备考2024年高考数学一轮复习-求数列的通项公式

专题7.3求数列的通项公式

题型一观察法

题型二周期数列

题型三累加法

题型四累乘法

题型五待定系数法

题型六取倒数法、取对数法

题型七已知与=/⑺求通项公式

题型八已知S.=/（%）或者S.=/）求通项公式

题型九因式分解型求通项

集练

—

题型一观察法

例1.（2023春•高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

11513

⑴2'1标'记；

...22-132-142-152-1

⑵-Z-，-Z-，-：-，-；-；

2345

（3）7,77,777,7777.

例2.（2023・全国•高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形

成三角形数，如1,3,6,10,15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”

堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角

锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为.

三角锥垛

第二及三

练习1.（2023秋•河南平顶山•高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（）

A.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列

B.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列

C.数列0,2,4,6,8,…的一个通项公式为%=2〃

D.数列377,而,后，…的一个通项公式为巴=，4九-1

练习2.（2023春•江西•高三校联考期中）已知数列｛%｝为1,-4,9,-16,25,-36,则数列｛外｝的一个通项

公式是（）

A.（-ir-772B.（一1）向HC.（-ir+1-n3D.（-l）".n3

练习3.（2023・广东•高三专题练习）已知无穷数列｛%｝满足4=1,%=2,%=5,写出满足条件的｛q｝的一个通项

公式：.（不能写成分段数列的形式）

练习4.（2023春・安徽•高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把

1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A.36B.49C.64D.81

练习5.（2023春・贵州•高三校联考期中）已知数列J，-f，J，-三，…，则该数列的第100项为（）

2/o432

A-至B”C至D-里

八，29821002982100

题型二周期数列

「、c111

例3.（2023•内蒙古赤峰•校考模拟预测）若数列｛〃“｝满足％=2,----------------------=1,则%023=（）

aa

nn+l

A.2B.—C.—3D.—

23

例4.（2023・安徽某中学校考模拟预测）在数列｛凡｝中，已知弓=2,%=3,当”22时，是。

的个位数，则。2023=（）

A.4B.3C.2D.1

举一反三

练习6.（2023•全国膜拟预测）已知首项为3的数列｛%｝的前"项和为S“，若（加-5“）（%+1）+1=%，则

%,。2•。3..........。2023=（）

A.—B.1C.—D.—

263

练习7.（2023春•辽宁•高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列｛%｝满足：4=。，%=近,an+2=^2an+i-an（n>I）,

记数歹U｛4｝的前n项和为S",贝I]S2023=.

练习8.（2023・全国•高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是

以他的名字命名，洛卡斯数列为：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、L，即4=1,4=3,月.右升？=+4（"eN*）.

则洛卡斯数列｛4｝的第2020项除以4的余数是（）

A.0B.1C.2D.3

练习9.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛。"｝满足q=2,=a+2'则％。23=-------------------

练习10.（2023•北京通州・统考三模）数列｛4｝中，4=2,g=4，an_xan+,=«„（«>2）,贝l|%。23=（）

A.-B.gC.2D.4

42

题型三累加法

例5.（2023・全国•高三专题练习）在数列｛凡｝中，已知q=1,an+l-an=2n,求通项公式为.

例6.（2023•全国•高三专题练习）设数列｛4｝满足。产2,%-4=3-22。求｛■的通项公式.

举一

1Q

练习11.（2023・山西大同•统考模拟预测）已知数列｛%｝满足：%=-鼻,%=；，数列｛4+「%｝是以4为公差的等差

数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）记数列的前〃项和为S",求前侬的值.

练习12.（2023•全国•高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1,3,6,10,15,21,…这些数量的（石子），

排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三

角形数从小到大排列，第11个三角形数是.

•••

・•••••...

••••••••••

13610

练习13.（2023・广西南宁•南宁三中校考一模）己知数列｛4｝满足叫什「（〃+1）%=2,%=1,则数列｛%｝的通项公

式为.

1

练习14.（2023春•江苏南京•高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列｛%｝中，4=3,an+1=a„+2'+l.

⑴证明：数列｛4-〃｝是等比数列；

⑵求数列停｝的前〃项和S”.

练习15.（2023春•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列｛%｝的各项均不为零，且满足4=1,

%Cn>2,〃cN*),则｛为｝的通项公式4=

1+nan_x

题型四累乘法

2(〃+2)

例7.(2023•全国•高二专题练习)已知数列｛q｝满足q=2,an+l,则｛q｝的通项公式为

n+1

例8.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛q｝满足弓=1.

1

⑴若a”=2"a„_1(n>2),求｛%｝的通项公式.

⑵若4=2"T+a,I(n>2),求｛%｝的通项公式.

举一反三

练习16.(2022秋.重庆北倍.高三重庆市兼善中学校考阶段练习)已知数列｛%｝的前"项和为S”,

4S“=(2«+l)an+1(〃eN*).

(1)求%,与；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

NJ，a"

练习17.(2023秋・江苏无锡•高三统考期末)已知向量卬=。,1,),b”=4+1=%也+i

A,|+2

生也=4也।的也।L।'^

23n+l

32

练习18.(2023・全国•模拟预测)已知正项数列｛%｝中，q=0,a4=>风见+2=，贝!I%=，%=.

JL

练习19.(2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考二模)已知数列｛““｝满足：«1=j,«„+1=-ra„.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

⑵若4=(-1)"(2〃+1)4,求数列圾｝的前n项和S,.

练习20.(2023•山东・沂水县第一中学校联考模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,凡=1,a„+1=Q+^p„.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

⑵证明：S“<2.

题型五待定系数法

例9.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛〃〃｝满足㈤=1,+1.求｛〃〃｝的通项公式.

例10.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛〃〃｝是首项为4=2,%+i=3%+2〃+§.

⑴求｛〃〃｝通项公式；

（2）求数列｛4｝的前〃项和

举一

练习21.（2023•全国•高三专题练习）数列｛a〃｝满足=5a“+3x5"i,%=6,则数列｛即｝的通项公式为.

练习22.（2023・全国•高三专题练习汜知数列｛4｝中，q=1,%=3%+4,则数列｛%｝的通项公式为.

练习23.（2023•全国•高三专题练习）己知数列｛见｝满足am=2a“+4.3"T,/=-l,则数列｛4｝的通项公式为

练习24.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛风｝中，也用=2S+l）a,+〃（〃+l）且4=1,则数列｛%｝的通项公式

为.

练习25.（2022・全国•高三专题练习）设数列｛4｝满足：%=1,an=-an_x+2"（n>2）,数列也｝满足：

2+%=（T）'——求数列｛2｝的通项公式.

题型六取倒数法、取对数法

例11.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%,｝满足％=1,求｛见｝的通项公式.

例12.（2023•江苏镇江•扬中市第二高级中学校考模拟预测）（多选）已知数列｛4｝满足％=1，"用=彘1，则下列

结论正确的有（）

A.+为等比数列

B.｛4｝的通项公式为4=不\

乙一J

C.｛%｝为递增数列

D.的前w项和1=2"+2-3〃一4

举一反三

练习26.（2023春•高三课时练习）数列｛4｝中，%=2,an+1=a；,则下列结论中正确的是（）

A.数列｛q｝的通项公式为q=2"

B.数列｛4｝为等比数列

C.数歹U｛Inq｝为等比数列

D.数列｛In%｝为等差数列

练习27.（2023•全国•高三专题练习）己知北为正项数列｛4｝的前"项的乘积，且%=3工2=凡用

（D求数列｛%｝的通项公式

⑵令bn=log3a„,求数列｛a也｝的前"项和R,,.

，、33。

练习28.（2022秋・湖南娄底•高三湖南省新化县第一中学校考期末）（多选）己知数列｛4｝满足q=2,。用=右亍

则下列结论中错误的有（）

A.为等比数列B.｛%｝的通项公式为

3-27,-1-1

c.｛4｝为递增数列D.1的前"项和为2"—］一1

练习29.(2023•江苏南通・统考模拟预测)已知数列｛%｝中，%二亡】

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵求证：数列｛4｝的前〃项和S,<1.

练习30.(2023春・广东•高三校联考阶段练习汨知各项均为正数的数列｛4｝满足弓=l,a2=2,an_2a；=(〃>3),

4=bg2^-("N2).

⑴当〃22时，求数列也｝的通项公式；

⑵若&=1吗M+i,求数列£｝的前〃项和.

a.

题型七已知S,=/(«)求通项公式

例13.(2023・全国•高三专题练习)记数列｛%｝的前”项和为S"，若弓=-8,且2/+5“=〃(2+4乂〃€川)，则几=

例14.(2023•内蒙古赤峰校考模拟预测)己知数列｛4｝的前”项和为S“，且5“="+2”.

⑴求证：数列｛4｝是等差数列；

⑵设2=—1—，求数列也｝的前〃项和.

anan+\

料-反㈢

练习31.(2023•浙江绍兴・统考二模)设数列｛%｝的前〃项和为S“，数列口25“-〃｝是首项为1,公差为1的等差数

列，

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设2=%,,求数列｛(-1)"&„)的前”项和r„.

练习32.（2023.天津河西•天津市新华中学校考模拟预测）己知数列｛4｝（〃"*）满足｝岩++墨=〃-2+击.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（3）若b”=（a„+2）n-cosn7i,求数列也｝前2九项和笃“.

练习33.（2023・全国-IWJ二专题练习）已知数列｛4｝满足q+34++（2〃一

⑴证明:是一个等差数列;

为奇数，、

(2)已知g=,求数列｛%｝的前2〃项和邑

qa,+2，〃为偶数

练习34.（2023•湖北黄冈•潘水县第一中学校考模拟预测）设数列｛%｝的前“项和为S"，已知q=3,是公差为

2的等差数列.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵设么=一^,数列他,｝前"项和证明：Tn<^~.

anan+\12

练习35.（2023・山西吕梁•统考三模）已知数列｛%｝的前"项和为S“，且2s

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若"=——,求数列圾｝的前〃项和小

%+1%+2

题型八已知Sa=/（4）或者S"=/）求通项公式

例15.（2023・四川凉山•三模）数列｛%｝的前〃项和为S“，若6=1,an+1=Sn+l,贝I]“"=

例16.（2023春•河北•高三校联考阶段练习）设数列｛%｝的前〃项和为S,,且S“=2a"+"-4.

⑴求｛鬼｝的通项公式；

2〃

⑵若么=-----,求数列｛2｝的前"项和4.

第二反三

练习36.（2023・四川成都•成都某中学统考模拟预测）已知在数列｛%｝中，4=1,q+=+t+L+%=%-1

,则。2。=23n

练习37.（2023•全国•长郡中学校联考二模）已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=1,%=四+£二（〃eN*

且〃22）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列［詈J］的前”项和为1,求证：Tn<l.

［2anan+lJ

练习38.（2023•云南•校联考二模）正项数列｛%｝的前几项和为S"，己知2a,£=a：+l.

⑴求证：数列国｝为等差数列，并求出%a.；

（2）若2=4,求数列抄“｝的前2023项和弓23.

an

练习39.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为%q=g,。用-3s“=g（“eN*）,设。=&］（国

表示不超过x的最大整数），则数列出｝的前2023项和凰23=（）

.42°24_2027042°24—6073.42023-2027「42023-6073

A.---------------B.---------------C.---------------D.---------------

9999

练习40.（2023•全国•高三专题练习）记数列｛%｝的前w项和为S,，已知％=1,3s“=〃%,则%=

题型九因式分解型求通项

例17.（2023・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）设正项数列｛%｝的前〃项和为5“，已知%=5,且a*=4S“+4〃+l.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若bn=,求数列也｝的前〃项和I.

例18.（2023春•江苏南京•高三江苏省漂水高级中学校考期中）正项数列｛a,｝的前”和为Sn,且2S“=a；+4（aeN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设2寸+含+含++,+半，求数列也｝的前〃项和加

举一

练习41.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛%｝各项均为正数且满足U-（〃-1）%-2"+〃=0,数列也｝满足

4=3,且％=36“+3"".求如「｛旦｝的通项公式.

练习42.（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试卷）已知递增数列｛4｝满足

ai=7,a：+i-8a“+i-a；+16=0.

⑴求凡；

（2）设数列也｝满足bn=an-T,求圾｝的前〃项和S,.

练习43.（2023・四川成都•某中学校考模拟预测）在数列｛%｝中，匕1+d+1=2（%+必+%+】+%）,且4=

1,｛%｝递增,则。“二.

练习44.（2023•全国•高三专题练习）已知正项数列｛%｝满足4=24,应包-（“+4）片=4%%.求｛%｝的通项公式；

练习45.（2023・湖南长沙雕礼中学校考一模）已知正数数列｛%｝,4=1,且满足d-（"-婕T=0（〃22）.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

⑵设勿=—,求数列也｝的前〃项和s”.

专题7.3求数列的通项公式

题型一观察法

题型二周期数列

题型三累加法

题型四累乘法

题型五待定系数法

题型六取倒数法、取对数法

题型七已知与=/⑺求通项公式

题型八已知S.=/(%)或者S.=/)求通项公式

题型九因式分解型求通项

集练

—

题型一观察法

例1.(2023春•高二课时练习)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

11513

⑴2'1标'记；

...22-132-142-152-1

⑷-，-7-；

2345

(3)7,77,777,7777.

【答案】(1)氏=望

⑵a=("+1)一

"n+1

⑶%=/(10"_1)

【分析】(1)各项分母分别为21,22,23,2、第1,2,3,4项分子分别比分母少了3,得到通项公式.

(2)数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1,得到通项公式.

(3)数列的前4项可以变为丁(10-1),-x(102-l),-x(103-l),-x(104-l),得到通项公式.

【详解】（1）各项分母分别为以22,23,24,第123,4项分子分别比分母少了3,

2'-322-323-324-3

则原数列可化为

21222324

2〃-3

故它的一个通项公式为%=，〃£N*.

2〃

（2）这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1,

5+以T,〃eN*.

所以它的一个通项公式为可

n+1

7777

(3)这个数列的前4项可以变为§x9,-x99,-x999,-x9999,

BP^x(lO-l),1x(102-l),1x(103-l),1x(104-l),

所以它的一个通项公式为。“=（x（l（T-1）,〃£N*.

例2.（2023•全国•高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形

成三角形数，如1,3,6,10,15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”

堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角

锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为

【分析】根据给定条件归纳总结出“三角形数”的通项公式即可求出第10层球的个数.

【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列{%},

〃1=1,a2=3=1+2,。3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+5,

n(n+l)

由止匕得。〃=1+2+3+L+〃，即。〃

2

10x(10+1)

则nil［。=-\--=55,

堆垛第10层球的个数为55.

故答案为：55.

举一反三

练习1.（2023秋•河南平顶山•高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（）

A.数列1,0,-I,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列

B.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列

C.数列0,2,4,6,8,…的一个通项公式为4=2〃

D.数列而'，…的一个通项公式为%=，4〃-1

【答案】D

【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.

【详解】对于选项A,数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A错误；

对于选项B,常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；

对于选项C,当〃=1时，4=2x0,故C错误；

对于选项D,因为q=j4xl-l=6,%=J4x2-1=M4=J4x3-1=而,%=J4x4-1=巫…,所以数列的一

个通项公式为a.=^/^二l,故D正确.

故选：D

练习2.（2023春•江西•高三校联考期中）已知数列｛■为1,-4,9,-16,25,-36,…，则数列｛%｝的一个通项

公式是（）

A.（-If-H2B.（-1）,,+1.H2C.（-1）向D.（-1）".«3

【答案】B

【分析】根据观察法，即可求解.

【详解】由题意知，数列：1,4,9,16,25,的通项公式为二,

所以数列｛%｝：L-4,9,-16,25,-36,的通项公式为（-1）.苏.

故选：B.

练习3.（2023・广东•高三专题练习）已知无穷数列｛4｝满足q=1,%=2,%=5,写出满足条件的｛%｝的一个通项

公式：.（不能写成分段数列的形式）

【答案】。“=2"-〃（答案不唯一）

【分析】根据为,出，％，利用不完全归纳法可得答案.

533

【详解】由q=1=2-1,%=2=2,2,a3==2-,

猜想an=2"-n.

故答案为：（答案不唯一）

练习4.（2023春・安徽•高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把

1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A.36B.49C.64D.81

【答案】A

【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.

【详解】三角形数：1,3,6,10,,可得其通项公式为%=当口1

正方形数：1,4,9,16,,可得其通项公式为勿=1,

%=49q=644=81均无正整数解，且4=49也=64也=81,

所以49,64,81是正方形数不是三角形数，

又\%=36也=36,,36既是三角形数，又是正方形数.

故选：A.

练习5.（2023春•贵州•高三校联考期中）已知数列-（，1,-■|，-三，…，则该数列的第100项为（）

2,X432

25「99-25-99

298,21002982100

【答案】C

【分析】化简数列-，19彳,-1394，-52，，得出数列的第“项为4=（-1）"•n《，进而求得第100项的值，得到答案.

24olo322

1131512345

【详解】由数列,可化为数列

2284322,4，~8，16，-32

可得数列的第〃项为为=（-1）"金，所以第100项为（T严•赛10025

2100-298•

故选：C.

题型二周期数列

例3.（2023•内蒙古赤峰•校考模拟预测）若数列｛风｝满足4=2,---------=1,则%。23=（)

4%

A.2B.—C.—3D.

23

【答案】B

【分析】利用数列的周期性即可求得为。23的值.

111l+a„

【详解】因为--------------=1，所以%+i=^一〜又因为4=2,

a.an+1anan+ll-an

9=-3,产

所以出=

1-231+3

所以｛%｝是周期为4的数列，故出023=。3=一一.

故选：B

例4.（2023•安徽合肥某中学校考模拟预测）在数列｛%｝中，已知4=2,%=3,当“22时，“用是

的个位数，则。2023=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.

【详解】因为％=2,%=3,当“22时,。用是的个位数，

所以％=6,%=8,%=8,q=4,%=2,%=8,%=6,=8,%1=8,^12—4,

可知数列｛4｝中，从第3项开始有an+6=an,

即当“23时，见的值以6为周期呈周期性变化，

又2023+6=337…1,

故“2023=。1=2.

故选：C.

举I一凤三

练习6.（2023.全国•模拟预测）已知首项为!的数列｛4｝的前"项和为S“，若⑸++1）+1=%,贝IJ

Q]•°〃3...%023=（）

A.—B.1C.—D.一

263

【答案】D

【分析】根据题意，由递推关系可知数列｛%｝的周期为4,即可得到结果.

,\CL—11

【详解】依题意，%（4+1）+1=%，则%+1=七n；而《!='，贝U

%=-],。3=-2,。4=3,%二万,…，故数列｛。〃｝的周期为4.又q•%•%,%=1,

则令“…••…咏J

故选：D.

练习7.（2023春•辽宁•高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列｛4｝满足：at=0,4=叵,an+2=y/2an+1-an（n>I）,

记数歹U｛%｝的前n项和为S,,贝I]S2023=.

【答案】0

【分析】根据递推公式得到｛。“｝为周期数列，最小正周期为8,且4+%+/+%+。5+4+%+为=。，从而求出$2023.

【详解】因为%+2=及%+1-q（〃？1），4=。，%=3，

所以为=5/202—%=2,a4=—a,=2^/2—5/2=5/2,

flj=a=­

a5="\/2t74—2—2=0>a6=>/26Z5—4\/2,=y[2a6—a5=—2,

&=_a$=-2\/2+\/2=_>/2,a。=-％=-2+2=0,

%o—_t/g—,\/2,q]—-cig=2,...,

故｛4｝为周期数列，最小正周期为8,且q+%+/+%+%+。6+%+网=+2++。——2—=。，

所以SJIPS=252（%+出+/+%+。5+%+%+%）+%+出+%+"4+05+4+%

=q+%+/+4+45+3+%=.

故答案为：夜

练习8.（2023•全国•高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是

以他的名字命名，洛卡斯数列为：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、L，即4=1=3,且小=乙,用+乙“仅eN*）.

则洛卡斯数列｛4｝的第2020项除以4的余数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】设数列｛4｝各项除以4所得余数所形成的数列为｛%｝,从而可知数列｛4｝是以6为周期的周期数列，从而

可解.

【详解】设数列｛4｝各项除以4所得余数所形成的数列为｛%｝,

则数列｛%｝为：1、3、0、3、3、2、1、3、0、3、L,

由上可知，数列｛〃“｝是以6为周期的周期数列，即对任意的“eN*,an+6=an,

因为2020=336x6+4,所以。202。=4=3.

故选：D.

练习9.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足6=2,%=台,则为>23=.

【答案】2

【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.

【详解】第一步，求不动点，设〃司=工，令〃x）=x得：言=心化简得：d+x+i=o,显然该方程无解，

这种情况下｛%｝一般是周期不大的周期数列,

我们只需算出前几项，找出规律即可,

,口H»CLLt、tCL—11。2—11%—I4。4-]3—1u1c

由题思,4=2,所以％=[7r7r^^三3]7r-天％=二7r-5,%=口=2=6

从而｛%｝是以6为周期的周期数列,

故^2023=0337x6+1=%=2

故答案为：2.

练习10.(2023•北京通州・统考三模)数列｛%｝中，%=2,%=4,an_xan+l=an｛n>T),则均力=()

A.-B.gC.2D.4

42

【答案】C

【分析】根据题意，分别求得生,%，%，即可得到数列｛。“｝的周期，从而得到结果.

【详解】因为4=2,a2=4,an_xan+i=an(n>2),令n=2,则求得名=2,

令"=3,则。2〃4=。3，求得。4=g，令〃=4,贝|。3。5=。4，求得生=:,

令几=5,则。4。6=。5，求得〃6=；，令〃=6,则〃5%=。6，求得%=2,

令〃=7,则a6aL%,求得小=4,,

所以数列｛%｝的周期为6,则的>23=4=2.

故选：C

题型三累加法

例5.(2023•全国•高三专题练习)在数列｛%｝中，己知弓=1,an+l-an=2n,求通项公式.

2

【答案】an=n-n+l

【解析】

由题意可得

an=(a„~an-l)+(a„-l~an^2)++(%-q)+"1=2[1+2++(«-1)]+1=«2-«+l,

所以。“=〃2-〃+1.

例6.(2023・全国•高三专题练习)设数列｛4｝满足q=2,。"+「为=3-22")求｛4｝的通项公式.

21

【答案】an=2"-

2352,13

【详解】an=%+3x2如ft=(a„_2+3x22dzz)+3x2"-==an_2+3x2,-+3x2-

2523

=(tz„_3+3x)+3*2"-+3X2^=---

=«I+3X(2+23+25+•­•+22--5+22^3)

r\ry2n—\

q+3x=2+(2»'T_2)=22"*1.

举一反三

ia

练习11.(2023•山西大同・统考模拟预测)已知数列｛%｝满足：卬=-1,%=；,数列｛〃「4｝是以4为公差的等差

数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记数列的前〃项和为s”,求$2023的值.

【答案】⑴4=5(2〃-1)(2〃-3)

【分析】(1)由已知条件求数列的通项，再用累加法求数列｛4｝的通项公式;

(2)由数列的通项，利用裂项相消法求前〃项和为s”.

【详解】⑴根据题意可得为+「%=(%-4)+4(〃-1)=4〃-2,

a+a

则an=-«„-])+(。“-1一„-2)+(2-«1)+«!

=(4n-6)+(4n-10)++2+

又%=-；符合上式，所以=；(2川-1)(2孔-3)；

..]_2_]___1_

f

⑵•"an~(2n-l)(2n-3)-2n-3~2n-l

01111111114046

2023

qa2a20231113404340454045,

练习12.(2023・全国•高三专题练习)古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1,3,6,10,15,21,…这些数量的(石子)，

排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三

角形数从小到大排列，第11个三角形数是.

【答案】66

【分析】根据题意，得到4=1,an-a“_i=n,进而利用累加法求得q=或罗，由此得解・

【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列｛%｝,则q=l,a“一%=w,

所以的一%=2,%一的=3,.•,%一a„-i=n,

上式相加得a”-%=2+3++n,

所以a.=l+2+3++〃=〃（；1）,

则第11个三角形数是%=66.

故答案为：66.

练习13.（2023・广西南宁•南宁三中校考一模）已知数列｛凡｝满足"q+「5+1）。”=2,4=1,则数列｛4｝的通项公

式为.

【答案】an=3n-2

【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以“5+1）,利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.

【详解】««„+1-（w+l）a„=2,两边同除+得：

“向%=?_=2（-—,

n+1n+n+1）1

所以5-q=2卜一＜+〈_；++^—gp-=2^1--\

nI223n-1nJn\nJ

化简得a”=（2+4）力—2,'/O1=1,/.an=3n—2.

故答案为：=3?1-2.

练习14.（2023春・江苏南京•高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列｛风｝中，q=3,a用=a“+2”+l.

（1）证明：数列｛q-〃｝是等比数列；

⑵求数列］餐的前〃项和S..

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由。用=。“+2"+1得a,+「5+1）—（%-〃）=20,然后利用累加法求出。"-"即可得证;

（2）*=三+1,利用分组求和法和错位相减法可得答案•

22

【详解】（1）由Q〃+i=%+2〃+1得q+1-（〃+1）-（凡一〃）=2〃，

:・4---〃-3=2"T,

a〃-i-(〃-1)-[。〃-2-(〃-2)]=2"2,

%―2—(q-1)=2,

见一〃一(q—1)=2+2?+，+2"T,

4+1n+1)

+(4—1)=2"'-------=2,q—1=2,

1-2

・•・数列也-小是等比数列;

(2)由(1)可得见=〃+2",

:德与+1QI=-1+—2+—3++——n+〃,

n22223T

令片;+舁最++吩〃，①/T\

23n与

,1-27;=1+i+F++尸，②

错位相减，②-①,得:

lx|1-—

T"l+］舁