=5,

所以即47

2/+3d+3=14,2^2+3^=11.

q=1,4=2,

解得《(舍去)，或［,

d=34=1,

所以a“=〃,勿=2".

(2)由(1)知S“=」----乙,

"2

所以a”S"+iT)S”=a"(S“+a“+J-(a“一1)5”

=S,+a”*=S“+〃(〃+1)=3S„.

(3)由(1)知,=2(1_LJ.=2n+l-1.

1-2

所以弛=(2"'T).(2)=Q㈤+

<z(z+l)

向一21'一2,+1

=；[d+1)(『+2H1)中+1)]

所以之芸<可口.(1+1)(1+2)一(1一1)1(1+1)]+弓[2・(2+1)(2+2)-(2-1)-2・(2+1)]

/=1433

+1[(n-l)n(n+l)-(n-2)(l-l)n]+1[n(

+・〃+1)("+2)—(〃一1)〃(〃+1)]

=g〃(〃+l)(〃+2)・

20.解：(1)当a=2时，/(尢)=%2-6x+41nx,

依题意，r(x)=2x—6+±可得/'(1)=2-6+4=0,又/⑴=一5,

所以曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为y+5=0.

(2)函数/(x)的定义域为(0,+e)，r(x)=2x—2(a+l)+型=2(XT)(X—“),

XX

①当a=l时，/'(%)..0,所以/(x)在(0,+。)上单调递增，此时/(x)无极大值;

②当。>1时，令/'(x)>0,解得0<x<l或x>。，令/'(x)<0,解得l<x<a,

所以/(x)在(0,1)和(。,+纺)上单调递增，在(l,a)上单调递减