河北省部分学校2023-2024学年高三年级上册五调考试数学试题(含答案)

2023-2024学年度上学期高三年级五调考试

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120

分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，«,Z?eR,集合A={z|z=a+（2a—=z=6—2+历},则Ac5=（）

A.{2i}B.{l+3i}C.{3+5i}D.{2+4i}

2.已知等边三角形的边长为2,用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）

A.—B.—C.272D.2V6

44

3.已知。为直线/的方向向量，加/分别为两个不同平面a•〃的法向量，则下列说法正确的是（）

A.若a±m,m//n,贝U/〃夕

B.若。〃机,a〃〃，则。_L£

C.若a±m,a±n,则a〃/?

D.若a//m,a±n,则。J_/7

4.如图，在四面体ABCD中，G为/ACE>的重心，若8G=xA3+yAC+zA£>,则x+y+z=（）

77577

5.已知两圆锥的底面积分别为一,左,其侧面展开图中圆心角之和为——，则两圆锥的母线长之和的最小值为

162

（）

57

A.2B.—C.3D.—

22

1

6.如图，在直三棱柱ABC—AgG中，5。，平面4。。14，。4=。£=2。3,则异面直线BG与A耳夹角

的余弦值为（）

2a行百D3

A.---------b.C.U.一

5355

7.己知棱长为6的正方体内有一个棱长为机的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则实数根的

最大值为（）

A.V3B.3C.276D.3A/3

8.设a=ln2,6=L09,c=e03,贝。（）

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在长方体ABCD-A4G，中，。是BR的中点，直线4。交平面A44于点M，则下列结论正

人.氏男,。,河四点共面B.。，4四点共面

C.A,O,C,M四点共面D.AM,0三点共线

10.已知函数〃x）=log2（4*+2x+i+l）—-J——x,则（）

A./⑴在区间（—8,0）上单调递增B./（X）是偶函数

。/（力的最小值为1D.方程〃x）=2x无解

11.如图，若长方体ABC。-44GA的底面是边长为2的正方形，高为4,E是。2的中点，则下列说法不

2

正确的是（）

A.BJEIAjB

B.平面4CE〃平面A3。

Q

C.三棱锥G-用。石的体积为之

D.三棱锥CfCDi的外接球的表面积为24万

12.在三维空间中，定义：ox匕叫做向量a与人的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：

®a±（axb）,b±（axby且a力和axb构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的梅指、食指、中指的

指向一致，如图所示）；

②axZ?的模|axb|=|〃||人|sin〈Q,Z?〉（,力）表示向量a/的夹角）.在正方体ABC。—中，以下

四个结论，正确的是（）

A.|ABIXAC|=|ADIXDB|

8.40*4。与山）1共线

C-ABxAD=ADxAB

D.6\BCxAc\与正方体表面积的数值相等

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

3

13.在空间直角坐标系中，A（l,-2,a）,B（0,3,1）,C（b,-1,2）,若A5c三点共线，贝4而=.

2024

14.在数列｛4｝中，％=-1,。2=°，。”+2+an=4+1，则E4=.

i=l

15.如图，将绘有函数/（x）=Msin[^x+〉0,0＜。（万）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若此

时A,B两点之间的空间距离为乐,则"6）=.

16.如图，已知四面体ABCD,ABC和一ABD是边长为2的等边三角形，CO=是该四面体表面及其内

部的动点.若PA=PB,PC=PD,则点p轨迹的长度为；若尸在_ABD内（含边界）且,

则点P轨迹的长度为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

如图，在四棱台ABC。—A4G2中，上、下底面为等腰梯形，AD//BC,AB=y/10,

BC=2AD=4,A1Dl=1,A^±BD.

4

(1)证明：平面AACC1，平面ABCD；

(2)若44I=2,』AAC=45,求点C到平面43。的距离.

18.(12分)

记ABC的内角A3,C所对的边分别为a,b,c,己知cosB=tanAsiaB+f.

3a

22

(1)证明：c=a+2b~；

2万

(2)若。=q-,。=2,求A5C的面积.

19.(12分)

如图，在四棱柱ABC。—A4G，中，底面A3CD是平行四边形，侧棱，底面A3CD,过A3的截面

与侧面交于PQ，点P在棱。，上，点。在棱上，且A3=1,AC=G,3C=2.

(1)证明：PQ//Aq；

JT

(2)若p为棱。，的中点，AP与平面DRGC所成的角为一，求侧棱。2的长.

6

20.(12分)

已知函数/(%)=—%2+x-sinx-acosx,其中aeR.

(1)当0<q,l时,求/(x)的极值；

(2)若不等式/(x)+d,,l对任意恒成立，求a的取值范围.

21.(12分)

已知等比数列｛a.｝的公比q>1,若&+%+%=14,且4，%+1，。4分别是等差数列｛2｝的第1，3,5项.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

b(、

(2)记，〃=」■,求数列｛q｝的前〃项和S”.

5

22.（12分）

如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，AB=2,AE=3,DE=45,二面角E—AD—C的平

面角的余弦值为无，£EF〃BD.

5

(1)证明：平面ABCD，平面。CE；

(2)者M=XOBU〉0),求平面ABF与平面C郎所成锐二面角的余弦值的取值范围.

2023-2024学年度上学期高三年级五调考试.数学

参考答案及解析

一、选择题

1.C【解析】由题得a+(2a—l)i=b—2+历，

a=b-2,a=3

所以《解得《^—5’所以AcB={3+5i}.

2a-l=b,

2.B【解析】如图.等边三角形的高为6，根据斜二测画法的知识可知,

直观图的面积为［gxlxgxsinf义2="

2244

3.D【解析】因为。，所以a_L〃，贝!)/〃夕或/<=〃，故A错误；

因为a〃机,a〃*所以加〃人所以?〃尸，故B错误；

因为所以私〃可能平行，也可能不平行，所以e〃4或4夕相交，故C错误;

因为a〃私a~L”,所以所以。_L/?,故。正确.

6

4.A【解析】如图，连接AG并延长交CD于点E.则E为CD的中点，

所以5G=5A+AG=—A5+2AE=—AB+2xL(AC—A£>)=—所以

332、>33

1

x-y+z=——.

3

5.C【解析】设两圆锥的侧面展开图的圆心角分别为。，B,母线长分别为加，明

1712万

由题知两个圆锥的底面半径分别为二，1,所以［,

42mn

jr27r37r14

所以。+/=2°+'=二，即上+工=3,所以

2mn2mn

1/\(14、I，。〃4m1八Fn"""4.).

TYl+72——(TYl+7?)1——5H-----1-----...-5+2J—X-3,

3'\mnJ3\mn)3\mn)

当且仅当m=l,n=2时等号成立.

6.C【解析】如图，连接。耳交5G于O,取AC的中点E，连接BE,ED,

由A5C-A51G为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知。是。耳的中点，所以即〃A耳，故异面直线BG

与A耳的夹角即为与Bq的夹角/皮）£或其补角.设3C=1.则CE=1,5。=CD=@,BC，平面

2

ACG4，ECu平面ACG4，则CBLCE,又EC，CG，BCcCG=C^CCGu平面3CG4，故

EC_L平面8CG4,又CDu平面5CG4,所以CELCD.所以

_________O__________

ED=y/CD2+CE2=-,BE=yJCB2+CE-=41,在8DE中，

2.......

7

59、

+2

cos/BDE-RD?+ED?_BE?_44-.旧

CObNIJULL------------------------尸---——---

2BDED^35

2x—X—

22

7.C【解析】由题意知，当正四面体在正方体的内切球内时，正四面体可以在正方体内任意转动，故当该正

四面体内接于球时，其棱长最长•因为正方体的棱长为6,则其内切球的半径为3,如图所示，

设正四面体为P-A5cq为底面，ABC的中心，设正四面体外接球的球心为o,连接尸q，ac,oc,则

pq，平面ABC℃=gx#勿=[私=JPC2—=

\22

OP=OC=3,所以在RtO。。中,m—3+[—6m)=9，解得m-2y[6.

3

IJ

8.A【解析】a=ln2-Ine=l<b,c=e°3>e°=1>a/(x)=e'-x2—1,则/''(x)=e*—2x,令

g(x)=ex-2x,则g'(x)=e*—2.当xe(-oo,ln2)时，g'(x)<O,/'(x)单调递减；当xe(ln2,+oo)时,

g'(x)>OJ'(x)单调递增，所以/'(x)../'(ln2)=2(l—ln2)>0,所以。(无)在R上单调递增,所以

/(0.3)>/(0)=0,即e°3>1.09,所以c>b.综上，a<b<c.

二、多选题

9.BCD【解析】对于A，如图.连接AO,4£,AC.

在长方形4用孰2中，由。为对角线耳，的中点，则4Gc42=0,则平面ACGAC平面

ABR=AO,由MG平面平面，得AfwAO.在长方体ASCO—A4G〃中，

平面因为AOc平面A34A=A,所以与MO异面，故A错误；对于B，由选项A可

知，MeAO,4cle=O,易知A,",。/u平面,故B正确；对于C,由选项A可知，

〃eAO,AGc4。=O,易知A,M,Cu平面AC£4,故C正确；对于D，由选项A可知，以eAO.

故。正确.

8

XX+1Xxx

10.BC[«W1/(x)=log2(4+2+1)-log22--^=log2(2+2-+2)--^―,所以

A1

/(-%)=log2(2+2-+2)-=/(%)，所以〃X)为偶函数，B正确；令"2,当尤<0时，函数

y=1。82(2'+2-*+2)与丁=-义7均为减函数，所以/⑴在区间(—8,0)上单调递减，A错误；由偶函

X十1

数对称性可知，“X)在区间(0,+“)上单调递增，所以/(%焉=/(0)=1,C正确；令g(x)=〃x)—2%,

所以g(0)=1〉0,g(l)=log2|-1=||log21i-l|<0,由零点存在定理可知方程“力=2%有解，D错

o221o4J

误.

11.AB【解析】如图，建立空间直角坐标系，

则4(2.0,4),E(0,2,2),4(0,0,4),3(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),所以1方=(一2,2,-2),

A,3=(2,0,T),因为4E.A6=T+0+8=4W0,所以gE与人8不垂直，故A错误；又

CB]=(0,-2,4),CE=(-2,0,2),B\=(-2,0,4),BD=(-2,2,0),设平面BXCE的一个法向量"=(羽％z),

则'取尤=1,得〃=(1,2,1),设平面A8。的一个法向量根=(a,b,c),则

n-CE=-2x+2z=Q,

m-BA.=-2a+4c=0,(1A

\取。=1,得m=1,1,q,因为加方不共线，所以平面4CE与平面A3。相交，

m-BD=-2a+2b=0,\2)

故B错误；三棱锥G-B}CE的体积为0棱锥G.BQ=KSW|_C,C£=|X|X4X2X2=

Q

故C正确；三棱锥£一用。2的外接球就是长方体ABC。-ABJGD的外接球，所以三棱锥

的外接球半径R='2-+2-+42=瓜,所以三棱锥G-BCD1的外接球的表面积为S=4万x(前了=24万,

2

故。正确.

12.ABD【解析】对于A，设正方体的棱长为1,在正方体中，AB],AC=60,贝U

9

|ABjxAC|=||,|AC|sinAC=V2xV2x^-=73,因为且/叫旦=60,所以

(AD],£>6)=120,所以,加明=„阿卜由曲,£)3=7^^义孝=6•所以

\ABXXA(^=\AD^D^,所以A正确：对于B,在正方形44G2中，又因为34,平面

A4Ga，4£u平面A4GQ，所以又43c4，=耳，BBBRU平面BBRD,所以

4G，平面34，。，因为BQu平面34，。，所以同理可证3。_L4。，再由右手系知,

40义4。与3R同向，所以B正确；对于C.由a力和oxb构成右手系知，axb与bxa方向相反，又由

axZ?模的定义知，|axbHdWsin(a,Z?)=W|dsin<a,b>=|/>x«|,所以axb=—bxa，则

ABxAD=-ADxAB>所以C错误；对于D，设正方体的棱长为

xax1=6a2,正方体的表面积为6a?，所以。正确.

tz,6|BCxAC|=6|BC||Ac|-sin45=6缶

2

三、填空题

9

工

5-【解析】由题得AB=(—1,5,1—a),5C=S「4,1),因为A5c三点共线，所以存在实数X,使得

AB=ABC>BP(-l,5,l-a)=2(Z?,^,l),

9

a——,

Ab=—1,4

49

所以《-42=5,解得<b=—,所以〃/?=—.

上5

4=1—。，

a

14.-1【解析】由«„+2+«„=4+1，得4+3+a“+l=n+2，所以4+3+4+1=4+1—4，即4+3=,所以

%+6=一。“+3=%，所以数列｛凡｝的一个周期为6.又

10

%=4―q=L%=%—%=L%=4—/=°，&=4_q=-i，所以％+%+/+%+%+4=0，所

20246

以2>=337Zq+%+%--1-

i=iz=i

AT=2"_A7-------

15._省【解析】因为〃力的周期一巴一，所以CO=—=2,AC=MBC=〃f2+4,所以

222

2

AB=VAC2+BC=V2M2+4=Vio>解得”=G,所以/("=瓜足1]%+可.由图可知,当％=o

时，f(x)=与,即/⑼=Gsin°=#，得sine=g.又。＜。＜»，所以。=£或。=g.观察外力在

577

y轴右侧的图象结合正弦函数的单调性可知夕二)，所以

6

/(%)=gsin，/⑹=Qsin3^+—=--

I6)2

16.-；哀H【解析】如图，分别取棱AB,CD的中点为MN,连接。MCK⑷V,5N,肱V,因为，ABC

25

和是边长为2的等边三角形，所以43，。以，AB±CM,DMr＞CM=M，所以ABJ_平面COM,

同理CDJ_平面A3N,因为=.所以Pe平面CDM，因为尸。=尸£＞，所以Pe平面ABN,所以P

的轨迹为线段MN,因为ABC和ABD是边长为2的等边三角形，所以DM=CM==也

而CD=石，所以.CDM为等边三角形，所以MN=｝后_[gx呵=j.

如图，设过点A且与BC垂直的平面为a,则C截该四面体所得的截面为尸，所以尸的轨迹为线段

AF,AE±BC,所以E为棱BC的中点，且跖，3C,在，BCD中，由余弦定理得

EBFBCD2

^-^BC.BD^所以奴]'在•的中'可得

11

AF=y/BA2+BF2-IBA-BF-cos60=——.

5

四、解答题

（1）证明：如图，过点A作于点£,

则BE=1,CE—3,

在RtABE中，AE=A/AB2-BE2=3-

所以3。=4。=3忘.

设AC交5D于点。，因为AZ）〃BC,

,OAODAD1

所以===—，

OCOBBC2

所以。。=。5=2拒，

所以052+0。2=§。2,即

又叫_13。,胡小4。=4,朋,4。（=平面44。。1，

所以3D，平面AACG.

又5Du平面A3CD,所以平面A/ACG，平面A5CD.

（2）解：连接A。，则由余弦定理得

6>42=M2+-2AA-OACOS45=4+2—2x2x后义当=2,

12

所以。4；+OA-=A^,所以。4±AC.

又41cB0=0,所以AC,平面4与。，

所以点C到平面\BD的距离为OC的长为2夜.

18.(1)证明：由已知及正弦定理得cos3-tanAsinB二s任inC一1,

3sinA

所以3sinAcosBcosA-3sin2AsinB=sinCcosA，

所以3sinA(cos5cosA-sinAsinfi)=sinCcosA,

所以3sinAcos(A+B)=sinCcosA,

所以3sinAcosC=sinCcosA.

222222

占人十士,曰a+b-cb+c-a

由正、余弦定理得3a-------=c.-------

2ab2bc

整理得°2=/+2/.

(2)解：由题得-6=8'

C2仔222

由余弦定理得cos。=%士—-a+4-c

2ab4〃

-411,

一二—=—,解得a=2,

4aa2

所以ABC的面积=—absinC=-x2x2x

22*"

19.(1)证明：因为在校柱ABC。—中,

底面A5CD是平行四边形.所以A3//CD.

因为A3•平面DCCQI,CDu平面DCCR,

所以A5〃平面

又ABu平面A3QP,平面DCGQC平面A5QP=PQ,

所以A3〃PQ,

又A3〃DC〃AG，

所以尸。〃

13

D,

(2)解：在底面平行四边形ABCD中,

因为AB=1，AC=6,BC=2.

所以AB2+AC2=§。2,所以ABLAC,

又因为A5〃CD，所以ACLCD.

因为44,，平面ABCD,

所以C£J_平面ABCD,

又ACu平面ABCD,

所以C£_LAC.

又CC[cCD=C,CC[,CD<=平面CDDG,

所以AC_L平面CDQG，

连接PC,AP,则/CB4为AP与平面CDDg所成的角,

n

即/CP4=—.

6

设。尸=x,因为。C=AB=1.

所以PC=y/PD2+DC2=&+1,

在RtACP中.tan/APC=^=^|_=走,

PCV77i3

解得x=2直，

因为尸为。2的中点，所以。0=4人.

20.解：(1)/r(x)=l-cosx+asinx-2x,

令g(x)=l—cosx+asinx-2x,

则g'(x)=sinx+QCOSx-2v0,

14

所以g(x)在R上单调递减，且g(o)=o,

所以当xe(—。,0)时，g(以)>0,即/'(x)>0,/(x)单调递增;

当xe(0,+⑹时,g(x)<0.即单调递减

故当x=0时，"％)取得极大值/(0)=—匹无极小值.

(71n\一

(2)由题得X—sinx—acosM,1对任意工£[-,，耳)恒成立，

口口x-siwc-1(71»]一4一

即ci..；----------对任思xe—■—怛成乂.

cosxv227

x-sinx-1

令h(x)=---------,xe

cosx

cosx-sinx+xsiwc-1

所以〃(x)=

cos2x

令=cosx-sinx+xsiwc-1,xG

所以「(x)=-sinx-cosx+sinx+xcosx=(x-l)cosx,

当工£卜冬11时，«X)<0/(x)单调递减；当光同时，«x)>0j(x)单调递增,

所以^(x)..^(l)=cosl-l,

又《。)=。，4]=/2'

所以当5,oJ时，

《x)>0,〃(x)>0,单调递增;

当xe时，《力<0,”(“<0,/z(x)单调递减,

所以以幻厘=/2(°)=一1，所以。一.一1，

即〃的取值范围是[—1,+。).

15

3

%q+qq2+a{q=14,