旋转中的最大值或最小值

旋转中的最大值或最小值1.〔2008•徐州〕着图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．

探究一：在旋转过程中，

〔1〕看图2，当=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；

〔2〕看图3，当=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；

〔3〕根据对〔1〕、〔2〕的探究结果，试写出当=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是．〔直接写出结论，不必证明〕

探究二：假设=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S〔cm2〕，在旋转过程中：

〔1〕S是否存在最大值或最小值？假设存在，求出最大值或最小值；假设不存在，说明理由．

〔2〕随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．

2.：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上．假设BF=x，△FCG的面积为y．

〔1〕当x=时，四边形FEHG为正方形；

〔2〕求y与x的函数关系式；〔不要求写出自变量的取值范围〕

〔3〕在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形〔不要求尺规作图，不要求写画法〕，并求△FCG面积的最大值和最小值；〔计算过程可简要书写〕

〔4〕△FOG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为．

3.如图，在平面直角坐标系中，点A〔8，2〕，B点在第一象限，BO=BA=5，假设M、N是OB和OA中点，〔1〕直线MN的解析式为〔2〕△ABN面积=〔3〕将图〔1〕中的△4MO绕点O旋转一周，在旋转过程中，△AB4面积是否存在最大值、最小值？假设不存在，请说明理由；假设存在请在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；

〔4〕将图〔1〕中的△NMO绕点O旋转，当点N在第二象限时，如图〔2〕，设N〔x，y〕，△ABN的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

(第4题)

4.如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕，B〔4，4〕，C〔0，4〕，点F、D分别在x轴、y轴上，正方形DEFO$\\ODEF$的边长为a〔a＜2〕，连接AC、AE、CF．〔1〕求图中△AEC的面积，请直接写出计算结果；

〔2〕将图中正方形ODEF绕点O旋转一周，在旋转的过程中，S△AEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；

〔3〕将图1中正方形ODEF绕点O旋转，当点E在第二象限时，设E〔x，y〕，△AEC的面积为S，求S关于x的函数关系式．5.〔2006•徐州〕将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如下图的四边形ABCD．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；

〔2〕如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

6.阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC〔其中∠BAC是一个可以变化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转66°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解〔如图2〕．

请你答复：AP的最大值是．

参考小伟同学思考问题的方法，解决以下问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，那么AP+BP+CP的最小值是．〔结果可以不化简〕

7.如图1，矩形CEFG的一边落在矩形ABCD的一边上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比为k，连接BG、DE．

〔1〕试探究BG、DE的位置关系，并说明理由；

〔2〕将矩形CEFG绕着点C按顺时针〔或逆时针〕旋转任意角度α，得到图形2、图形3，请你通过观察、分析、判断〔1〕中得到的结论是否能成立，并选取图2证明你的判断；

〔3〕在〔2〕中，矩形CEFG绕着点C旋转过程中，连接BD、BF、DF，且k=，AB=8，BC=4，△BDF的面积是否存在最大值或最小值？假设存在，求出最大值或最小值；假设不存在，请说明理由．8.〔2008•大庆〕如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b〔b≥2a〕，且点F在AD上〔以下问题的结果均可用a，b的代数式表示〕．

〔1〕求S△DBF；

〔2〕把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

〔3〕把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．9.：如图①，正方形ABCD的边长是a，正方形AEFG的边长是b，且点F在AD上，连接DB，BF，〔以下问题的结果可用a，b表示〕．

〔1〕观察计算：△DBF的面积S=〔2〕图形变式：

将图①中的正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转45°得到图②，其他条件不变，请你求出图②中△DBF的面积S；

〔3〕探究发现：

当a＞2b时，假设把图①中的正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中，△DBF的面积S是否能到达最大值、最小值？如果能到达，请画出图形，并求出最大值、最小值；如果达不到，请说明理由．〔图③可用来画图〕．

10.如图1，P为正方形ABCD的对角线AC上一点〔不与A、C重合〕，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．

〔1〕试说明：BP=DP；

〔2〕如图2，假设正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？假设是，请给予证明；假设不是，请画图用反例加以说明；

〔3〕试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与正方形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论；

〔4〕旋转的过程中AP和DF的长度是否相等？假设不等，直接写出AP：DF=；

〔5〕假设正方形ABCD的边长是4，正方形PECF的边长是1．把正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中，△PBD的面积是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，点A〔8，2〕，B点在第一象限，BO=BA=5，假设M、N是OB和OA中点，

〔1〕直线MN的解析式为．

〔2〕△ABN面积=．

〔3〕将图〔1〕中的△4MO绕点O旋转一周，在旋转过程中，△AB4面积是否存在最大值、最小值？假设不存在，请说明理由；假设存在请在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；

〔4〕将图〔1〕中的△NMO绕点O旋转，当点N在第二象限时，如图〔2〕，设N〔x，y〕，△ABN的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

〔2013潍坊〕22．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．

〔1〕当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；

〔2〕如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；

〔3〕小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？假设能，直接写出旋转角a的值；假设不能说明理由．

24．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

〔1〕在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜测并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜测；

〔2〕当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置