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文档简介
江西省赣州市大余县衡水实验学校2023-2024学年九年级上学期
9月初赛数学试卷(B卷)
一、单选题
I.在277,355,544,633这四个数中,最大的数是()
A.277B.355c.S44D.633
2.计算:(a-1)旧:的结果为()
A.-V1-aB.-Va-1C.V1-aD-Va-l
3.若关于x的方程畔■■至L=1的解为正数,且a使得关于y的不等式组7/恰
233y-a<1
有两个整数解,则所有满足条件的整数。的值的和是()
A.0B.1C.2D.3
4.用㈤表示不超过式的最大整数,把x-[幻称为x的小数部分.己知t=〃是,的
小数部分,%是的小数部分,则4---=()
2ba
A.—B.逅C.1
D.
22M
5.如图,在四边形A8CZ)中,ZBAC=ZB£>C=90",AB=AC=75-CD=\,对角线的交
点为M,则()
A.近B.渔C.工1
-历-D.一
2322
6.一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所
示,则被截去部分纸环的个数可能是()
红黄绿蓝紫红黄绿黄绿蓝紫
A.2010B.2011C.2012D.2013
二、填空题
7.己知(/-X-1)*+2=1,则.
8.古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究,他称下面一些数为“三角形数”
(如图),第1个“三角形数”是1,第2个是3,第3个是6,第4个是10,按照这个
规律,第50个“三角形数”是.
13610
9.已知31=3,32=9,3』27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561…,请你
推测32。的个位数是.
10.已知二次函数y=or2+bx+c(a#0,a、b、c为常数)的图象如图所示,下列4个结论.
①HcVO;
②b<a+c;
③c<4b;
@a+h<k(ka+h)(%为常数,且ZW1).
其中正确的结论有(填写序号).
三、解答题
11.化简:
⑴V40+7-10
⑵卜n-21+(冗-2009)。+'禽遂-(A产
V22
12.先化简,再求值:(V2---1—)+且二盘,其中
a"+2aa2+4a+4a+2v
13.如图,在△ABC中,AB^AC,点£>、E、尸分别在4B、BC、AC边且BE=C尸,AD+EC
=A8.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)当NA=40°时,求NOEF的度数.
D,
E-------1c
14.如图,已知直线/i:y=2x+l、直线/2:y=-x+7,直线/1、6分别交x轴于B、C两点,
/B/2相交于点A.
(1)求4、B、C三点坐标;
---++・,,,,一,+•••+'''■…’的值
ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)(a+2007)(b+2007)J1U-
16.如图,在△ABC外分别以A8,AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,AM
是aABC中BC边上的中线,延长MA交EG于点”,求证:
(1)AM^—EG;
2
(2)AHLEG;
(3)EG2+BC2=2(AB2+AC2).
beacab
17.设不全相等的非零实数a,b,。满足5+9+o=1,求a+b+c的
2a+bc2b+ac2c+ab
值.
18.回答下列问题:
(1)如图1,AB=BC,当NABC=90°时,将△PAB绕B点顺时针旋转90°,画出旋
转后的图形.
(2)在(1)中,若尸4=2,尸5=4,PC=6,求NAPB的大小.
(3)如图2,ZABC=60°,AB=BC,且PA=3,PB=4,PC=5,则△APC面积
是.
(4)如图3,AABC中,ZBAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且抬=遥,PB
=5,PC=2,求△A8C的面积.
参考答案
一、单选题
1.在277,355,544,633这四个数中,最大的数是()
A.277B.355c.544D.633
【分析】分别把277,355,5",633这四个数变为(27)”,⑶)“,(54)",(63)",
比较它们的底数的大小即可求解.
解:;277,355,5期,633这四个数变为⑵)II,⑶)11,⑶)“,©)明
而27=128,35=243,54=625,63=216,
二最大的数是5乜
故选:C.
【点评】此题主要考查了募的乘方与积的乘方,解题的关键是会利用法则变形才能解决
问题.
2.计算:(a-1)、工的结果为()
Vl-a
_
A・~V1-aB.-Va-iCVl-aD-Val
【分析】先根据二次根式成立的条件得到二]—>0,则a-1<0,所以原式变形为-
l-a
,然后利用二次根式的性质得到-3(ba)2*旧:,再利用二次根式
(l~a
的乘法得到-,再约分即可.
解:>0,则“-1V0,
l-a
,小1)底=一(j)恁7(l-a)2x居=-J(『a)2xW=
"Vl-a>
故选:A.
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简:疗=间.也考查了二次根式的成立的条
件以及二次根式的乘法.
"可恰
3.若关于x的方程笠箸用L=i的解为正数,且。使得关于),的不等式组.
3y-a<1
有两个整数解,则所有满足条件的整数〃的值的和是()
A.0B.1C.2D.3
,+3>1
【分析】根据方程史£3卫生二1的解为正数,且。使得关于),的不等式组,
4O3y-a<1
恰有两个整数解,可以求得。的取值范围,然后即可写出满足条件的整数。的值,再将
它们相加即可.
解:由方程驾■至L=1可得,X=T4"
234-3a
方程ax;3_2x;l=]的解为正数,
由y+3>l得y>-2,
由3y-a<l得)V等,
fy+3>1
使得关于y的不等式组/恰有两个整数解,
3y-a<1
.,.这两个整数解为-1,0,
3
解得-1<“W2,
由上可得-1<“背,
...所有满足条件的整数"的值为0,1,
V0+1=1,
,所有满足条件的整数«的值和为1,
故选:B.
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程,解答本题的关键是求
出a的取值范围.
4.用国表示不超过x的最大整数,把x-次]称为x的小数部分.已知tn2一上,。是♦的
小数部分,。是7的小数部分,则A-—-=()
2ba
D.a
【分析】结合定义求出用和[-小由。是r的小数部分,匕是-r的小数部分,表示出。、
b代入W-一^即可得出结论.
2ba
・・山]=3,[-t]=-4.
,・Z是,的小数部分,匕是-r的小数部分,
.•・。=2+百-3=愿-1,b=-(2+^/3)-(-4)=2-百.
―上=[L]=2/向+]=
"2b7-2(2-V3)V3-1-2(2-V3)(2-K/3)(V3-1)(V3+1)-
2-^/3V3+l_l
22T
故选:A.
【点评】本题考查了估算无理数的大小,解题的关键是求出4、b.本题属于基础题,难
度不大,但在运算过程中用到了平方差公式将分母有理化,此处需要注意别出现差错.
5.如图,在四边形A8CO中,NBAC=NBQC=90。,AB=AC=V5>CD=l,对角线的交
点为M,则DM=()
kC
冶「我
【分析】过点A作AHVBD于点H,利用有两个角相等的三角形相似判定
CMD,根据相似三角形的性质得比例式,设4M=x,用含x的式子分别表示出CM、AH,
BM,再由面积法得出AH的第二种表示方法,从而得关于x的方程,解得x的值,则CM
的值可得,然后用勾股定理求得。M即可.
解:如图,过点A作于点H,
VZAHM^ZCDM=90°,NAMH=NCMD
・・・XAMHsXCMD,
.AH_AM
•⑤F,
VCD=1,
,■研嗡
设AM=x,由于AC=«,故CM=J^-X,
・3号
在RtaABM中,48=遥
由勾股定理得:BM=7AB2+AH2=7X2+5(
显然xWO,化简整理得2x2-5代x+10=0
解得乂考",(x=2\因不符合题意,舍去),
故CM/,
在RtACDM中,DH=7EM之,cD2=1,
故选:D.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及方
程思想在几何计算中的应用,本题具有一定的难度.
6.一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所
示,则被截去部分纸环的个数可能是()
A.2010B.2011C.2012D.2013
【分析】该纸链是5的倍数,剩下部分有12个,12=5X2+2,所以中间截去的是3+5”,
从选项中数减3为5的倍数即得到答案.
解:由题意,可知中间截去的是5〃+3("为正整数),
由5"+3=2013,解得“=402,
其余选项求出的〃不为正整数,则选项。正确.
故选:D.
【点评】本题考查了图形的变化规律,从整体是5个不同颜色环的整数倍数,截去部分
去3后为5的倍数,从而得到答案.
二、填空题
7.已知(N-x-1)户2=],则.=-2或-1或0或2.
【分析】要使结果为1,可分为三种情况:①当指数是0时,②当底数为1时,③当底数
为(-1)时,分别求出x即可得出答案.
解:①当x+2=0,即x=-2时,x2-x-1^0,
.*.%=-2,成立;
②当N-x-1=1时,
解得:x—2或-1,
.,.x—2或-1,成立:
③当N-x-]=-1时,
解得:x=0或1,
当x=0时,(-1)2=1,成立,
当x=l时,(-1)3=-1,不成立,
故答案为:-2或-1或0或2.
【点评】本题考查了零指数基和有理数的乘方,掌握零指数基的意义,有理数乘方的意
义是解决问题的关键.
8.古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究,他称下面一些数为“三角形数”
(如图),第1个“三角形数”是1,第2个是3,第3个是6,第4个是10,按照这个
规律,第50个“三角形数”是1275.
13610
【分析】研究图形发现规律“第〃个“三角形数”是1+2+…+〃=]■等)",代入"=
50即可得出结论.
解:观察图形,发现第1个“三角形数”是1,第2个是1+2=3,第3个是1+2+3=6,
第4个是1+2+3+4=10,…
由此发现规律:第"个"三角形数”是1+2+…
第50个“三角形数”是1+2+…+49+50=50X(50+1)=1275.
2
故答案为:1275.
【点评】本题考查了图形的变化规律,解题关键是找出“第〃个“三角形数”是1+2+-
+"=n(£l)”这一规律.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,分析图形
得出规律是关键.
9.9知31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561…,请你
推测32。的个位数是1.
【分析】根据所给的式子,观察发现:3"的个位数字是3,9,7,1四个一循环,而20
+4=5,则32。的个位数字与34的个位数字相同,即是1.
解:;3"的个位数字是3,9,7,1四个一循环,
;.20+4=5,
...32。的个位数字与34的个位数字相同,即是1.
故答案为1.
【点评】此题主要考查了数字的变化规律,是一道寻找规律的题目,考查了学生分析数
据、归纳及应用规律的能力.解题关键是知道个位数字为3,9,7,1顺次循环.
10.已知二次函数(〃W0,a、Z?、c为常数)的图象如图所示,下列4个结论.
①abcVO;
②bV〃+c;
③cV4h;
@a+h<k(ka+b)(左为常数,且&W1).
其中正确的结论有①③(填写序号).
【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然
后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解:①由图象可知:a<0,c>0,
:-->0,
2a
AZ?>0,
.\abc<Of故①正确;
②当x=-1时,y=a-b+cVO,
:.b>a+c故b<a+c,故②错误;
③当尤=3时函数值小于0,y=9a+3/?+cV0,且x=-*-=l,
2a
即=-―,代入得9(--)+3b+c<0,得c<—b,
a222
':b>0,
:.c<4b,故③正确;
④当x=l时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x—k时,y—ak2+bk+c,
所以a+b+c>a吩+bk+c,
故尿,gpa+b>k(ak+b),故④错误.
故①③正确.
故答案为:①③.
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数'=以2+版+0系数符
号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,
灵活运用二次函数的性质是解题的关键.
三、解答题
11.化简:
(1)后闻卡-H/TO
(2)卜-2|+(兀-2009)。+:炉-(4)<.
V22
【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;
(2)根据零指数累与负整数指数事的意义计算.
解:(1)原式=2百3-冬+国=殳要;
(2)原式=2-J^+l+3-4=2-寸^.
【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次
根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特
点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
a-2a-1).-4_
12.先化简,再求值:a其中a=y[21•
a2+2aa2+4a+4a+2
【分析】将括号内的部分通分后相减,再将除法转化为乘法后代入求值.
解:原式=[卜丹
a(:a+2月)(a+;2\)万a-4
2,9
_a-4-a+a.a+2
a(a+2)2a-4
一.a-4,a+2
a(a+2)2a-4
1
a(a+2)
当k五7时’原式=(&_])KT+2)=L
【点评】本题考查了分式的化简求值,熟悉通分、约分及因式分解是解题的关键.
13.如图,在△4BC中,4B=AC,点力、E、F分别在AB、BC、AC边S.BE^CF,AD+EC
=AB.
(1)求证:△£>£下是等腰三角形;
(2)当N4=40°时,求NOEF的度数.
BF.
【分析】(1)求出EC=£>3,NB=NC,根据S4S推出根据全等三角
形的性质得出Z)E=EF即可;
(2)根据三角形内角和定理求出/8=NC=70°,根据全等得出NBDE=/FEC,求出
NDEB+/FEC=110°,即可得出答案;
【解答】(1)证明:•••4B=AC,
.,.ZB=ZC,
\'AB^AD+BD,AB=AD+EC,
:.BD=EC,
'BE=CF
在△DBE和△£(;尸中,,ZB=ZC.
,BD=EC
:.△DBEm/XECF(SAS)
:.DE=EF,
...△OEF是等腰三角形;
(2)VZA=40°,
:.ZB=ZC=^X(1800-40°)=70°,
:.ZBDE+ZDEB=\\0°,
又•:△DBE/4ECF,
;・NBDE=NFEC,
:.ZFEC+ZDEB=HO0,
:.ZDEF=70°.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形内角和定理
的应用,能灵活运用性质进行推理是解此题的关键.
14.如图,已知直线/i:y=2x+l、直线乙:y=-x+7,直线人、6分别交x轴于8、C两点,
八、%相交于点A.
(1)求A、B、C三点坐标;
(2)求aABC的面积.
【分析】(1)联立两直线解析式,解方程即可得到点A的坐标,两直线的解析式令y=
0,求出x的值,即可得到点A、B的坐标;
(2)根据三点的坐标求出8c的长度以及点A到BC的距离,然后根据三角形的面积公
式计算即可求解.
解:(1)直线/i:y=2x+l、直线,2:y=-x+7联立得,
fy=2x+l
(y=-x+7
解得卜",
Iy=5
,交点为A(2,5),
令y=0,则2x+l=0,-x+7=0,
解得工=-0.5,x=7,
・••点8、C的坐标分别是:B(-0.5,0),C(7,0);
(2)BC=1-(-0.5)=7.5,
175
:.S^ABC=—X7.5X5=—.
24
【点评】本题考查了两直线的相交问题,联立两直线的解析式,解方程即可得到交点的
坐标,求直线与工轴的交点坐标,令y=0即可,求直线与y轴的交点坐标,令x=0求
解.
15.如果有理数。,b满足-2|+(1-6)2=o,试求
-------------+--------------+・.----------------------的值
ab+(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)+(a+2007)(b+2007)“似
【分析】由绝对值和完全平方式的结果为非负数,且两非负数之和为。可得绝对值和完
全平方式同时为0,可得。》=2且2=1,把〃=1代入〃〃=2可求出〃的值为2,把求出
的“与b代入所求的式子中,利用/1八=工-3把所求式子的各项拆项后,去括
号合并即可求出值.
解:;即2|2,(1-6)2妾0,且「-2|+(1-6)『0,
.'.ah-2=0,且1-h=0,解得ah=2,且匕=1,
把6=1代入ab=2中,解得a=2,
1111
则
需k(a+l)(b+1)'(a+2)(b+2)+,"+(a+2007)(b+2007)
_1111
―—十+十+■+•••+
23X24X32009X2008
(1__L)+(A_A.)+(-1__L)+…+(1丁)
2233420082009
=1一XJ.」+4上+.••+」1
2233420082009
2009
_2008
2009,
【点评】此题考查了有理数的混合运算,要求学生掌握两非负数之和为0时,两非负数
必须同时为0,本题若直接按照运算顺序解题,运算量非常大,需利用计算技巧简化运算,
根据所求式子各项的特点,利用拆项法进行化简,使拆开的一部分分数互相抵消,达到
简化运算的目的.熟练运用/1,、=工-是解本题的关键.
n(n+1)nn+1
16.如图,在AABC外分别以ASAC为边作正方形ABOE和正方形ACFG,连接EG,AM
是△ABC中BC边上的中线,延长M4交EG于点”,求证:
(1)AM=—EG;
2
(2)AH_LEG;
(3)EG+B-2(W+AC2).
【分析】(1)延长AM到点N,使MN=M4,连接8N,先证得△MBNgAMCA,得到
ZBNM=ZCAM,NB=AC,从而得到8N〃4C,NB=AG,进一步得到NG4E,
根据SAS证得△NBA丝△GAE,即可证得结论;
(2)由ANBAgAGAE得NBAN=/AEG,进一步求得NHAE+NAE//=90°,即可证
得NAHE=90°,
得到AH_L£G;
(3)连接C£、BG,易证AACE丝ZVIBG,得出CELBG,根据勾股定理得到Ea+B。
=CG+BE^,从而得到2(AB2+4C2).
【解答】(1)证明:延长AM到点M使MN=MA,连接BN,
•:AM是△ABC中BC边上的中线,
在△MBN和△MCA中
'AM=MN
-ZAMC=ZNHB
CM=BM
:,丛MBN空>MCA(SAS),
:.ZBNM=ZCAM,NB=AC,
:.BN〃AC,NB=AG,
.•.NNBA+NA4C=180°,
•.,/GAE+/BAC=360°-90°-90°=180°,
:.ZNBA=ZGAE,
在△NBA和△GAE中
'NB=AG
<ZNBA=ZGAE
,BA=EA
.♦.△NBAdGAE(SAS),
:.AN=EG,
:.AM=—EG;
2
(2)证明:由(1)/\NBA注AGAE彳导NBAN=NAEG,
://ME+/BAN=18(r-90°=90°,
AZHAE+ZAEH=90°,
:.ZAHE=90°,
即AHIEG;
(3)证明:连接CE、BG,
易证△AC&A4BG
:.CE.LBG9
.♦.EGABUCGABE2,
:・EG2+BC=2C+4C2).
【点评】本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,平
行线的判定和性质,勾股定理的应用等,作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.
beac
17.设不全相等的非零实数a,4c满足-9+9+9-—1,求a+b+c的
2a+bc2b'+ac2c+ab
值.
beacab
【分析[根据不全相等的非零实数小儿。满足2+9+9=1,灵
2a+bc2b'+ac2c+ab
活变化,进行化简,分解因式,即可求得问题的答案.
beac
解:;n+o+.=1,
2a+bc2b乙+ac2c+ab
beac.ab
2+9=1-2-----
2a+bc2b+ac2c"+ab
b2c
2+9―9
2a+bc2b+ac2c'+ab
33
b'+abc+a'c
(2a2+bc)(2b2+ac)2c2+ab
c*(2a2+bc)(2/?2+ac)=(2c2+ab~)(,b3+abc+a3),
化简,得
a3+b3+c3-3abc=0,
即(a+b+c)C^+^+c2-ah-ac-he)=0,
•,%,b,c是不全相等的非零实数,
a2+b2+c2-ab-ac-6cW0,
'.a+b+c=0.
即a+/?+c的值是0.
【点评】本题考查分式的化简求值,解题的关键是化简后再因式分解,然后根据题目中
的信息进行讨论.
18.回答下列问题:
(1)如图1,AB=BC,当NABC=90°时,将△PAB绕B点顺时针旋转90°,画出旋
转后的图形.
(2)在(1)中,若PA=2,PB=4,PC=6,求NAP8的大小.
(3)如图2,ZABC=60°,AB=BC,且PA=3,PB=4,PC=5,则△APC面积是
(4)如图3,△A8C中,NBAC=60°,AB=2AC,点尸在△ABC内,且PA=百,PB
=5,PC=2,求△ABC的面积.
BP的垂线,并且在垂线上截取BP=BP,则P'为点P绕8点顺时针旋转90°以后的
对应点,△「'CB即为所求;
(2)连接PP',求出△PBP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得PP'
=4五,ZBP/P=45°,再利用勾股定理逆定理求出/CP'P=90°,然后计算即可
得解;
(3)将△P4B绕A点逆时针旋转60°得到△P3C,连接PP,得出SAABP+5A”C=S㈣必
好,俨"1=空巨+6;同理求出△ABP和△8PC的面积的和,ZVIPC和△BPC的面积的和,
4
从而求出△ABC的面积,然后根据△8PC的面积=Z\ABC的面积-△APB与△APC的面
积的和计算即可得解;
(4)首先作△AB。,使得:ZQAB=ZPAC,ZABQ=ZACP,即可得△ABQs/viCP,
即可得△ABQ与△ACP相似比为2,继而可得△APQ与△BP。是直角三角形,根据直角
三角形的性质,即可求得aABC的面积.
解:(1)如图1所示,*CB即为所求;
P1
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