2023年各地中考几何压轴题汇编附详解

2023年各地中考几何压轴题汇编

1.(2023•安徽)在RtZ\A」BC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至位置,

点D在直线AB外,连接AD,BD.

(1)如图1,求—4)8的大小；

(2)已知点O和边AC上的点E满足ME±AD,DE//AB.

(i)如图2,连接CO,求证：BD=CD；

(ii)如图3,连接6E,若4。=8,8。=6,求3//由上的值.

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2.（2023•北京）在_ABC中、NB=NC=a（O°＜。＜45°）,AM_16c于点M。是线段

上的动点（不与点MC重合），将线段ZW绕点。顺时针旋转2。得到线段。E.

（1）如图1,当点E在线段AC上时,求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段BM上存在点尸（不与点B,"重合）满足。£=OC,连接AE,EF,

直接写出NA£F的大小，并证明.

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3.(2023•福建)如图1,在-ABC中，NBAC=90°,AB=AC,£＞是A8边上不与A8重合

的一个定点.AOSBC于点。，交CO于点E.DE是由线段OC绕点。顺时针旋转90°

得到的，FD'CA的延长线相交于点M.

图2

(1)求证：/XADEs^FMC；

求NA3尸的度数;

(3)若N是AF的中点，如图2.求证:ND=NO.

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4.（2023•广西）如图，是边长为4的等边三角形，点，E,F分别在边48,BC,CA

上运动,满足AD=BE=CF.

（1）求证：AADFABED；

（2）设A£＞的长为x,_。所的面积为y,求y关于x的函数解析式；

（3）结合（2）所得的函数，描述二。七尸的面积随的增大如何变化.

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5.（2023•河北）如图1和图2,平面上，四边形ABCD中，

AB=8,8C=2拒,CD=U,DA=6,NA=90°

，点M在边上，且。"=2.将线段

M4绕点M顺时针旋转〃°（。<〃<180）到MA',ZA'MA的平分线MP所在直线交折线

.一于点尸，设点P在该折线上运动的路径长为x（“>°）,连接A'P.

图I图2%用图

（1）若点P在AB上,求证：AP=AP；

（2）如图2.连接8D.

①求NC8O的度数，并直接写出当〃=180时，x的值；

②若点P到BD的距离为2,求tanZAMP的值；

（3）当0〈尤W8时,请直军写出点4到直线的距离.（用含x的式子表示）.

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6.（2023•山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿

对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为-48C和4DFE,其中

NACB=NDEF=90。,NA=ND.将二A8C和△OEE按图2所示方式摆放，其中点3与

点尸重合（标记为点8）.当乙43£=NA时，延长OE交AC于点G.试判断四边形

（2）深入探究：老师将图2中的，.ABE绕点B逆时针方向旋转，使点£落在二ABC内部,

图2

①“善思小组”提出问题：如图3,当ZABE=ABAC时，过点A作AM_LBE交8E的延长

线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系,并加以证明.请你解

②“智慧小组”提出问题：如图4,当NCBE=N84。时.，过点A作AH_LD£于点〃，若

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BC=9,AC=12,求A”的长.请你思考此问题,直接写出结果.

图4

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7.(2023•深圳)(1)如图,在矩形A8C£＞中，E为AD边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CFLBE交BE于点F,求证：AABEHFCB：

②若S矩切88=20时，则BECF=.

(2)如凰在菱形A8CO中，cosA=；，过C作CE1AB交AB的延长线于点E,过E作

所1AD交AO于点尸，若S^ABCD=24时，求砂.3C的值.

(3)如图,在平行四边形43co中，NA=60。，AB=6,4)=5,点E在CD上，且C£=2,

点E为BC上一点,连接EE,过E作EGLEF交平行四边形A3CD的边于点G,若

EF•EG=7百时,请直接写出AG的长.

备用图

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8.（2023・无锡）如图，四边形ABC。是边长为4的菱形，NA=60。，点。为CD的中点，P

为线段A3上的动点,现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q.

（1）当/QPB=45°时，求四边形BB'CC的面积；

（2）当点尸在线段A3上移动时，设BP=x,四边形83'C'C的面积为S,求S关于x的函数

表达式.

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9.（2023•武汉）问题提出：如图（1）,E是菱形A8GD边上一点，是等腰三角

形，AE=EF,44£/?=乙钻。=二（。之90。）,川交。。于点6,探究/6。/与&的数

量关系.

问题探究：

（1）先将问题特殊化，如图（2）,当。=90°时，直接写出NGC9的大小；

（2）再探究一般情形，如图（1），求NGB与a的数量关系.

问题拓展：

（3）将图（1）特殊化，如图（3）,当a=120。吐若变=L求毁的值.

CG2CE

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10.（2023•徐州）【阅读理解】如图1,在矩形A8C。中，若A6=a,BC=6由勾股定理,

22

得AC?="+〃，同理BD2=〃+层，故AC+BD=2（片+〃）.

【探究发现】如图2,四边形ABC。为平行四边形,若AB=a,8C=。，则上述结论是否依然

成立？请加以判断,并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知8。为-ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：

八立三2T-2三?

24

（尝试应用】如图4,在矩形ABCD中，若AB=8,8C=12,点尸在边斗。上,则PB2+PC2

的最小值为

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11.（2023•黄冈）【问题呈现】

△C4B和iCDE都是直角三角形，NACB=NDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接

AD,BE,探究A。，BE的位置关系.

（1）如图1,当〃2=1时，直接写出AO,8E的位置关系：；

（2）如图2,当相。1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用】

（3）当加=g,AB=477,DE=4时,将-CDE绕点C旋转，使AE三点恰好在同一直

线上，求的长.

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12.(2023•十堰)过正方形ABCO的顶点。作直线DP,点、C关于直线的对称点为点E,

连接AE,直线AE交直线DP于点产.

(1)如图1,若NCDP=25。,则ZDAF=°；

(2)如图1,请探究线段CO,EF,"之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)在0P绕点。转动的过程中，设A/=a,E/=)请直接用含的式子表示DF的长.

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13.（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直

线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物

理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也

被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和

“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选

择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点）

当-A3C的三个内角均小于120。时，

如图I,将△APC绕,点C顺时针旋转60°得至U©APC,连接PP',

故24+P8+PC=24'+PB+PP>A'B,

由②可知,当B,P,尸'，4在同一条直线上时，24+依+PC取最小值,如图2,最小值

为AB,此时的P点为该三角形的“费马点”.且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③；

已知当一A5C有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,

若N3AC2120。，则该三角形的“费马点”为④点.

（2）如图4,在二A8C中，三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,NACB=30。，已知

点P为.一ABC的“费马点”，求Q4+P8+PC的值；

（3）如图5,设村庄A,8,C的连线构成一个三角形,且已知

AC=4km,BC=2y/3km,ZACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄

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铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为。元/krn,。元/km,亿元/km,

选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为___________元.（结果用含a的式子表示）

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14.(2023•东营)(1)用数学的眼光观察.

如图，在四边形A8CD中，AD=BC,P是对角线3。的中点，"是A8的中点，N是DC

的中点，求证：4PMN=4PNM.

(2)用数学的思维思考.

如图，延长图中的线段AO交MN的延长线于点E,延长线段8C交MN的延长线于点厂,

求证：NAEM=4F.

(3)用数学的语言表达.

如图，在中，AC<AB,点。在AC上，AD=BC,”是AB的中点，N是。。的中

点,连接MN并延长,与BC的延长线交于点G,连接GD,若ZANM=60°,试判断

△CG£>的形状,并进行证明.

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15.（2023•临沂）如图，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

(1)写出AB与3。的数量关系；

(2)延长到E,使C£=BC,延长。C到尸，使CV=DC,连接求证：EF±AB.

(3)在(2)的条件下，作/ACE的平分线，交A歹于点，，求证：AH=FH.

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16.(2023•烟台)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在

AB的同侧作等腰ACO和等腰-3CE,且NA=NCBE.在线段EC上取一点尸，使

£F=AD,连接

(1)如图1,求证：DE=BF;

(2)如图2,若AD=2,3尸的延长线恰好经过DE的中点G,求BE的长.

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17.（2023•邵阳）如图,在等边三角形ABC中，。为A3上的一点，过点。作6C的平行线

交AC于点E,点P是线段OE上的动点（点P不与。、£重合）.将4A3P绕点A逆

时针方向旋转60°,得到△ACQ,连接EQ、PQ,PQ交AC于尸.

（1）证明：在点P的运动过程中，总有ZPEQ=120。.

AP

（2）当而为何值时，AAQ/7是直角三角形？

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18.（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后,进一步进行以下探究活动:

在正方形ABC。的边8C上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形

BEFG绕点、8顺时针旋转.

图①图②图③

特例感知：

（1）当BG在BC上时，连接。尸，AC相交于点P,小红发现点P恰为DF的中点，如图

①.针对小红发现的结论，请给出证明；

（2）小红继续连接EG,并延长与。口相交,发现交点恰好也是OF中点P,如图②,根据小

红发现的结论,请判断AAPE的形状，并说明理由；

规律探究：

（3）如图③,将正方形BEFG绕点8顺时针旋转。，连接。口点P是。/中点，连接AP,

EP,AE,.PE的形状是否发生改变？请说明理由.

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19.（2023•岳阳）如图1,在JRC中，A5=AC,点〃,N分别为边的中点，连接

MN.

初步尝试：（1）用N与AC的数量关系是,MN与AC的位置关系是.

特例研讨：⑵如图2,若NR4c=90。,6c=4JL先将一8VW绕点3顺时针旋转a（«

为锐角），得到43所，当点AE,尸在同一直线上时，AE与8C相交于点。，连接CF.

（2）求CO的长.

深入探究：（3）若ZB4C<90°,将.BMN绕点8顺时针旋转a,得到ZXB所，连接AE,

CF.当旋转角a满足0。<a<360°,点C,E,尸在同一直线上时,利用所提供的备用图探

究NBAE与ZABF的数量关系,并说明理由.

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20.(2023•大连)综合与实践

问题情境：数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知A8=AC,NA>90。，点E为AC上一动点，将ABE以8E为对称轴翻折.同学们经

过思考后进行如下探究：

独立思考：小明：“当点£>落在上时，N£DC=2NACB.”

小红：“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答：

问题1：在等腰一A8C中，AB=AC,NA>90°,ABDE由二ABE翻折得到.

(I)如图1,当点。落在BC上时,求证：ZEDC=2ZACB；

(2)如图2,若点E为AC中点，AC=4,QD=3,求5E的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成NA<90°的等腰三角形,

可以将问题进一步拓展.

问题2：如图3,在等腰145c中，NA<90°,AB=AC=BZ)=4,2N£)=NA3。.若

8=1,则求的长.

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2023年各地中考几何压轴题汇编详解

1.(2023•安徽)在RtAABC中，M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,

点D在直线AB外,连接AD,BD.

(1)如图1,求—4)8的大小；

(2)已知点。和边AC上的点E满足ME±AD,DE//AB.

(i)如图2,连接CO,求证：BD=CD；

(ii)如图3,连接若AC=8,BC=6,求tanNABE的值.

【答案】(1)ZAZM=90°(2)(i)见解析；(ii),

2

【小问1详解】

解：==

NMAD=NMDA,ZMBD=NMDB,

在△•£)中，ZMAD+ZMDA+ZMBD+ZMDB=\^°,

1QAO

/.ZADB=ZADM+ZBDM==90°.

2

【小问2详解】

证明：(i)证法一：

如图，延长B。、AC,交于点F,则ZBCF=90°,

VME±AD,ZADB=90°,

EM//BD.

又•:DE//AB,

：.四边形BDEM是平行四边形.

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DE=BM.

是AB的中点,，

二AM=BM.

•••DE=AM.

，四边形AMDE是平行四边形.

•/ME上AD,

，,AMDE是菱形.

；•AE=AM.

,:EM〃BD,

.AE_AM

/.AB=AF.

•/ZADB=90°，即ADJ_6/，

BD=Z)R,即点。是RtBCF斜边的中点.

BD=CD.

证法二：

•/ZACB=ZADB=90°,〃是斜边AB的中点，

...点A、C、D、B在以“为圆心，A5为直径的。M上.

•/MELAD,

•♦•ME垂直平分AD.

；•EA=ED.

ZEAD=ZEDA.

•/DE//AB,

/./BAD=/EDA.

：./EAD=/RAE>.

BD=CD.

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证法三：

yME±AD,ZAZ）3=90。，

EM〃BD.

又•:DE//AB,

四边形BDEM是平行四边形.

/.DE=BM.

：M是AB的中点，

/•AM=BM.

•••DE=AM.

四边形AAQE是平行四边形.

'：ME±AD,

，.-AMDE是菱形.

，ZEAD-ZMAD.

：ZACB=ZADB=90°,M是斜边A3的中点，

...点A、C、D、B在以M为圆心，AB为直径的《Mh.

/.BD=CD.

（2）如图所示，过点E作瓦/_LAB于点〃，

•/AC=8,8C=6,

,AB=JAC?+3c2=10，则AE=AM=；AB=5,

•/ZEAH=ABAC,ZACB=ZAHE=90°,

...AHES'ACB,

.EHAH_AE_5

：.EH=3,AH=4,

：.BH=AB-AH=10-4=6,

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.—LEH31

・・tanABE=-----=—=—

BH62

2.(2023•北京)在_ABC中、=NC=a(0°<a<45°),AM_L6C于点M。是线段

上的动点（不与点MC重合），将线段。M绕点。顺时针旋转2。得到线段OE.

（1）如图1,当点E在线段AC上时,求证：。是MC的中点;

（2）如图2,若在线段上存在点尸（不与点B,M重合）满足=£>C,连接AE,EF,

直接写出NA£F的大小，并证明.

【答案】（1）见解析（2）NAE尸=90。，证明见解析

【小问1详解】

证明：由旋转的性质得：DM=DE,^MDE=2a,

Z.C—a,

ZDEC^ZMDE-ZC=a,

：.ZC=ZDEC,

：.DE=DC,

DM=DC,即。是MC的中点;

【小问2详解】

ZAEF=90°；

证明：如图2,延长所到”使EE=£W,连接CH,47,

DF=DC,

DE是AFC”的中位线,

DE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,/MDE="

/./FCH=2a,

*//LB=NC=ct,

•••NACH=a,_ABC是等腰三角形,

:.NB=NACH,AB^AC,

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设DM=DE-m,CD=〃，则CH—2m,CM—m+n,

.*•DF-CD=n,

FM=DF-DM—n-m,

'：AMYBC,

BM=CM-m+n,

BF=BM-FM=m+n—^n—m)=2m,

：.CH=BF,

AB=AC

在△AB厂和ACH中，＜NB=ZACH,

BF=CH

.ABFACH(SAS),

；•AF^AH,

•・•FE=EH，

；•AE_LW，即NA£F=90°.

图2

3.（2023•福建）如图1,在-ABC中，/84。=90°,48=4。,。是43边上不与48重合

的一个定点.4018。于点。，交C。于点E.OE是由线段QC绕点。顺时针旋转90°

得到的，E2CA的延长线相交于点M.

(1)求证：AADE^AfMC；

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（2）求NA3/的度数；

（3）若N是AF的中点，如图2.求证：ND=NO.

【答案】（1）见解析（2）ZAB尸=135°（3）见解析.

【小问1详解】

解：。厂是由线段。C绕点D顺时针旋转90°得到的，

/.ZZ）FC=45°,

AB=AC,AO±BC,

ZBAO^-ZBAC.

2

NBAC=90。，

:.ZBAO=ZABC=45°.

：.ZBAO=ZDFC.

NEDA+ZADM=90°,AM+ZADM=90°,

：.ZEDA=ZM.

:.^ADEsAFMC.

【小问2详解】

解：如图1：设与OR的交点为/,

图1

ADBI=ZCF/=45°,ABID=4FIC,

:.△BI44FIC,

丝-

FZ

旦

皿-

ZBIF=ZDIC,

.-.△B/F^ZXDZC,

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:.NIBF=NIDC.

又,ZZZ）C=90°,

.-.ZZBF=90°.

ZABC=45°,ZABF=ZABC+ZIBF,

：.ZABF^135°.

【小问3详解】

解：如图2：延长ON交防于点T，连接。T，。。，

/FBI=NBOA=90°,

BF//AO,

AFTN=ZAON.

QN是AF的中点，

AN=NF.

又一ZTNF=ZONA,

^TNF94ONA,

:.NT=NO,FT=AO.

ABAC=90°,AB=AC,AO±BC,

AO-CO,

:.FT=CO.

由（2）知，△BIFsADIC,

:.ADFT=ADCO.

DF=DC,

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DT=DO,NFDT=NCDO,

ZFDT+ZFDO=ZCDO+ZFDO,即NODT=NCDF.

ZCDF-90°,

ZODT=ZCDF=90°,

：.ND=-TO^NO.

2

4.（2023•广西）如图，.45。是边长为4的等边三角形，点DE,F分别在边A&BC,CA

上运动，满足=

（1）求证：:.ADFABED；

（2）设AT>的长为x,，无尸的面积为y,求y关于x的函数解析式；

（3）结合（2）所得的函数，描述..£）砂的面积随AD的增大如何变化.

【答案】（1）见详解；（2）3，=述/_36》+46;

4

（3）当2<x<4时，的面积随A£>的增大而增大，当0<x<2时，1）石尸的面积随

AO的增大而减小.

【小问1详解】

证明：：.ABC是边长为4的等边三角形，

ZA—/B—ZC=60°,AB=BC=AC=4,

AD=BE=CF,

：.AF=BD=CE,

在△ADE和BED中，

AF=BD

<ZA=ZB,

AD=BE

....ADF^BED（SAS）；

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【小问2详解】

解：分别过点C、尸作CH_LA8,FG145,垂足分别为点“、G,如图所示:

在等边“ABC中，NA=N3=NAC3=60°,AB=BC=AC=4,

•••CH=AC-sin600=2y/3,

•••SABC=；A6C"=46，

设AD的长为x,则AD=BE=CF=x,AF=4-x,

FG=AF•sin60°=^-（4-x）

.•.SAL；ADFG=¥X（4—X）,

同理（1）可知一①汪一CEE,

,1,S4）=SBED=SCFE=乎%（4一%），

；_£>所的面积为必

y=SABC—3sADF~4^3—x（4—x）x~—3>/3x+;

【小问3详解】

解：由（2）可知：^=2®/—3瓜+46,

4

飞瓜_-3\/3_

。=3〉0,对称轴为直线“=三方=

42x—

4

.••当x>2时,y随x的增大而增大，当x<2时,y随x的增大而减小;

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即当2<x<4时，.。砂的面积随A£1的增大而增大，当()<x<2时，.巫尸的面积随

A£)的增大而减小.

5.(2023•河北)如图1和图2,平面上,四边形A8CD中，

48=8,8。=2而,。。=12,。4=6,/4=90°,点加在/1£>边上,且。加=2.将线段

MA绕点、M顺时针旋转n°(O<n<180)到MA:,ZAMA的平分线MP所在直线交折线

43—3。于点「，设点「在该折线上运动的路径长为》(》>0),连接47.

图I图2品用图

(1)若点尸在AB上,求证：AP=AP；

(2)如图2.连接30.

①求NCBD的度数,并直接写出当〃=180时，x的值；

②若点P到BD的距离为2,求tanZAMP的值；

(3)当0<xW8时,请直谈写出点A到直线A3的距离.(用含x的式子表示).

7238x2

【答案】(1)见解析(2)@ZCBD=90°,x=13;②二或二,(3)

66x2+16

【小问1详解】

V将线段MA绕点M顺时针旋转n°(O<n<l80)到MA,

•••AM=AM,

VNA'MA的平分线MP所在直线交折线A6—于点P,

:.ZAMP=ZAMP,

又•:PM=PM,

MMP^MMP(SAS),

•••AP=AP；

【小问2详解】

①：AB=S,DA=6,ZA=90°,

•*-BD=yjAB2+AD2=10-

第32页共80页

BC=2拒,CD=n,

BC2+BD2=(2而『+1()2=144,CD?=122=144,

BC2+BD2=CD2,

：.NCBD=90°；

如图所示，当72=180时,

图2

•••PM平分N4'M4,

ZPMA=90°,

•••PM//AB.

；•ADNM，\DBA,

一DN=——DM=——MN，

DBDABA.

DM=2,DA=6,

.DN_2_MN

1068

D2N,=——10,M…N=8

33

BN=BD-DN=—.

3

,//PBN=ZNMD=90°,4PNB=/DNM,

•••APBN-ADMN,

20

.PBBNAllPB_3

DMMN28

二解得PB=5,

•*.x=AB+P5=8+5=13.

第33页共80页

②如图所示，当P点在A5上时，PQ=2,ZA'MP^ZAMP,

•；AB=S,DA=6,ZA=90°,

•'­BD7AB'AD?=依+82=10,sinZDBA=—,

L>L)1UJ

BP.BQ=210

•••sinADBA33,

5

AP=AB-BP^8-—^—

33

14

・AP7

,,tanZA'MP=tanZAMP=——=工=一；

AM46

如图所示，当尸在5c上时，则P6=2,过点尸作PQLAB交AB的延长线于点Q,延长

交AB的延长线于点H,

NQPB=90°-ZPBQ=NDBA,

JPQBS^BAD,

.PQQBPB

PQQB_PB

即

第34页共80页

•..P°TY31PB咚

46

AQ=AB+BQ=—,

'：PQ±AB,DAA.AB,

：.PQ//AD,

：.i.HPQ^HMA,

•HQ二PQ

''HA~AM'

8

.HQ.J

92

解得：HQ=—.

15

92

tanZA'MP=tanZAMP=tanZQPH=理=乌="，

PQ6

5

723

综上所述，tanNA'MP的值为士或一；

66

【小问3详解】

解：•.•当0<xW8时，

/.P在A8上，

如图所示,过点A'作AE_LA8交A8于点£过点M作，AE于点F,则四边形

4WFE是矩形，

•••AE=FM,EF=AM=A,

第35页共80页

/AMP^.AMP,

；•ZPAM=ZA=90°,

：.NP4'£+NRVM=90。，

又ZAMF+ZFAM=90°,

•••ZPAE=ZAMF,

又•；ZAEP=ZMFA=90°,

..APE^MAF,

.A'PPEA'E

♦•加一春一丽’

•/A'P=AP=x,M4'=M4=4,设施=AE=y,A'E=h

xx—yh

即一=——-=

4h-4y

；•.4(x-y)=x(〃-4),

X

•••一

=X(/J-4),

Q2

整理得"=r

X2+16

即点A'到直线AB的距离为.

无2+16

6.（2023•山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿

对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为_A8C和4DFE,其中

NACB=ZDEF=90°,NA=ND.将_ABC和4DFE按图2所示方式摆放，其中点B与

点/重合（标记为点B）.当乙钻E=NA时，延长OE交AC于点G.试判断四边形

第36页共80页

3CGE的形状,并说明理由.

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在一ABC内部,

并让同学们提出新的问题.

图2

①“善思小组”提出问题：如图3,当=时，过点A作AM_L8E交班的延长

线于点",助0与AC交于点N.试猜想线段A"和8E的数量关系,并加以证明.请你解

图3

②“智慧小组”提出问题：如图4,当NCBE=4AC时，过点A作于点，，若

BC=9,AC=12,求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果.

第37页共80页

图4

27

【答案】（1）正方形，见解析，（2）①AM=BE,见解析；②彳.

【小问1详解】

解：四边形BCGE为正方形.理由如下：

,/ABED=90°,

；•ABEG=180°-ABED=90°.

ZABE^ZA,

AC//BE.

/CGE=/BED=90。.

,/ZC=90°,

四边形8CGE为矩形.

•：hACB'DEB,

BC=BE.

.••矩形8CG£为正方形.

【小问2详解】

：①AM=BE.

证明：VZABE=ZBAC,

二AN=BN.

,/ZC=90°,

•••BC1AN.

AM±BE,即AMLBN,

S^BN=-ANBC=-BNAM.

•/AN=BN,

第38页共80页

由（1）得BE=BC,

/•AM=BE.

②解：如图：设的交点为过M作MG_LB£＞于G

•：AACB'DEB,

：.BE=BC=9,DE=AC=\2,ZA=N£>,ZABC=/DBE,

/.NCBE=NDBM；

,:ZCBE=ZBAC,

:.ZD=/BAC,

：•MD=MB,

'：MGVBD,

点G是8。的中点;

由勾股定理得AB=y/AC2+BC2=15,

二DG-BD=—

22

DGDE

cosZD=

~DM~BD

15

75

DGBD9X75,即

=DMT

DE128

AM=AB-BM——=——

88

VAH±DE,BELDE,ZAMH=ZBME,

:.AMHBME,

.AHAM_3

332727

A"=gBE=Mx9=g，即AH的长为行.

7.（2023•深圳）（1）如图,在矩形A8CO中，E为AO边上一点，连接

①若BE=BC,过C作CFLBE交BE于点F,求证：AABESFCB；

②若S矩形ABCO=20时，则BECF=

第39页共80页

(2)如图,在菱形ABC。中，cosA=g,过。作CE_ZA8交A3的延长线于点£,过E作

(3)如图,在平行四边形A8CO中，ZA=60°,AB=6,">=5,点E在8上，且CE=2,

点户为BC上一点，连接EE,过E作EGJ•所交平行四边形A8CD的边于点G,若

EF-EG=773时,请直接写出AG的长.

备用图

3

【答案】(1)①见解析；②20；(2)32：(3)3或4或一.

2

【详解】解：(1)①：四边形ABC。是矩形，则NA=Z4BC=90°,

：.ZABE+ZCBF=90°,

又•：CF：LBC,

：.NFCB+NCBF=90°,ZCFB=NA=90°,

ZFCB=ZABE,

又：BC=BE,

：./\ABE乌AFCB；

第40页共80页

②由①可得NFCB=ZABE,ZCFB=NA=90°.

:yABEs^FCB.

.ABBE

,*CF-BC'

又S矩形As。=ABCD=20,

BECF=AB-BC=20,

故答案为：20.

(2)•••在菱形ABC。中，cosA=；,

/.AD//BC,AB=BC,

则NC6E=NA,

,/CE1AB,

/.ZC£B=90°,

BE

VcosACBE=——，

CB

BE=BCCQSZ.CBE=BCxcosZA=-BC,

3

114

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB,

333

•/EFJ.AD,CE1AB,

/.ZAFE=NBEC=90。,

又NC8£=NA,

/\AFEs/\BEC,

.AE_EF_AF

444

砂BC=AECE=§ABxCE=§S菱形ABC。=§x24=32；

(3)①当点G在A。边上时,如图所示,延长FE交AD的延长线于点M,连接GF,过点£

作七于点H,

第41页共80页

M

•••平行四边形ABC。中，AB=6,CE=2,

，CD=AB=6,DE=DC—EC=6-2=4,

DM//FC,

：.；EDMS«.ECF,

EMED4c

：.——=—=一=2,

EFEC2

.SMGE_EM=2

,•二一EF-，

SMGE=2sEFG_EF-EG=76，

在Rt/XDEH中，ZHDE=ZA=60°,

驰EH=BDE=BX4=2瓜DH;DE=2,

222

：.、MGxHE=7瓜

2

；.MG=7,

♦:GE上EF,EH上MG,

ZMEH=90°-ZHEG=ZHGE,

...tanAMEH=tanNHGE,

.HE_HM

HE?=HM-HG.

设AG=a,则G0=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5-a+2=l-a,

HM=GM-GH=7-（7-a）=a,

第42页共80页

二（2扃=x（7-x）,

解得：a=3或。=4,

即AG=3或AG=4,

②当G点在AB边上时,如图所示,

连接GF，延长GE交BC的延长线于点M,过点G作GN〃AD,则GN〃3C,四边形

ADNG是平行四边形，

设AG=x,则。N=AG=x,EN=DE-DN=4-x,

•：GN//CM,

A.ENG^.ECM,

.EGENGN4—x

"'~EM~~EC~~CM~2,

»2GN10

CM=------=------,

4-x4-x

.SGEF_EG_4x

,,SMFFEM2'

•/EF-EG=7y/3,

2sCEF.7百

MEF4-x4-x'

过点£作于点”,

在中，EC=2,ZECH=60°,

；•EH=瓜CH=1,

第43页共80页

百

SMEF--XMFxEH，则，x6xMF7

224-x'

4-x

1410,x

FH=MF-CM-CH=——------1=—

4-x4-x4-x

in14-r

4-x4-x

ZMEF=ZEHM=90°,

...ZFEH=90°-AMEH=AM,

tanNFEH=tanNM,

•••EH2=FHHM

即鲁，

\/4-x4-x

3

解得：玉=-,x2=8（舍去），

3

即AG=-

2;

③当G点在BC边上时,如图所示,

过点8作BTLOC于点T,

在Rt.BTC中，CT=LBC=*,BT=y/3TC=^-

222

2573

=LBTXTC=

心BTC22228

•/EFEG=7瓜

••.5…9，

第44页共80页

，G点不可能在8c边上，

3

综上所述，AG的长为3或4或一.

2

8.(2023・无锡)如图，四边形A8C0是边长为4的菱形，NA=60。，点。为C。的中点，P

为线段AB上的动点,现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q.

(1)当NQPB=45。时,求四边形BB'C'C的面积；

(2)当点P在线段A3上移动时，设8P=x,四边形BB'C'C的面积为S,求S关于x的函数

表达式.

【答案】⑴4G+8

(2)S=^1^+4百

X2+12

【小问I详解】

如图，连接BD、BQ,

四边