2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）9 圆锥曲线小题归类（9大题型）（解析版）

秘籍09圆锥曲线小题归类

r高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题众☆☆☆☆

考向预测圆锥曲线定义、直线与圆锥曲线位置关系

事应试秘籍

圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏

多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决

相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其

中的含义和方法。

【题型一】圆锥曲线定义型

基本定义：

（1）椭圆定义：动点P满足：IPF11+1PF2|=2a,|FlF2|=2c且a>c（其中a>0,c0,且a,c为常数）

（2）双曲线定义:动点P满足:||PF1|-|PF2||=2a,F1F21=2c且a<c（其中a,c为常数且a>0,c>0）.

（3）抛物线定义：|P/q=『M，点尸不在直线/上，于历

拓展定义：

避nb?

l.A,B是椭圆C：京+3=1（a>0,力>0）上两点，M为A,B中点，则KAB・KOW=---

a-（可用点差法快速证明）

■2,2b2

2.A,B是双曲线C:5一6=13>0,Z?>0）上两点，M为A,B中点，则KAB9K0M=—

'a-（可用点差法快速证明）

?典例剖析

1.已知抛物线。：,2=2。%（。>0）的焦点为尸，直线/与C交于A,B两点,AF±BF，线段AB的中

点为M，过点”作抛物线。的准线的垂线，垂足为N,则扁\AB的\最小值为.

【答案】V2

【详解】如图所示，设抛物线的准线为/，作AQ，/于点。，BPLZ于点P,

山抛物线的定义可设：|AF|=|AQ|=a,忸可=忸"=。，由勾股定理可知:

\AB\=yj\AFf+\BFf=^a2+b2，

由梯形中位线的性质可得：|MN|="2,贝ij：W=VE^E>I2一_=日

2\MN\a+ba+b

\AB\「

当且仅当a=b时等号成立.即的最小值为V2.

v-22

2.已知耳，工分别为双曲线会一v方=l(a>(),人>())的左、右焦点，以耳工为直径的圆与双曲线在第一

象限和第三象限的交点分别为M，N,设四边形片NF2M的周长为P,面积为S,且满足32s=/,则

该双曲线的离心率为.

【答案】显

2

【详解】快捷解法

由面积公式可推得：P=8b=>r,+r2=4b；定义得：r,-r2=2a,Wr,=a+2b,r2=2b-a

瓜

e=---

2

根据题意绘出双曲线与圆的图像，设用(x「x),

由圆与双曲线的对称性可知，点M与点N关于原点对称，所以5巧外”=S.眇，

因为圆是以大居为直径，所以圆的半径为。，因为点何(玉，y)在圆上，也在双曲线上，所以有

f22

1_T=1

a2b2，

H2+M2=1L

联立化简可得。21,yj)_a2y2=a2b2,整理得2c2-=y2+/〉：，

b4=c2V]2,y=—,所以S=2S巧A”=2c?x2b1,因为32s=/??,所以“2=64〃，p=Sb,

1c

因为p=MF1+MF?+NR+NF?=2(^MFi+MF2),所以M£+g=4b,

ME+MF,=4b

因为“G-A/E,=2。，联立《-可得MK=2b+a,MF,=2b-a,

[MF}-MF?-2a

因为£鸟为圆的直径，所以“"2+班2=6工2,

BP(2b+aj2+(2Z>-tz)2=4c2>Sb2+2a2=4c2>4b2+a2=2c2-

c23cV6

———e——二—

4c2-4/+/=2c?,2c2=3〃-cr2,所以离心率a2

22

3.已知双曲线C：^—抬=1的左焦点为点R，右焦点为点F2，点M(x,y)(xR±5)为双曲线C上一动点，则

直线M6与的斜率的积却历•仆代的取值范围是.

【答案】(一8,。]口(小+8]

16,2C、

【解析】因为7,y）'916..16、

L=x+5＞5=j=9r

一一25

。16八।16,1..16..16

•xN9.•f_25〉°%_25=1，1%（1\2-25）＞9或qQ+2/）＜°'故填

99x-25

：-8,0]U（T，+°°]•

r名校模拟

22

（多选）1.（2023•山东济南•一模）在平面直角坐标系X。），中，由直线x=T上任一点尸向椭圆三+匕=1作

43

切线，切点分别为A，8,点A在X轴的上方，则（）

A.NAP5恒为锐角B.当AB垂直于x轴时，直线"的斜率为方

C.IAP|的最小值为4D.存在点P,使得(PA+PO)04=O

【答案】ABD

【详解】对于A项，设切线方程为/：y=H+m,P（Tf卜A（x,，x）、

y=kx+m

联立得:(4〃+3)d+85+4>_]2=0,

3x2+4y2-12=0

,4km3m.3x.3

直线与椭圆相切，故△=0,则为=--7r-T,.y,=J7F-T--k=,

QKi3QK।34yl

.•.切线外的方程为〃：与+与=1,同理切线尸5的方程为1苦+弩=1

而P点在必、而上,

=1

又A&，X）、8（%,%）满足该方程组，故&，:岑+]=1，

显然必过定点（-1,0）即椭圆左焦点.

以m为直径的圆半径最大无限接近“，但该圆与x=-4一直相离，即NAP3始终为锐角，A正确；

3

对于B项，由A得加:兰+与=1,A84轴时，f=0,易得P（-4,0）,.卜一」

4372）PA2

故B正确；

对于C项，由B知轴时，A（T.|}P（-4,0）此时巳4=孚＜4,故C错误；

对于D项，取AO中点若（PA+PO）-OA=0则2PM乂。：。,r.PM_LAO,

即，PAO为等腰三角形，PA?=&+"2+(凶-y="p=]6+»,

化简得为2+丫；+8再-2以=0,由A知:(y,=3芭+3,y：=3

整理得：玉2+8毛-12=0,.•.玉=2近一4,显然存在户满足题意，故D正确；

故选：ABD

22

2.（2022•江苏•统考三模）关于椭圆C：5+方=1（。＞匕＞0）,有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短

轴长为2；丙：离心率为3：T：右准线的方程为x=4；如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙c.丙D.T

【答案】B

【详解】依题意，甲：a=2；乙：。=1：内：£=［；T：2=4；•.•《•£=”，...甲丙丁真命题，故乙

a2cca

为假命题.

故选：B.

22

3.（2022•浙江宁波•统考一模）已知A,3为椭圆会+《=1上两个不同的点，F为右焦点，|叫+囱=4,

若线段AB的垂直平分线交x轴于点T,则|口|=.

4

【答案】y

【详解】取椭圆方程为4+《=1，c=77=F，直线方程为*=且＞。（椭圆右准线），

a~bc

椭圆上点尸（X。,几），右焦点歹（c,0）,设点尸伍,几）到直线的距离为4,

2

阳«+c2-2cx0+y：cjx：+c2-2cx°+加-饯c^x^-2cxn+a

她-d-2-=---------------a--5------------------------=------------------------a--2-----x-----c------------------------=----------------a--7-----a----c----------------

---%Q

c

备［c,

Q2Toea

所以阳=，（_/）="一%

因为本题椭圆离心率：e=］，设4（玉,乂）,8仇,月）

即AB中点（I，W耳小,。）’则,垂直平分线斜率为一及

根据点AB在椭圆上，则有1+支.=1,3+三=1,作差化简得/一父=，名一百2）,

则线段的垂直平分线方程为丫=一千手+"产，代入T（八°）得：

胆3二4一£二§（a-年）=5（西+当）=5,即X=：,则|口|=2—；=：.

22（^-x2）2（Xj-x2）26

4

故答案为：y.

【题型二】焦点弦与焦半径型

2_o\PF\=---，其中e=NPFx

1.已知F是抛物线丫=邛*的焦点，点P在抛物线上，则1-C0S。

\AB\=-^-\AB\=-^-

2.若焦点弦A8的倾斜角为a,则।sin-a（横放）若AB的倾斜角为a,则cos'a（竖放）

学典例剖析

1.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线/与抛物线交于48两点，且|A尸1=4忸目，则弦长|A5|=

【答案】—

8

【详解】抛物线焦点坐标为尸（g,0）,设点4（斗,％）,4（%,必）设直线/方程为*=机），+；，

由抛物线的定义有I4用=%+^=%+；,[8用=々+5=々+!由同耳=4怛刊，得

]（X=my+—

x,+-=4.Vo+-L即阳|+1=4（加％+1）.所以有机（y-4y2）=3（1）,又由{2得:

2I2）卜=2%

y2-2my-\=Q,

9

所以％+必=2加，y/％=T•⑵由（1）,（2）联立解得：〃>=工.又

16

925

2

IAB|=|AF\+\BF\=xi+x2+l-my}+my2+2=m（yx+y2）+2=2m+2=2x一+2=一故答案为：

168

25

T

222

2.设耳，用分别为椭圆=+2=1（“>0>0）的左、右焦点，若在直线x=--Cc为半焦距）上存在点P,使归制

abc

的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（）

【答案】B

22

【详解】如图所示，椭圆，方=1,可得焦距|明=2c,

因为在直线x=-土上存在点P,使伊制的长度恰好为椭圆的焦距，

C

可得用M2c,即巨-c42c,可得a243c,即解得£〃巫

ca3a3

22

（多选）3.（2022•江苏南通•统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F/,B分别是椭圆C:±+^=1

42

的左，右焦点，点A,8是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足则（）

A.的周长为定值B.AB的长度最小值为1

C.若ABLAF2,贝！I2=3D.，的取值范围是口，5]

【答案】AC

【详解】因为斯=2而，则A,B,耳三点共线，玛周长=船=8是定值，A对.

AB=2'—=21,B错.

mina

♦・・48,4鸟，则4耳，4鸟，A在上、下顶点处，不妨设A（0,板），则=x+&

C对.

3

AB:x=my-后,A（$,yJ,B（x2,y2）

x=my-yjl

,工2y2）肖x可得（利2+2）y?-2及相»'-2=0,

42

2y/2m-2八1rt.

2=1

%+必=，c，_y=彳％，/=0日寸'

nr+2机-+2

A,/w~+21।—I—

m/0时，返＜九＜3+2及，D错.

故选：AC.

7名校模拟

1（皿・全国•模拟预测）如图，椭圆的左、右焦点分别为"，匕过点小工分别作弦的

喳Q卜[喑4可C.怜/D.愕,46

【答案】C

【详解】由椭圆的对称性可知|他|=|CD|,|明|=Q玛忸制=|C闾.设点B（x2,y2）.

,所以|AB卜苧，所以|A制+|CR|=|AB|=竽.

若直线A3的斜率不存在，则点A,心,一叫

\7

若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+l）（k工0）,

y=k（.x+\）,2

联立兰/_消去y整理得（4+5公卜2+10&21+5攵2-20=。，A>0,则•又

3"+彳=，+

|4可=J（X1+1）2+y；=J（X[+1）2+4_?；=6+半F,同理可得忸制=«+半々，所以

|A胤+旧=|叫=2石+与（为+々）=2君-雾^=2石-可飞€已-，2叼，所以

j4+z-*4

5k22

M|+|C闾e苧，2后

"o/7、

综上，|A耳|+|C周的取值范围为受，2百

故选:C.

2.（2021•山西临汾♦统考一模）过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点用的〃好弦〃.在椭圆

22

彳+福=1中，过点“（4月,0）的所有"好弦"的长度之和为（）

A.120B.130C.240D.260

【答案】C

【详解】解：由已知可得a=8,b=4,

所以c=4y/3,故M为椭圆的石焦点,

由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直％轴时弦长最短,

所以当x=46时，最短的弦长为空=&型=4,

a8

当弦与x轴重合时，弦长最长为2。=16,

则弦长的取值范围为[4,16],

故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，

则〃好弦〃的长度和为4+16+（5+6+7++15）x2=240,

故选：C.

（多选）3.（2023・江苏•二模）已知椭圆备%=1,点尸为右焦点，直线尸质（丘0）与椭圆交于P，Q两

点，直线P尸与椭圆交于另一点M,则（）

A.尸周长为定值B.直线与Q”的斜率乘积为定值

C.线段的长度存在最小值D.该椭圆离心率为g

【答案】BCD

【详解】该椭圆中〃=4,b=28c=2,则*2,0）,

所以离心率为故D正确；

设尸（苍,%），。（一为一%），

则在PM、QM斜率都存在的前提下有“二，除=靠,

（%一%）（弘+必）二短一%?

J'是kpM.k0

MXX

（百一“2）（“I+*2）\~2

回苧耳2一第

3为定值，故B正确;

4

山题意可设的方程为》=冲+2,

22_=i

联立1612一，消x得（3*+4）/+12阳-36=0,

x=tny+2

则y+%=_3m2+4'^1'23m2+4

144〃14424（济+1）

所以归根=&++一4丫跖=J1+疝一+----------------

I23m2+43m2+4

24_24

加2+1m+\

则当，〃=0时，|P加久=6,

所以线段PM的长度存在最小值，故C正确.

当&=筌时，直线"等x与椭圆,+（=1交于点（3,与同-3,-警）

不妨取点尸为（3,呼），得直线P尸方程为丫=等（》-2）,

求得交点M为（卜岑），

则归必=当，=|Pe|=V57.此时PQM的周长为扇+4！+质,

当人：时，联立，,解得x=±2,不妨取P（2,3）,

则RW垂直于x轴，此时|PM|=6,|QM|=4,忸0|=2屈,

此时PQM的周长为10+2而,

显然PQ"周长不为定值，故A错误;

故选：BCD.

【题型三】定比分点

1.过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为

0_1

0,且（注意方向）则ecos0=|----1（e为离心率）

2.已知AB为抛物线y2=2px的焦点弦,

其倾斜角为6,1AF|=m,|BF|=n,曳1=A,则|cos6＞|=|正-1=|—|

\BF\m+n2+1

0典例剖析

1.（2023秋•湖北黄冈•高二统考期末）已知椭圆人＞0）的左、右焦点分别为%工，过五2

的直线交椭圆于A,B两点,AF2=AF2B,且6=0,椭圆C的离心率为孝，则实数4=（）

21

A.-B.2C.-D.3

33

【答案】D

【详解】因为砍=2玛8,设卜同=2归B卜地＞0）,由椭圆的定义可得：|/国+|A闾=勿，则|伍|=2a—t,

因为A耳・亚=0,所以Af；_L4g,

所以|A耳『+|A闾'I甲叶，即（2“T）2+/=4C2,又因为椭圆C的离心率为也,

所以”=缶，则有（2“一，）2+产=4/=2/,

所以则九归.=a,则归同端,

由忸耳|+忸同=2a,所以忸制=2。-?,因为A斗-A鸟=0,所以A£_LAK，

A-

所以1Ml2+|阴2=忸用2,即6+〃2（1+；）2—(2a——)2,解得：2=3»

A

故选：D.

）2

2.（2。22秋・江苏连云港•高二校考期中）如图‘已知小工分别是椭圆C:»l的左、右焦点，点A、

8在椭圆上，四边形"；尼8是梯形，AF、呼,且|A用=2忸用，则△8片鸟的面积为（）

A.姮B.巫C.叵D.交

4242

【答案】A

【详解】设点3关于原点的对称点为点E,连接E^、EF2,如卜.图所示：

因为。为片尸2、8E的中点，则四边形ME鸟为平行四边形，可得跖2〃如且忸用=|班|,

因为A£//B鸟，故A、小£三点共线，设A（为，x）、现々,％）,

易知点片（一夜,0）,的=（-夜-X|f），@=伍+夜,必），

由题意可知，A耳=2RE,可得％=-2y2，

若直线AE与％轴重合，设|前|=a+c=2+啦，|3|=2-0，则|A制片2|班不合乎题意;

设直线AE的方程为血，联立可得"+2"一2夜吟2=0,

由韦达定理可得％+y,=—%=¥"，得力=-型”，

m+1m+2

228机21217

%%=-2£=一一^―,则%7,八2=霜工，可得加2=亍，故y2=^_^=

m-+2（加“+2）"7+z7”+216

因此，S△明F2=；x2cx|必卜亚、［=理.

故选：A.

3.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C:5+专■=l（a>b>0）的右焦点为F,上顶点为B,直线BF与C

相交于另一点A,点A在x轴上的射影为a，O为坐标原点，若5O=2AA,则C的离心率为（）

【答案】A

【详解】由题意得尸（c,0）,3（0,力,设A（x,y）

因为8O=24A,所以Bb=2E4，

b

所以(c,—b)=2(x—c,y),得＜

2

因为点A在椭圆。:[+2=1（。>/>0）上,

2b2

故选：A

:名校模拟

1.（贵州省新高考"西南好卷"2022-2023学年高二下学期适应性月考数学试题（五））耳，心分别为双曲线

C:/『l（a>0"）的左，右焦点，过耳的直线与双曲线左支交于AB两点，且|A用=3|明，以。为圆

心，。鸟为半径的圆经过点B,则C的离心率为（）

A.叵

【答案】A

【详解】由题意得/尸出鸟=90,

设忸耳|=AW,则|BF21=m+2a,|AF1|=3/w,|AF21=3m+2a,|AB|=4m,

在RtA叫中，由勾股定理得(24+裾+(4间2=(3m+2〃)2,解得机=〃，则忸用=凡忸闾=3〃,

在Rt片愿中，由勾股定理得/+(3“)2=(24，化简得’2=/2’所以c的离心率e=£=亚，

4a2

故选:A.

22

2.(2023春・福建莆田•高二莆田一中校考期中)设耳,工分别为椭圆C:T4+与=l(a>b>0)的左、右焦点,

a-b-

点A,8在C上，若耳A=2B『2后回=5^A|,则椭圆C的离心率为()

AaRV6c非nVio

2435

【答案】C

【详解】如图所示，设|%|=〃7,因为月A=2%且2怩却=5忻A|,则|肺|=2闻明|=5用,

由椭圆的定义可得忸制+忸用=2“，即”=3用,

又由|A用+|4q=勿=6加，所以|A用=4加，

所以|明=3阂伍|=4帆忸闾=5加，可得局2=忸用「所以々Ag=9()

在直角△曲其中,可得|用：+|叫；=归邦，即(2〃?)2+(4〃?)2=(2靖，得C=&,

所以椭圆的离心率为e=£=@.

a3

故选：C.

3.（2022•海南•校联考模拟预测）设双曲线!-?=1的左、右焦点分别为月，F1,P为双曲线右支上一点,

|尸耳|=3俨闾，则/耳尸玛的大小为（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【详解】根据双曲线的定义得|p6Hp闾=4,

又因为归附=3|尸勾，所以|「£|=6,|尸闻=2.

又因为忻闾=2后,

所以在△"PF中结合余弦定理的推论得:

8+展-Q币¥

COSZFPF=

}22x6x22

因为0<N耳尸8<180,得N£PK的大小为60.

故选：C

【题型四】离心率综合

解题时要把所给的几何特征转化为。，4c的关系式.求离心率的常用方法有：

（1）根据条件求得*利用e=£或e=JlZ5求解；

aVa2

（2）根据条件得到关于。力,c的方程或不等式，利用e=£将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或

a

不等式即可得到离心率或其范围.

:典例剖析

1.（2023•江西南昌•校联考二模）已知椭圆C:=l（a>人>0）的左、右焦点分别为E，F2,直线/经过

点K交C于A,B两点，点M在C上，AM//FtF2,\AE\=\MF\,NR隼=60。，则C的离心率为（）

A.1B.3C.巨D.B

2322

【答案】B

【详解】分别取A,5关于x轴的对称点A,B',连接AE，AF2,B'F',B'F2,

由AM〃「玛以及椭圆的对称性及几何知识可得|AB|=|A'闭，且A,M关于y轴对称，

则A',M关于原点对称，则四边形A'F2MFt是平行四边形，

所以鸟=60。，用=.月，

又|45|=附耳|,所以|A闾=|次叫,所以，48骂是等边三角形,

又，A!B'F2的周长为|AE|+|A闾+W段=4a,

所以|A闾=?，|A止2a-g=

△A'K心中，山余弦定理|A'用2+|A周2-2|4用|4闾8$/耳4&=|百用2,

得+与'-2,三,fcos]=4c，,整理得/=3c,2,

所以e=£=,

a3

故选：B.

22

2.（2023・全国•模拟预测）已知双曲线C:「-斗■=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为产一,尸为c右支

ab~

上一点，P耳与C的左支交于点。.若|PQ|=|户8|,则C的离心率的取值范围是（）

A.（1,31B.（2,3]C.（0,3]D.Q而

由题意易得：尸"-PB=PQ+QK-PE=Q6=2a,所以。鸟=4"

(m+2a\+m2-4c2_m2+m2-\6a28a3

设Nff用=6,PF2=m,由余弦定理可得cos®=,=>m

2m\m+2a')2m~c2-5a2

则c2-5/>()ne>石

设点P(%,％)(%")，则§T，加之=(xo-c、y+y；=(ex0-a)2,

iaJ

m=ex()-a>c-a

所以28；2Nc-a=（e+l）（e+l）（e~~3）«0=eW3,故ec（石,3].

故选：C

22

3.（2023•江西新余•统考二模）已知双曲线C：「-与=1（〃>0力>0）,过右焦点尸作C的一条渐近线的垂

ab,

—.2一

线/,垂足为点A,/与。的另一条渐近线交于点B,若则。的离心率为（）

A.叵B.2C.亚D.B

532

【答案】A

【详解】如下图所示：

双曲线的渐近线方程为》=±々乂，即以土殴=0,

a

所以，k日==6,则10Al=J|o歼_|A歼="2-从=a,

25

因为AF=§A8,贝=

设ZAOb=a,则ZBQF=a,所以，ZAOB=2a,

tan2c=悝0

网2a

2b

丁5b2i

由二倍角的正切公式可得.2a=六即H五,可得鸿b,

因此,八一旧二R粤

故选：A.

0名校模拟

一+)'2

1.(2023•安徽蚌埠•统考二模)已知椭圆靛十记=l(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,若直线A尸与圆0：

X-=邛相切，则该椭圆的离心率为()

16

B-1

>/一3

AU.4

避D玛或日

2

【答案】D

【详解】设尸(c,0),则直线AF的方程为±+*=1,即加+①-加=0,

cb

圆心0到直线AF的距离d=

两边平方整理得，16(/—。2卜2=3",

于是16(1-e?)e2=3,解得02=；或/=:,

贝|]0=(或0=且，

22

故选：D

2.(2023•浙江金华•模拟预测)已知椭圆G:5+/=l(a>6>0)的右焦点为F,左右顶点分别为A,B,点P

是椭圆G上异于A,8的动点，过F作直线AP的垂线交直线B尸于点”(〃?,”)，若初+。=0,则椭圆G的

离心率为.

【答案】；/0.5

不妨设直线AP的斜率大于0,设为公

则直线AP的方程为y=k(x+a),直线FM的方程为y=-J(x-c),

k

/a+c1p,a+c

加以M-a,——，则k=，

kk)BM-2ak

由%=^^,如=工^,则即内8=塞方，又营+4=1,即疗=/一阵,

22P2

Xp+axP-aXp-a-aha

所以%=-与且万=储-‘2,解得e=?（负值舍去）.

-2aa2

故答案为：g

3.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测）双曲线的中心为原点。，焦点在V轴上，耳，工分别是双

曲线的两个焦点，过上焦点尸2作斜率左=3的直线/交双曲线上支于点M,N,若尸尸2，△N66的内心

3

分别是P,。，且|MN|=2百|PQ|,则双曲线的离心率为.

【答案】巫二1

【详解】如图所示，在巴中，设边边上的切点分别为R,T,S,

则T,Q纵坐标相等,且|M?|=|NS|,优同=|下刀，忻刀=悔5|,

由双曲线的性质可得|N用—|N段=|NS|+恒+优给=但刀一同刀=24,

设T（0，%）,则c+y°—（c-%）=2a,解得%=%所以T（O,a）,

同理可得内心P的纵坐标也为a,则尸Q，y轴，

瓜nno-nnno.n

设直线MN的倾斜角为凡则tan6=组，ZP入7=空三，NQ6T=丝芦

322.

c0

2tan—0

由tanO=-----^解得tan-=2-6,

1-tan--“

2

又因为怛7j=c-a,所以

\PQ\=\PT\+\TQ\=（c-a）

所以|MV卜8（c—a）.

设双曲线方程为］-W=l,6（0,-c）,玛（O,c）,N（x,,y,）,

ah~

则直线/为y-c=4（x-0）,即y=^-x+c,

■y2

2-1

crb24

联立r得仅2-3叫J+2y/3bcx+36=0,

y=-^-x+c

：3

2®2c364

则x,<0,贝!]〃一3a2<0,<?=〃+。2<4〃

+x2=-庐才王"庐与T

所以|MN卜JU+（y-）j=J1+（用x2

5J（X,+X2）-4XIX2

也12/（〃-3*瓦怦从+3打8加

=V3*｛伊一3叫2-伍2-3/J=V3*V-『4*2~=4〃2-7

所以8叱_：2）,SPc2+ac-3a2=0,

4a2-c2l7

所以/+e-3=0,解得e=~~-,

2

故答案为：巫二1

【题型五】双曲线渐近线型

渐近线

（1）焦点到渐近线的距离为b

（2）定点到渐近线的距离为一

典例剖析

22l

1.（2023・福建•统考模拟预测）已知双曲线C：=r一2v=1（〃>0,b>0）的离心率为右，左，右焦点分别为

aIT

66，尸2关于C的一条渐近线的对称点为尸.若|尸周=2,则谯的面积为（）

B.6

【答案】D

【详解】

bbb

设尸名与渐近线）=-X交于M，则tanNMOK=上，sin/MOg=—,

a

所以EM=。入.sinNMO^=6,OM=JOF；-MF；=a,

由。，M分别是6心与P8的中点，知0M”PF\且0M=；P耳=1,即a=1,

山e=>/?得°=石,6=2,所以S两8=4SOMF>=4x^x2xl=4,

故选：D

2

2.（2023•北京朝阳•二模）已知双曲线炉-卓=1（/，>0）的一条渐近线方程为y="c,则6=（）

A.|B.乎C.8D.3

【答案】C

【详解】因为双曲线为--普=13>0),所以它的一条渐近线方程为y=6x；

因为渐近线方程为y=6x,所以6

故选：C.

3.(2023・天津•三模)已知O为坐标原点，双曲线C：WT=l(a