宁夏重点中学2023-2024学年九年级上册数学期末统考试题含解析

宁夏重点中学2023-2024学年九上数学期末统考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次函数y=£的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）

A.y=x2+2B.y=x2—2

C.y=(x+2>D.>'=(x-2)2

2.有三张正面分别写有数字一1,1,2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，

以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a,b）在第二

象限的概率为（）

12

A.-D.

63

3.在四张完全相同的卡片上.分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中

心对称图形的概率是（）

5.如图，在小ABC中，ZB=80°,ZC=40°,直线I平行于BC.现将直线I绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB

和AC于点M、N,若AAMN与△ABC相似，则旋转角为（）

10.下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为（）

2

A.1234B.4312C.3421D.4231

二、填空题（每小题3分，共24分）

AP

11.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC与BD相交于点E,则二二的值等于

12.某校七年级共380名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中20名学生成绩达到优秀，估

计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有人.

13.△ABC与ADEF的相似比为1：4,则△ABC与△DEF的周长比为.

14.如图，RtaABC中，NC=90。，且AC=LBC=2,则sinNA=.

15.已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到X轴的距离为3,到），轴的距离为4,则点尸的坐标为.

16.如图，AB是。。的直径，弦BC=2cm,F是弦BC的中点，NABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着

AnBnA方向运动，设运动时间为t（s）（0<t<3）,连接EF,当t为s时，ABEF是直角三角形.

C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形,

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，已知/1〃自RtAABC的两个顶点A,B分别在直线I"L上，ZC=90%若，2平分NABC,交

AC于点。，Zl=26°,求N2的度数.

20.（6分）如图，四边形ABCO是平行四边形，E、尸是对角线上的两个点，且BE=DF.求证：AE=CF.

AB=AC,作AABC的外接圆。O.

（1）如图1,点。为片B上一点（不与A、B重合），连接AD、CD、AO,记CD与AB的交点为£.

①设N8AZ)=x,NOAC=y,若NABC+NDCB=“,请用含〃与x的式子表示y；

②当ABLCD时，若AO=3,AC=4后，求AO的长;

（2）如图2,点P为BC上一点（不与B、C重合），当BC=AB,AP=8时，设S=5.依+J51解，求3P为何值时,

S有最大值？并请直接写出此时。。的半径.

22.（8分）已知抛物线.丫=》2+法+,经过点。（0,—3）和点。（4,5）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与x轴的交点A.B的坐标（注:点A在点8的左边）；

（3）求ABC的面积.

23.（8分）如图，在△A8C中，AB=5,AC=3,BC=4,将△A5C绕点A逆时针旋转30°后得到△AOE,点3经过的

路线为弧80求图中阴影部分的面积.

24.（8分）如图，。。是RtZXABC的外接圆，直径A5=4,直线EF经过点C,AZ）_LEF于点。，ZACD=ZB.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若4。=1,求3c的长；

（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积.

25.（10分）已知抛物线y=-x2+2mx-m2+m+4的顶点A在第一象限，过点A作AB，y轴于点B,C是线段AB

上一点（不与点A、8重合），过点C作CDLx轴于点O,并交抛物线于点P.

（1）求抛物线y=-必+2mx-m2+m+4顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；

CP

（2）若直线AF交V轴的正半轴于点E，且一不=2,求即的面积S的取值范围.

26.（10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0,-3）,对称轴为

x=l,点D与C关于抛物线的对称轴对称.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点P是抛物线上的一点，当AABP的面积是8时，求出点P的坐标；

（3）点M为直线AD下方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m,当m为何值时，AADM的面积最大？并求出这

个最大值.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

【详解】解：•.•二次函数y的图象向左平移2个单位,

.•.平移后的抛物线的顶点坐标为(-2,0),

...新的图象的二次函数表达式是：y=(x+2)2；

故选择：C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加

右减，上加下减.

2、B

【详解】试题分析：根据题意，画出树状图如下:

开始

a-112

AAA

ft12-1?-11

21

一共有6种情况，在第二象限的点有(-1,1)(-1,2)共2个，所以，P=-=-.故选B.

63

考点：列表法与树状图法求概率.

3、C

【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答

案.

【详解】•••等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，

3

.•.现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：一.

4

故选：C.

【点睛】

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件

A的概率P(A)=-.也考查了中心对称图形的定义.

n

4、A

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【详解】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形

故选：A.

【点睛】

本题考查简单组合体的三视图，难度不大.

5、B

【解析】因为旋转后得到△AMN与△ABC相似，则NAMN=NC=40。,因为旋转前NAMN=80。斯以旋转角度为40。,故选

B.

6、B

【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案.

八”….(x+2)21(x+2)21,1X

【详解】解•-------=--=1---------=-------.

x+4x+4x+1(x+2)~x+1x+1x+1

又为正整数，故表示、叶~2)~-----匚的值的点落在②.

2x+1x+4x+4x+1

故选B.

【点睛】

本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等.

7、B

【解析】根据一元二次方程定义，首先要求分2+法+C、=0的二次项系数不为零，再根据已知条件，方程有两个不相等

的实数根,令根的判别式大于零即可.

【详解】解:由题意得，出―1。0

解得，k#1;

且△=匕？-4ac>0,

即22+4（A:-l）>0,

解得%>0.

综上所述，左>0且左H1.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键.

8、C

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BO=5,再由面积法求出A尸的长即可.

【详解】解：四边形A3CO是矩形，

AD=BC=4,NBAD=90°,

BD=NAB。+AD。=>/32+42=5，

MB。的面积=ABxAO,

22

«ABxAD3x4一

AF=----------=-----2.4；

BD5

故选：c.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的

关键.

9、A

【分析】先求得A、B两点的坐标，设。（〃?,6-加），根据之间的距离公式列出pl关于加的函数关系式，求得其最

小值，即可求得答案.

【详解】令y=0,贝//_4=0,

4

解得：x=±4,

:.A、B两点的坐标分别为：A（4,0）、8（T,0）,

设点P的坐标为,6-，

:.PB2=（〃？-4）2+（6—机）2=2机2—20m+52=2（，篦-5）2+2,

V2>0,

二当m=5时，「长有最小值为：2，即有最小值为：及，

■:A、B为抛物线的对称点，对称轴为y轴，

••.O为线段AB中点，且Q为AP中点，

OQ=；PB=与.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函

数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得PB2的最小值是解题的关键.

10>B

【解析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四

个时刻的时间顺序.

【详解】解：时间由早到晚的顺序为L

故选B.

【点睛】

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、逅

3

【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得EC=血后/，设比'=X,从而可得=

再在RJAE/中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得=2叵，由此即可得出答案.

3

【详解】如图，过点E作砂于点F,

由题意得：NCAD=ZAC5=9O°,ZB=3O°,N0=45。，

NECF=90°-ZD=45。,NEAF=90°-ZB=60°,

RtdCEF是等腰直角三角形，

：.EC=yf2EF>

设=则£。=缶，

在Rr中，ZAEF=90°-ZE4F=30°,

AF=-AE,EF=yjAE2-AF2=—AE，

22

..—A.E=x9

2

解得AE=±生，

3

20

则AE3瓜,

，，―—―—----，，

EC\f2x3

故答案为：显.

3

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三

角形是解题关键.

12、152.

【解析】随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年

级学生在这次数学测试中达到优秀的人数.

【详解】随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，

.•.样本优秀率为：20+50=40%,

又•.•某校七年级共380名学生参加数学测试，

,该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：380x40%=152人.

故答案为：152.

【点睛】

本题考查了用样本估计总体，解题的关键是求样本的优秀率.

13、1：1.

【解析】试题分析：:△ABC与ADEF的相似比为1：1,.'△ABC与ADEF的周长比为1：1.故答案为1：1.

考点：相似三角形的性质.

14、也

5

【解析】根据勾股定理先得出AB,再根据正弦的定义得出答案即可.

【详解】解：：NC=90。，

.*.AC2+BC2=AB2,

VAC=1,BC=2,

，AB=yf5;

.._BC_22V5

•"sinAA------=-=-------,

AB455

故答案为：拽.

5

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键.

15、(-4,3)

【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到)’轴的距离等于

横坐标的绝对值解答.

【详解】解：点P在第二象限，且到x轴的距离为3,到)'轴的距离为4,

二点P的横坐标为T,纵坐标为3,

二点P的坐标为(T,3).

故答案为(T,3).

【点睛】

本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到)'轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键.

16、1或1.75或2.25s

【解析】试题分析：；AB是。O的直径，

.*.ZC=90o.

■:ZABC=60°,

.,.ZA=30°.

又BC=3cm,

/.AB=6cm.

则当0量＜3时，即点E从A到B再到O(此时和O不重合).

若^BEF是直角三角形，则当NBFE=90。时,根据垂径定理，知点E与点O重合，即t=l;

3212779

当NBEF=90。时，则BE==BF=—，此时点E走过的路程是一或一，则运动时间是一s或一s.

244444

故答案是t=l或丁7或：9.

44

考点：圆周角定理.

17、(6,3)

【分析】利用配方法将二次函数的解析式化成顶点式即可得出答案.

1,1,

【详解】y=-x2-6x+21=-(x2-12x)+21

22

=-[(X-6)2-36]+21

1,

=—(x-6)2-18+21

1,

=1(X-6)2+3

由此可得，二次函数的顶点式为.y=g(x-6)2+3

则顶点坐标为(6,3)

故答案为：(6,3).

【点睛】

本题考查了顶点式二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的性质是解题关键.

18、2

【详解】如图，过A点作AEJ_y轴，垂足为E,

•点A在双曲线y=L上，...四边形AEOD的面积为1

X

3

丁点B在双曲线广一上，且AB〃x轴，.•・四边形BEOC的面积为3

x

，四边形ABCD为矩形，则它的面积为3—1=2

三、解答题（共66分）

19、38°

【解析】试题分析：根据平行线的性质先求得NA8O=26。，再根据角平分线的定义求得NA8C=52。，再根据直角三角

形两锐角互余即可得.

试题解析：•.*〃/2,Nl=26。，

：.ZABD=Zl=26°,

又..Z平分NABC,

:.ZABC=2ZABD=52°,

VZC=90°,

:.RtAABC中，Z2=90°-NA8C=38。.

20、见解析

【分析】先根据平行四边形的性质得4B〃CD,AB^CD,则NABO=NC£>B,再证明△ABEgaCDF得到AE

=CF.

【详解】证明：•••四边形ABC。为平行四边形

AAB//CD,AB=CD

...ZABD^ZCDB

VBE=CF

ALABEdCDF

：.AE=CF

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分.

147、石

21、（1）①y=x+90°-〃；②A£>=—；（2）PB=5时，S有最大值，此时。O的半径是乂.

33

【分析】（1）①连接BO、CO,利用SSS可证明AABOgAACO,可得NBAO=NCAO=y,利用等腰三角形的性质及

三角形内角和定理可用y表示出NABC,由圆周角定理可得NDCB=NDAB=x,根据NABC+NDCB=〃即可得答案;

②过点。作OE_LAC于点/，根据垂径定理可得AF的长,利用勾股定理可求出OF的长，由（1河得y=x+90。-〃，

由ABLCD可得n=90。，即可证明y=x,根据AB_LCD,OFJ_AC可证明AAEDSAAFO,设DE=a,根据相似三角形

的性质可AE=2&a，由ND=NB,NAED=NCEB=90°可证明AAEDSACEB,设BE=b,根据相似三角形的性质

可得CE=26b，根据线段的和差关系和勾股定理列方程组可求出a、b的值，根据AAEDSAAFO即可求出AD的

值

（2）延长PC到何，使得PM=Q4,过点B作BD_LAP于D,BE_LCP,交CP延长线于E,连接OA,作OF_LAB

于F,根据BC=AB可得三角形ABC是等边三角形，根据圆周角定理可得NAPM=60。，即可证明AAPM是等边三角

形，利用角的和差关系可得NBAP=NCAM,利用SAS可证明ABAPgACPM,可得BP=CM,即可得出PB+PC=AP,

设PB=X,则PC=8-X,利用NAPB和NBPE的正弦可用x表示出BD、BE的长，根据S=5凶长+:5凶步可得

S与x的关系式，根据二次函数的性质即可求出S取最大值时x的值，利用NBPA的余弦及勾股定理可求出AB的长,

根据等边三角形的性质及垂径定理求出OA的长即可得答案.

【详解】（1）①连接BO,CO,

AB=AC,OB=OC,且A0为公共边，

ZBAO=NC4O,

ZBAC=2ZOAC=2y,

；.NABC=32），

=900_y

■:4DCB=4DAB=x,

,：ZABC+ADCB^n,

：.90°—y+x=”

/.y=x+90°-〃.

:，OF7ON-AF2=1，

VABLCD,

，〃=90°,

二y=x,

ABA.CD,OF1AC,

・•・ZAED=ZAFO=90°9

，AAED0°AAFO,

DEAEnnDEOF_1

••.m=而='即次=次=迈

设DE=a,则AE=2亿

ZD=ZB,ZAED=NCEB=90°,

.♦.△AEDSACEB,

DEAEBEDE1

・・•-----=-----9即an---=----=---/=

BECECEAE2V2

设BE=b,则CE=2岳，

b+2也a=4亚

倒。『+(2叵『二卜可

14

a,=29

解得：或v

[4=08及'

打=丁

Va>0,b>0,

14

%=—

-914

l，即nnDE=——，

八8四9

b、=——

9

VAAED^AAFO,

.DEAD

••=9

OFAO

DE1414

:.AD=xAO=3x—=—

OF93

(2)延长PC到M，使得加=Q4,过点B作BDLAP于D,BE±CP,交CP延长线于E,连接OA,作OFLAB

于F,

VBC=AB,AB=AC,

AABC是等边三角形，

二ZABC=ZBAC=60°,

:.ZAPM=ZABC=^°,

:.AARW是等边三角形，

AP=AM,ZPAM=60°,

■:ZBAP+ZPAC=ZCAM+ZPAC=60°,

:.ZBAP=ZCAM

AB=AC

在ABAP和ACAM中，,NBAP=NCAM,

AP=AM

：.ABAP^ACAM,

：.PB=CM,

：.PA=PM=CM+PC=PB+PC

设PB=x,则PC=8—x,

VZAPB=ZACB=60°,ZAPM=60°,

，ZBPE=60°,

/a/□

:.BE=PBsin60°=—x,PD=PBsin60°=—x,

22

,:S=Sgpc+：S

2

,­.S=lpC-BE+lxlAp.BD=21x(8-x)+ix^x8x=-^(x-5)+^

...当x=5时，即PB=5时，S有最大值,

:.BD=—x=—,PD=PBcos600=-,

222

11

.,.AD=AP-PD=—,

2

AB=VBD2+AD2=7，

•••△ABC是等边三角形，O为AABC的外接圆圆心,

17

AZOAF=30°,AF=-AB=-,

22

.CA_AF_76

••OA-----------.

cos3003

二此时）0的半径是拽.

3

【点睛】

本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、求二次函数的最值及解直角

三角形，综合性比较强，熟练掌握相关的性质及定理是解题关键.

22、(1)y=f-2尸3；(2)点A(T,0),点8(3,0)；(3)6.

【分析】（1）将点C（0，T）和点。（4,5）代入y=Y+区+c即可求出解析式;

（2）令y=0,解出的x的值即可得到点A、B的坐标；

（3）根据点坐标求得AB=4,OC=3,代入面积公式计算即可.

【详解】（1）把点C（0,-3）和点。（4,5）代入？=/+云+°得

—3=c

5=16+4/7+。

b=-2

解得

c=-3

所以抛物线的解析式为：y=》2-2尸3；

(2)把y=0代入丫=/-2尸3,得

X2-2X-3=0>

解得玉=-l,x2=3,

点A在点B的左边，

・••点A(-LO),点3(3,0);

(3)连接AC、BC,

由题意得4?=4,OC=3,

SxOC=—x4x3=6.

A.BKC=—2AB2

【点睛】

此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形与一元二次方程的关系，利用点坐标求图象中三角形的面积.

25

23、--3T.

12

【分析】根据旋转的性质得到4AED的面积=4ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积

公式计算即可.

【详解】••,将△A8C绕点A逆时针旋转30。后得到△AZJE,

.,•根据旋转可知：ZDAB=3()°,ZViEOg△ACS,

••S&AEI尸SAACB,

二图中阴影部分的面积S=SmDAB+S^AED-S^ACB=SmKDAB=~—=—U.

36012

【点睛】

本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键.

24、(1)见解析；(2)BC=273;(3)47

6

【分析】(1)连接OC,由OB=OC,利用等边对等角得到NBCO=NB,由NACD=NB,得到NACD+NOCA=90。,

即可得到EF为圆O的切线；

(2)证明RtAABC^RtAACD,可求出AC=2,由勾股定理求出BC的长即可；

(3)求出NB=30。，可得NAOC=60。，在R3ACD中，求出CD,然后用梯形ADCO和扇形OAC的面积相减即可

得出答案.

【详解】(1)证明：连接0C,

•；AB是。O直径，

.\ZACB=90o,即NBCO+NOCA=90。，

VOB=OC,

.*.ZBCO=ZB,

VZACD=ZB,

.,.ZACD+ZOCA=90°,

TOC是。o的半径，

.•.EF是。O的切线；

(2)解：在RtAABC和RtAACD中，

VZACD=ZB,ZACB=ZADC,

...RtAABCsRtAACD,

.ACAD

••-------9

ABAC

.,.AC2=AD«AB=1X4=4,

，AC=2,

•*-BC=y/AB2-AC2=V42-22=2g；

(3)解：：在RtAABC中，AC=2,AB=4,

...NB=30。，

/.ZAOC=60°,

在RtAADC中，NACD=NB=30。，AD=1,

•**CD=y/AC2-AD2=A/22-I2=£，

.s_sa_(l+2)xV3604x229百-4万

・・s阴影—5梯形ADCO-5扇形QAC------------------------=-----------・

23606

ECDF

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟

练掌握圆的基本性质是解本题的关键.

25、(1)函数解析式为y=x+4(x>0)；(2)0<S<^-.

【分析】(1)抛物线解析式为y=-x2+2mx-m2+m+4,设顶点的坐标为(x,y),利用抛物线顶点坐标公式得到x=m,y=m-4,

然后消去m得到y与x的关系式即可.

(2)如图，根据已知得出OE=4-2m,E(0,2m-4),设直线AE的解析式为y=kx+2m-4,代入A的坐标根据待定系

数法求得解析式，然后联立方程求得交点P的坐标，根据三角形面积公式表示出S=，(4-2m)(m-2)=-m2+3m-2=-

2

31

(m・一)2+—,即可得出S的取值范围.

24

【详解】(1)由抛物线y=・x2+2mx・m2+m+4可知,a=-l,b=2m,c=-m2+m+4,

设顶点的坐标为(x,y),

2m

Ax='2^pi)=m，

■:b=2m,

4x(-l)x(-m2+m+4)—(2机丫

y=--------------------~—=m+4=x+4,

4x(-1)

即顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为y=x+4(x>0)；

(2)如图，由抛物线y=-x2+2mx・m2+m+4可知顶点A(m,m+4),

.•。//），轴

.,.△ACP^AABE,

.CPBE

"AC-AB

・3=2

AC

.•.丝=2,

AB

VAB=m,

:.BE=2m,

VOB=4+m,

:.OE=4+m-2m=4-m,

AE（0,4-m）,

设直线AE的解析式为y=kx+4-m,

代入A的坐标得，m+4=km+4-m,解得k=2,

.•・直线AE的解析式为y=2x+4-m,

（y=2x+4一根

解V

+2〃优一M+团+4

x=mfx）=①一2

得一，

y=m+4[y^=m

AP(m-2,m),

/.S=—(4-m)(m-2)=-m2+3m-2=-—(m-3)2+—,

222

.••S有最大值!，