新高考之函数四大性质综合压轴

函数四大性质综合压轴

例.(2022•新高考I卷)已知函数/⑶及其导函数八x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/g-2x],g(2+x)

均为偶函数，贝!I()(多选题)

A./(0)=0B.C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

1.(2022•全国乙(理)T12)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

V=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则£//)=()

4=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=9,

22

若y=g(x)的图象关于直线X=2对称，g⑵=4,则£/(%)=()

*=1

A.-47B.-48C.-23D.-24

3.已知函数/(x)、g(x)的定义域均为R,〃x)为偶函数，且/(x)+g(2-x)=l,g(x)-/(x-4)=3,下列

说法正确的有()

A.函数g(x)的图象关于x=l对称B.函数/(x)的图象关于(T-1)对称

C.函数/(x)是以4为周期的周期函数D.函数g(x)是以6为周期的周期函数

4.已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g[x)为g(x)的导函数，且/(x)+g，(x)-10=0,/(x)_g14-x)-10=0,

若g(x)为偶函数，则下列一定成立的有()

A./(1)+/(3)=20B./(4)=10C./(-1)=/(-3)D./-(2022)=10

5.设定义在R上的函数/⑴与g(x)的导函数分别为/"(X)和gU),若g(x)-/(3-x)=2,/'(x)=g,(x-D,且

g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

20232023

A.函数g(x)的图象关于x=l对称B./(2)+/(4)=4C.⑹=0D.X/W=-4046

4=1hl

试卷第1页，共15页

课后练习

一、选择题(本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知f(x),g(x)是定义在R上的函数，且均不恒为零.g(x)为偶函数，/(1O)=-3.若对任意的x€R,

都有f(x+4)+f(x)=af(x+2),设/r(x)=。一2)3(久)，若函数h(x+2)的图象关于y轴对称，则下列

说法正确的是()

A.函数f(x)的一个周期为8B.函数g(x)的图象关于直线x=6对称

C.函数g(x)的一个周期为4D.f(98)+5(98)=3

2.设定义在R上的函数人力与g(x)的导函数分别为/«)和g(x),若g(x)-/(3-x)=2,/<尤)=g-1),

且g(x+2)为奇函数，g(l)=1.现有下列四个结论：①°(-1)=g(3);@/(2)+/(4)=-4；③g(2022)=

1;④X凿2/⑻=一4043.其中所有正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

3.设定义在实数集R上的函数f(x)与g(x)的导数分别为/。:)与g(x),若f(x+2)-g(l-尤)=2,f\x)=

g<x+l),且g(x+l)为奇函数，则下列说法不正确的是()

A.g(l)=0B.g⑺图象关于直线x=2对称C.2凿】g㈤=0D.f(1)=0

4.已知函数f(x),g(%)都是定义在R上的偶函数，若对任意的x6R,都有/(久+4)=/(久)+/(2),函数

/i(x)=g(x)cos7TX的图象关于直线x=2对称，g(0)=-1,贝叶(66)+g(88)=()

A.2B.1C.-1D.-2

5.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为/(x)和g(x),若g(x)-/(3-x)=2,/tx)=gQ-1),

且g(x+2)为奇函数，g(l)=1.现有下列四个结论：①g(—l)=g(3)；②f(2)+/(4)=-4；③g(2022)=

1;④£凿27(的=-4043.其中所有正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、不定项选择题

6.已知函数/(x),g(x)的定义域为R,且/(2-X)+g(尤)=5,g(x+2)-/(久-2)=7,若函数y=g(x+2)

为偶函数，g(2)=4,则下列选项正确的是()

A.f(x)为偶函数B.f(尤)的图象关于点(-1,-1)对称

C."%)的周期为4D.Xfc^3/(fc)=-2023

试卷第2页，共15页

7.已知函数函x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(l-x)=3,g(x)+f函-3)=3.若y=g(x)的图象

关于点(1,0)对称，则

A.r(-x)=-/(x)B.g(-X)=gQ)C.f(k)=6066D.£普°g(©=0

8.定义在R上的/(x)与g(x)的导函数分别为r(x)和g'(x),若g(x+1)-f(2-x)=2,f(x)=g)(,x-1),

且g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.g(2)=0B.函数r(X)关于％=2对称C.函数/⑶是周期函数D.g®=0

9,已知函数/Xx),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(l-x)=3,g(x)+/(*—3)=3.若y=g(x)的图象

关于点(1,0)对称，贝")

A.r(-x)=-/(x)B.g(—x)=g(x)C.=6066D.2凿°g®=0

10J(x)及其导数#(x)的定义域均为R,记g(x)=//(x).若f4-2x)为偶函数，g^+x)为奇函数，贝！J()

A./©=0B.5(1)=0C.5(1)+5(2)=0D.5(-1)+5©=0

11.设定义在R上的函数/(%)与gO)的导函数分别为和g(x),若/(尤+2)—g(l—x)=2,/⑺=

g(x+l),且g(x+l)为奇函数，则下列说法中一定正确的是

A.5(1)=0B.函数g(x)的图象关于尤=2对称

c.g(k)=。D.雪1f(k)g(k)=0

12.已知函数/(尤),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=2,g(x)-f(x-4)=2,

g(x+2)为偶函数，则()

A./(%)是偶函数B.g(x)是周期函数C./(2023)=2D.g(l)=2

13.f(x)及其导函数fG)的定义域均为R,记g(x)=/白).若f(3-x),一2%)均为奇函数，则()

A./(3)=0B.g(3)=0C./(jq)=f67)D.5(5)=-g(8)

14.已知函数/(久)及其导函数/Q)的定义域均为R,记g(x)=/G).若/(1+4)，9(2+为均为偶函数，则()

A./(1)=0B.g©)=0C./(x+1)=/(x)D.g(x+2)=g(x)

试卷第3页，共15页

函数四大性质综合压轴

例.(2022•新高考I卷)已知函数/⑶及其导函数八x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/g-2x］,g(2+x)

均为偶函数，贝!I()(多选题)

A./(0)=0B.C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【详解】|方法一对称性和周期性的关系研究

对于/(X),因为了为偶函数，所以/e-2x)=/t+2x)即呜-4=/(»)①，所以/(3-x)=〃x),

3

所以〃x)关于x对称，则/(-1)=/(4),故C正确：

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2对称，由①求导，

和g(x)=/(x),得=x)=g(；Tx)，所以

g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)关于§,0)对称，因为其定义域为R,所以g《)=0,结合g(x)关于X=2对称，从

而周期T=4x(2—1)=2,所以g(-g)=g(|)=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误：

若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定“X)的函数值，故A

错误.故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(Q),

/(x)=—Sin(7LX)4-C

则'兀，显然A,D错误，选BC.故选：BC.

［方法三］:因为g(2+x)均为偶函数，所以/(|-2，=/仁+2d即/［|-x)=/便+x)，

g(2+x)=g(2-x),所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C正确;

3

函数/(x),g(x)的图象分别关于直线X=Q,X=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数/(x)可导，所以g1|)=0,g(3-x)=-g(力，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-；)=g［lj=°，g(T)=g⑴=-g(2)，故B正确，D错误；

若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/a)的函数值，故A

错误.故选：BC.

【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的

通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

试卷第4页，共15页

1.(2022•全国乙(理)T12)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且〃x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

/g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则之")=()

*=i

A.-21B.-22C.-23D.-24

【解析】解法1(赋值消元)：赋值消元研究g(x).因为/'(x)+g(2-x)=5,得/(x-4)+g(6-x)=5①，又

g(x)-/(x-4)=7②,由①②相加得g(x)+g(6-x)=12,由此知g(x)的图象关于(3,6)对称，又因为g(x)的定义

域为R,所以g(3)=6.赋值消元研究/㈤，因为g(x)-/(x—4)=7,得g(2-x)-f(-2-x)=7①，又

/(X)+g(2-x)=5②，由①②相减得“X)+/(-2-x)=-2.由此知f(x)的图象关于(-1,-1)对称，又因为的定

义域为R,所以/(-1)=-L由上述结论得/⑶+/⑸+…+〃21)=(-2)X5=-10,

/(4)+/(6)+…+/(22)=(-2)x5=-10.其中缺少/⑴，,/\2),再通过特殊值进行赋值得，

因为蚱g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(x+2),而〃x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,

即/(0)=1,所以〃2)=-2-/(0)=-3.

因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为〃x)+g(27)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所

以g⑶=6因为/(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g⑶=-1.

22

所以，/㈤=〃1)+〃2)+[/(3)+/(5)+..+/2g+[1/(4+/$+...+X2^]=-1-3-10-10=-2.

〃=1

故选：D

解法2(性质消元)：因为P=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)—/(x-4)=7,所以g(x+2)—/(x—2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得〃x)+[7+/(x-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以〃3)+/⑸+…+/(21)=(-2)x5=-10,/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因为/(x)+g(2—x)=5,所以〃0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3.

因为g(x)-/*-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为/(x)+g(2-x)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所

以g(3)=6因为〃x)+g(x+2)=5,所以/(l)=5-g(3)=-l.

所以为W=f⑴+/⑵+[/(3)+/(5)+…+«2打+[人J+/$+...+X2^]=-1-3-10-10=-2.

hl

故选：D

试卷第5页，共15页

解法3：因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(x+2)①，由g(x)-/(x-4)=7,得

g(2+x)=7+f(x-2)®,又/(x)+g(2-x)=5,得g(2-x)=5-/(x)③，由①②③可知〃x+2)=-〃x)-2,则

/(x+4)=-f(x+2)-2=〃x),所以的周期为4.又〃0)=5-g(2)=5-4=l,由g(2)=7+f(-2)=7+/(2)=4,

所以八2)=-3,Xg(l)=5-/(I),g(l)=7+/(-3)=7+/(I),所以=再由g(3>=5-〃-1)=5-〃3),

g(3)=7+/(-1)=7+f(3),所以/(3)=7.所以/⑴+/(2)+,/(3)+/(4)=-4,则

22

Z/W=5X(T)+(-1)+(-3)=-24.，故选D.

k=l

【点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到

所需的一些数值或关系式从而解题.

2.(2023・全国福三专题练习)已知函数/(工)，8(万)的定义域均为区，且/(力+8(27)=5,8(幻-/(》-4)=9,

22

若了=8(口的图象关于直线、=2对称，g⑵=4,则£>")=()

k=\

A.-47B.-48C.-23D.-24

【分析】由题设条件利用赋值法可得〃X)为周期函数且周期为4,再结合赋值法可求〃0)=1、/(1)=-2,

/⑶+/⑴=-4,从而可求£>(左)的值.

k=\

【详解】因为N=g(x)的图象关于直线x=2对称，故g(x)=g(4-x),因为〃x)+g(2-x)=5,故

/(2-x)+g(x)=5,因为g(x)-/(x-4)=9,故g(4-x)-〃r)=9,所以/(2-x)+/(-x)=-4,故

/(2+。+/(。=-4,所以〃4+f)+/(2+/)=-4,故〃4+f)=/(/),所以/(x)为周期函数且周期为4.

因为g(2)=4且/(2-2)+g(2)=5,故/⑼=1,又g(2)-/(-2)=9,故4一/(-2)=9即/(-2)=-5,

而/(2+1)+./•⑴=-4即”3)+/(1)=-4,故/•⑴+/(2)+/(3)+/(4)=-8,

而/(l)+g(l)=5且g(l)-/(-3)=9,故g(l)-/(l)=9,故/(l)=-2.

22

£/(^)=5[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1>/^>-40-5-2=-47

故hl,

3.已知函数/⑺、g(x)的定义域均为R,为偶函数，且〃x)+g(2-x)=l,g(x)-/(x-4)=3,下列

说法正确的有()

A.函数g(x)的图象关于x=l对称B.函数〃x)的图象关于对称

C.函数/(x)是以4为周期的周期函数D.函数g(x)是以6为周期的周期函数

试卷第6页，共15页

【来源】湖北省武汉市2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题(五)

【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为/(力为偶函数，所以/(r)=/(x).由/G)+g(2-x)=l,可得/(-x)+g(2+x)=l,

可得g(2+x)=g(2-x),所以，函数g(x)的图象关于直线x=2对称，A错；

对于B选项,因为g(x)-/(x-4)=3,则g(2-x)-/(-2-x)=3,又因为〃x)+g(2-x)=1,可得

/(x)+/(-2-x)=-2,所以，函数f(x)的图象关于点对称,B对；

对于C选项，因为函数/(x)为偶函数，且/(x)+/(-2-x)=-2,则/(x)+/(x+2)=—2,从而

/(x+2)+/(x+4)=-2,则/(x+4)=/(x),所以，函数/(x)是以4为周期的周期函数，C对；

对于D选项，因为g(x)-/(x-4)=3,且f(x)=f(x-4),，g(x)-/(x)=3,又因为/'(x)+g(2-x)=1,所

以，g(x)+g(2-x)=4,又因为g(2-x)=g(2+x),贝i」g(x)+g(x+2)=4,所以，g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),因此，函数g(x)是周期为4的周期函数，D错.故选：BC.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

(1)若函数/(X)的图象关于直线x=a和x=b对称，则函数/(x)的周期为T=2|a-b|；

(2)若函数/(x)的图象关于点(a,0)和点0,0)对称，则函数“X)的周期为7=2|“-小

(3)若函数/(x)的图象关于直线x=a和点色,0)对称，则函数/(x)的周期为7=4k-4

4.已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g，(x)为g(x)的导函数，且/(x)+g〈x)-10=0,/(x)-g'(4-x)-10=0,

若g(x)为偶函数，则下列一定成立的有()

A./⑴+/(3)=20B."4)=10C./(-1)=/(-3)D./(2022)=10

【来源】福建省莆田第二十五中学2023届高三上学期期中考试数学试题

【分析】由g(x)是偶函数得出g'(x)是奇函数，由已知两条件推出g'(x)是以4为周期的函数，然后在已知式中对

自变量赋值求解.

【详解】g(x)是偶函数,则g(r)=g(x),两边求导得-g'(-x)=g'(x),所以g'(x)是奇函数，故g'(0)=0.

由+g'(x)-10=0,/(x)-g'(4-x)-10=0,得-10=-g'(x)=g('4-x),即g'(-x)=g'(-x+4),所以g，(x)

,,

是周期函数，且周期为4,g'(0)=g'(4)=0,g'(2)=g(2-4)=g(-2)=-g'(2),所以g'(2)=0.

对选项A：令x=l,/(l)+gf(l)-10=0,令x=3得，/(3)_g'(l)_10=0故/(1)+/(3)=20,所以选项A正确.

试卷第7页，共15页

对选项B：令x=4得，/(4)-g'(0)-10=0,故/(4)=10,所以B正确.

对选项C：令x=-l得，/(-l)+g,(-l)-10=0,令x=-3得，”-3)-g'(7)-10=0,即/(-3)-g'(-l)-10=0,

若〃-1)=/(-3),则g'(-l)=-g'(-l),所以g'(-l)=O,但g'(T)不一定为0,因此C错；

对选项D：/(2022)+^(2022)-10=0,由g，(x)是以4为周期得〃2022)+g12)-10=0,由g'(2)=0得

/(2022)=10,故D正确.故选：ABD.

5.设定义在R上的函数/(x)与g(x)的导函数分别为了‘(X)和g'(x),若g(x)-/(3-x)=2,f\x)=g\x-Y),且

g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

20232023

A.函数g(x)的图象关于"1对称B.〃2)+/(4)=4C.⑻=0D.⑹=-4046

*=1Jt=l

【来源】福建省福州第八中学2023届高三上学期半期适应性训练数学试题

【分析】根据g(x+2)为奇函数推出对称中心(2,0),根据/'(x)=g'(x-l)逆向思维得到

/(x)+a=g(x-l)+b,代入/(x)=g(3-x)+2推出g(x)的对称轴x=l,进一步得出周期4入⑶周期也为

4,算出x=l,2,3,4时的函数值以及一个周期内的值即可求解.

【详解】因为f'(x)=g'(x-l),则/(x)+a=g(x-l)+6,因为g(x)-/(3-x)=2,所以解x)=/(3-x)+2,

用3-x去替x,所以有/(x)=g(3-x)-2,所以有g(3-x)-2+a=g(x-l)+6,取x=2代入得到

g⑴-2+a=g(l)+6则”2=6,故g(3-x)=g(x-l),用x+1换x,可得g(2-x)=g(x),函数g(x)的图象关于

x=l对称，故A正确；

g(x+2)在R上为奇函数,则g(x+2)过(0,0),图像向右移动两个单位得到g(x)过(2,0),故g(x)图像关于(2,0)

对称，g(2)=0；g(x+2)=-g(-x+2),而g(2-x)=g(x),所以有g(x+2)=-g(x),则g(x)的周期7=4;

又因为g(x)图像关于(2,0)对称，g(2)=0；函数g(x)的图象关于x=l对称,，故g。)=-g⑶,g(2)=g(4)=0,

)(P3

£g⑹=g(l)+g(2)+…+g(2023)=g(l)+g(2)+g⑶=0,故c正确.

A=1

f(x)=g(3-x)-2,是由g(x)的图像移动变化而来,故/(x)周期也为4,因为g(D=-g(3),g(2)=g(4)=0,

所以f(2)=g(l)-2,〃4)=冢-1)-2=8(-1+4)-2=烈3)-2,所以〃2)+/(4)=86-2+8(3)-2=-4,故B错

误；

/(x)=g(3-x)-2,/(x)周期为4,/(l)=g(2)-2=-2,

/⑵=g(l)-2J(3)=g(0)-2=-2J(4)=g(-l)-2=g(-l+4)-2=g(3)-2

2023

故=/(1)+/⑵+…+/(2023)=505x(-8)+/(1)+/(2)+/(3)=-4046+g(l),

&=】

2023

由于g(D的值未知，g(l)不一定为0,所以无法判断2人幻的值为-4046,故D错误;故选:AC.

k=]

试卷第8页，共15页

课后练习

一、选择题(本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

15.已知f(x),g(x)是定义在R上的函数，且均不恒为零.g(x)为偶函数，/(1O)=-3.若对任意的x€R,

都有/0+4)+/(乃=鱼/0+2),设％(吗=。-2)3(久)，若函数h(x+2)的图象关于y轴对称，则下列

说法正确的是()

A.函数/(x)的一个周期为8B.函数g(x)的图象关于直线x=6对称

C.函数g(x)的一个周期为4D.f(98)+5(98)=3

【解答】因为f(x+2)+f(x)=+1)，所以"x+2)=VJ/Yx+〃一"x).

所以/Q+3)=y[2f(x+2)-f(x+1)=\f2[V2f(x+1)-f(x)]-f(x+1)=f(x+1)-\[2f(x).

所以/Q+4)=f(x+2)—>f2f(x+〃=y[2f(x+1)—f(x)-42f(x+1)=-f(x)-

所以//x+8)=-//r+4)=//x).故函数/代，的一个周期为8,所以《错误；

因为对任意的都有gfk+4)=+g0,g勿为偶函数，

令％=—2,得g(-2+4)=g(-2)+g(2),解得g(-2)=0,g(2)=g(-2)=0,

所以g(x+4)=g切.因为gQ)不恒为0,所以函数的一个周期为4,所以8错误；

令F(x)=f(x)+g(x),因为//x)的一个周期为8,且周期不为4,的一个周期为4,

所以F(x+8)=f(x+8)+g(x+8)=?①).所以/的+的一个周期为8.所以C错误；

f(66)+g(66)=f(8x8+2)+g(4xl6+2)=f(2)+g(2)=3,所以。正确.故选D

16.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为/(尤)和gQ),若g(x)—/(3—x)=2,f(x)=g«-1),

且g(x+2)为奇函数，g⑴=1.现有下列四个结论：①g(-1)=5(3)；②/(2)+/(4)=-4；③g(2022)=

1;④£音2人的=一4043.其中所有正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】因为尸O)=g'(x-/),所以/1(X)+a=g(x-l)+b.因为g(x)-f(.3-x)=2,所以/'(无)=g(3-x)-2,

所以g(3-x)-2+a=g(x—/)+b.因为g(/)=/,所以g(/)-2+a=g(/)+b,得a-2=b,所以g(3-x)=

g(x-/),所以g(2-x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=/对称，所以g(-/)=g(3),故①正确.

因为g(x+2)为奇函数，所以g(x+2)=-g(-x+2),且g(2)=0.因为g(2—x)=g(x),所以g(x+2)=-g(x),

g(x+4)=-g(x+2)=g(x),则g(x)的周期7=4,所以g(2022)=g(2)=0,故③t昔误.

因为f(x)=9(3-x)-2,所以/⑺的周期也为4,所以f(2)=g(/)-2=-1,f(4)=成一/)-2=g(3)-2=-

g(i)-2=-3,所以/'(2)+f(4)=-4,故②正确.

因为/(1)=g(2)—2=-2,f(2)=g(1)—2=一1,八3)=g(0)—2=-2,f⑷=-3,

所以E晋f(k)=fQ)+f⑵+…+f(2022)=505x(-8)+f⑴+f⑵=-4043,所以④正确.故选：C.

17.设定义在实数集R上的函数/(久)与g(x)的导数分别为fQ)与g(x),若f(x+2)-g(l-x)=2,f\x)=

试卷第9页，共15页

g(x+l),且g(x+l)为奇函数，则下列说法不正确的是()

A.g(l)=0B.g(x)图象关于直线x=2对称

C.2凿%⑻=。D.八1)=0

【解答】解：庄1g仕+〃为奇函数得x+〃=0,取％=0,可得g(〃=0,故/正确；

因为+2)—g〃一劝=2,所以/Q+2)+g〃一切=0,所以广(切+—切=0，又/⑺=g口+〃，所以

gr(x+〃+g'(3-x)=0,故gY2+%)+g，(2_x)=0,所以函数矿仅，的图象关于点(2,。对称，故B错误；

因为/㈤=g，(x+1),所以//㈤—g(x+1)7=0,所以/㈤-g(x+〃=c,c为常数，

因为/代+2)-一劝=2,所以/同一g(3—=2,所以+〃-g(3-初=2-c,取％=/可得c=2,

所以gQ+〃=g(3—劝，又g(x+1)=-g(—x+1),所以g仔一动=-g/—x+〃，所以+2)=-gO，

所以g(x+4)=_g(x+2)=g(x),故函数为周期为4的函数，

因为9々+2)=-。闰，所以g，3)=-g(〃=0,g(4)=—g(2),所以+g0+g⑸+g4=0,

所以2雷9阳=505x[g(l)+g⑵+g(3)+g(4)]+g(2021)=505x0+g(2021)=g(l)=0,

故£雷g④的值为0,故C正确；

由B项分析知：f'(x)+g'(3-x)=0,所以(〃)=一9丫2),因为g。为常数，则g，⑵=0,即/化)=0,故。正确.

故选8.

18.已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的偶函数，若对任意的xeR,都有f(x+4)=f(x)+f(2),函数

h(x)=g(x)C0S7TX的图象关于直线x=2对称，g(0)=-l,贝!)/(66)+g(88)=()

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：因为对任意的xeR,都有的+4)=f(x)+f(2),且外切为偶函数，令x=-2,得"-2+4)=f(-2)+

f(2),即"-2)=0,f(2)=f(-2)=0,所以对任意的都有/Yx+4)=/同+/⑵=〃%),即函数切的

一个周期为4,因为九色＞的图象关于久=2对称，所以Zi(2+X)=h62—切，

所以g(2+X)COSIT(2+x)=g(2—x)cosn(2—x),即g(2+x)•COSTTX=g(2—xjcoswx对任意xeR恒成立，

则g(2+x)=g(2-x).因为9戊)是偶函数，所以g(-x)=g(x)=g(4-x),所以=g(4+x),所以函数

的一个周期为4,所以f(66)+g(88)=f(4X16+2)+g(4x22)=f(2)+g(0)=0-1=-1,故选C.

19.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为/Q)和gQ),若g(x)-/(3-x)=2,f{x)=gQ-1),

且g(x+2)为奇函数，g(l)=1.现有下列四个结论：①以-1)=g(3);②f(2)+/(4)=一4;③g(2022)=

1:④2音2外的=一4043.其中所有正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因为尸(x)=g，(x-1),所以f(x)+a=g(x-/)+b.

因为g(x)—/(3—X)=2,所以/(无)=g(3-x)—2,所以g(3-x)—2+a=g(x—/)+b.

因为g(1)=/，所以g(/)-2+a=g(/)+b,得a—2=b,所以g(3—x)=g(x—

所以g(2—x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=/对称，所以g(—1)=g(3),故①正确.

试卷第10页，共15页

因为g(x+2)为奇函数，所以g(x+2)=-g(-x+2),且g(2)=0.

因为g(2—x)=g(x),所以g(x+2)=-g(x),+4)=-gQ+2)=g(x),则g(x)的周期T=4,

所以g(2022)=g(2)=0,故侬昔误.

因为/(x)=9(3-％)-2,所以f(x)的周期也为4,

所以f(2)=g(l)-2=-I,f(4)=g(-i)-2=g(3)-2=-g(l)-2=-3,

所以八2)+/(4)=—4,故②正确.

因为/⑺=9(2)-2=-2,f(2)=g(/)-2=-l,/(3)=g(0)-2=-2,/(4)=-3,

所以£鬻“卜)=/(/)+/(2)+…+/(2022)=505x(-8)+/(/)+/(2)=-4043,所以④正确.故选:C.

二、不定项选择题(本大题共9小题，共45.0分)

20.已知函数/(尤),g(x)的定义域为R,且“2-x)+fl(x)=5,g(x+2)-f(x-2)=7,若函数y=g(x+2)

为偶函数，g(2)=4,则下列选项正确的是()

A.f(x)为偶函数B.f(x)的图象关于点(-1,-1)对称

C./(吗的周期为4D.£合3/⑻=_2023

解：y=g(x+2)为偶函数，贝Ug(x+2)=g(2-x)①由/'(2—x)+g(x)=5知/'(x)+g(2-x)=5②，

进而/(-x)+g(2+x)=5③，将④弋入+g(2—x)=5④，由②◎□/(-x)=/(x),

所以/(x)为偶函数，/正确；

由条件g(x+2)—/(x-2)=7,③与此式作差得：/(-X)+/(%-2)=-2(§),

所以/(x)的图象关于点(一/,-/)对称，8正确；

由/'(X)为偶函数，结合危式知：/(X)+/(%-2)=-2,所以/'(x-2)+/(x—4)=-2,

两式作差得：f(x)=f(x-4),即f(x)的周期为4,C正确；

/(2-x)+g(x)=5中令x=2,则/'(0)=/,f(4)=f(0)=l,

在⑤中令x=1得2/(-7)=-2,/(-/)=-I,/(7)=-1,f(3)=/(-/)=-1,

在⑤中令x=0得f(-2)+f(0)=-2,/(-2)=-3,f⑵=-3,

•・./(/)+f(2)+f(3)+K4)=(-/)+(-3)+(-/)+/=-4，

2023

由f(x)的周期为4知，£/(fc)=一4x505+(-7)+(-3)+(-Z)=-2025,D错误，故选：ABC.

k=I

21.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(l-x)=3,g(x)+/(尤-3)=3.若y=g(x)的图象

关于点(1,0)对称，则

A./(-*)=-/(x)B.g(-x)=g(x)C.漕/⑻=6066D.漕g®=0

【解答】解：因为y=g㈤的图象关于点(7,0)对称，所以g〃一切+g(l+幻=0,g0的定义域均为R,故g(〃=0,

由/0+。〃一%)=3,得f(一x)+g(l+x)=3,所以f(x)+f(一初=6,故4错误；

令％=0得，f(0)=3,因为自㈤+f(x-3)=3,所以+I)+f(x-2)=3与/㈤+g(l-x)=3联立得，f(x)+

f(x-2)=6.

试卷第11页，共15页

则2)+fa-4)=6,所以/切=-4),即/㈤的其中一个周期为4,

因为g。)+/«—3)=3,所以ga+4)+/Y%+〃=3,即g优+4)=g优A

所以g.)的其中一个周期也为4,由gO+fa-3)=3,得g(x-1)+f(x-4)=3,

与f(x)+g(l-x)=3联立,得g(x-1)=g(l-x),即=-初，所以8正确；

由/⑺+/代-2)=6,得"〃+"3)=6,但"〃与"3’的值不确定，又f(0)=3,*2)=3,

所以X鬻f(k)=f(l)+f(2)+505[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)]=6063+f(I)，故C错误；

由g(x)+/x-3)=3,得g⑶+"0)=3,所以g(3)=0,又f(-1)+g(2)=3,

f(l)+g(4)=3,两式相加得，g(2)+g(4)=0,所以

E胃g化)=0=505[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)J=0,故。正确，故选8D

22.定义在R上的函数/(x)与g(x)的导函数分别为r(x)和g，(x),若g(x+1)-/(2一x)=2,尸(乃=g'O-

1),且g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

B.g(2)=0B.函数f'O)关于x=2对称

C.函数/(*)是周期函数D.£雷3g(©=0

【解答】解：由g(x+2)为奇函数得+2)+g(-x+2)=0,取x=0,可得g(2)=0,故/正确；

因为g(x+〃-/2-刈=2,所以g/x+〃+/丫2—幻=0，所以r(x)+—劝=0,

又，(x)=g'(x-1)，所以/枕+2)+/72-刈=0,所以函数广㈤的图象关于点但,0)对称，故8错误；

因为/Yx)=g枕一〃，所以[f(x)-g(x-1)『=0,所以"切一g(x-〃=c,c为常数，

则g戊-1)=f(x)-c,g(x+1)=f(x+2)-c,

因为g(x+〃-f(2-x)=2,所以//x+2)-c-f(2-x)=2,所以"x+2)-f(2-x)=2+c,

取x=0可得c=—2,所以f(x+2)=f(2—x),

又+2)=-g(—x+2),所以/'(x+3)=-f(-x+3),所以//x+2)=—ffk+4),

所以/1伽+4)=-/Q+2)=f(切，故函数/㈤为周期为4的函数，故C正确；

因为+〃=g(3一切，又g(x+2)=-g(-x+2),所以g(3-幻=--x+〃，\^g(x+2)=-g(x),

所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故函数9„为周期为4的函数，

所以g«)=-g⑵=0,g(3)=-g(l)，所以g〈〃+g(2)+g㈤+g闻)=0,

所以渭g的=505x[g(l)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(202I)+g(2022)+g(2023)

=505xfl+g(2)=0,故Z)正确；

23.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,K/(x)+g(l-x)=3,g(x)+f(x-3)=3.若y=g(x)的图象

关于点(1,0)对称，贝!)()

A./(-x)=-/(x)B.g(-%)=g(x)C.=6066D.溜。g®=0

【解答】解：因为y=的图象关于点(7,0)对称，所以g〃一切+g(l+幻=0,g⑺的定义域均为R,故=0,

^if(x)+g(l-x)=3,得//-切+g〃+”=3,所以+//-切=6,故/错误；

试卷第12页，共15页

令％=0得，f(0)=3,因为9切+/仁—3)=3,

所以g。+〃+f(x-2)=3与/㈤+g(l-X)=3联立得，f(x)+f(x-2)=6,

^\f(x-2)+f(x-4)=6,所以"初=/戊-4),即"町的其中一个周期为4,

因为9化?+/7%-3)=3，所以自何+4)+/Yk+〃=3，即g"+4)=g3，

所以9＜初的其中一个周期也为4,由^㈤+//%—3)=3,得g(x—1)+f(x—4)=3,

与/信＞+9〃一劝=3联立，得g(x-1)=g(l-x),即0仁)=9/一切，所以8正确；

由/⑺+"久一2)=6,得"〃+/⑶=6,但"〃与/⑸的值不确定，

又/仰=3,/⑵=3,所以工誉f化)=f(l)+f(2)+505[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)]=6063+f(l),故C错误；

由g〈M+fa-3)=3,得g(3)+f(0)=3,所以g(3)=0,又"一〃+g⑵=3,

f(