2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三年级上册第二次调研考试数学试题及答案

哈师大附中2021级高三第二次调研考试

数学试题

(满分150分，考试时间120分钟)

一、选择题(前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题

为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分)

1,已知集合A-*R；,|3(+)V则AnB=().

xlog2x2,x

A.{x|-2<x<7}B.

c-{x|54x<7}D.{卜<£}

尤2x5

2.已知〃：0、xv2P

,那么的一个充分不必要条件是(

A0<x<1B.-1<xc1C.0<x<20<x<3

D.

3.sin(-12300)-().

i16

A.-B.--C.叶d

222-4

4.已知a\-\,bc=log22,贝ij().

7，

A.a•：：b•.cB.b-a<cC.c<b<aD.c<a<b

3v1

5,若正数光,丁满足x+6y=3,则上+-的最小值为().

%y

9「

A4B.-C.2V3D.2

o

6.已知函数()的定义域为R，其导函数为'(),且(-)'()<

fXx,则下列关系一定正确的是

().x5fx0

A./(3)+/(5)<2/(4)B.()+()<()

f4f62/5

C./(0),/(5)=0D.()+()=()

f3f72f5

7.将函数(gA=sin；图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

(),函数/(x)在区间(0,兀)上有且只有两个零点，则的取值范围为().

fx

第1页/共5页

611,713

A.55TJc.D.

B・罔66

8.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为

边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成.类比“赵爽弦图”，可构造

3

如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若

AF-3EF,^^=3,则二Z也,则1+2=（）.

1569

A.—B.——C.—

191919。・噜

多选题（共4个小题,每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）

9.如图所示是y=（）y=r（x）的图象，下列结论中正确的有（

）.

4产）

B.了二一1是（）极小值点

f冗

（）在区间（2,4）上单调递减，在区间（-1,2）上单调递增

f%

D.x2是（）极小值点

/x的

10.若a、0,b.0,a,b-4,则下列结论正确的是（）.

A.y/a+J5«2B.20+2*>8

（+）2b32<32

c.a1+（+）

11.函数（¥Asin（（.）x+（p）；A0,（-»下列说法正确的是（）•

第2页/共5页

A.函数y='(2x)+l|的周期是1

B.点-pO是函数y=()

<3'fX

的图象的对称中心

「5/

函数>=()在-兀，三上单调递减

fxL6-

5兀

D./'(%)>1对于\/尤£-2K,—恒成立

3

12.已知定义在R上的奇函数()满足(-)()，当［］时，()一，定义符号函数

fxflx=fxx0,1fxx

」,x>0

sgnx=i(),x=O,则下列结论正确的是().

A.sgnf{x}是奇函数B.()=［()1

/2023sgnf2023

C.sgn［/(2Zr+l)=*wZ)D.sgn"(x)］关于直线x=孑对称

二、填空题(共4个小题，每题5分，满分20分)

13.已知塞函数(力x=(2-27加+7AM为非奇非偶函数，则实数加=

14.函数,(X)1°gi(,一^^五广后^^^是单调递增，则实数的取俏范围是_________.

2在区间'

15.已知向量a,6,|a卜2忖=3,a与5的夹角为27c三，则卜+x万的值最小时，实数x的值为

,3

.jr

16.在“IBC中，AB=5C=-,当3C+3AC取最大值时，AC=.

三、解答题(共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分)

17.已知角”的顶点与坐标原点重合，始边与*轴的非负半轴重合，角a的终边过点

(--)

/o\A5,12

⑴求加彳+27的值；

第3页/共5页

‘兀14

(2)若a€(0,2兀)，PG—I-sin(a-P)=--cosn

、乙1D,nJ1且•

18.已知正四棱柱ABC。—A⑸中，AB=1,AA=2,E为线段A,4的中点，b为线段AB的中

点.

（1）求直线3片与平面AEC

所成角的正弦值；

（2）证明：直线FCH平面AEC｝并且求出直线FCAEC

到平面的距离.

1

19.已知数列;为等差数列，且«2+«4=10,S|=16

（1）求[4,的通项公式:

〃+1

⑵数列｛愉足》广/W（注N）；｝nSnS＜—.

b的前项和为，求证：12

数列"

20.在/IBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+0)(sinAsinB)=c(sinB+sinC).

（1）求角A的大小；

（2）若。为8c上一点，Z,BAD--Z.BAC,AO=3，求4b+c

2的最小值.

21.已知双曲线C:=-[=1（。＞0力＞0）的渐近线为土今X，点H

a-b-y21才,1在c上，直线

2:丁二丘"与双曲线C相交于两点M,N,线段MN的垂直平分线分别与x,y轴相交于A,B两点.

第4页/共5页

(1)若直线/过点()0,4点M,N都在双曲线的左支上，求左的取值范围:

(2)若AAOB(。为坐标原点)的面积为一，且ZHO

2,求k的取值范围.

22.已知函数()=e一alnx.

fx

(1)当时，求曲线y=〃町(1,/•(!))

在处的切线方程；

(2)当。＞0,若不等式()2+。

fxaana恒成立，求的取值范围,

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哈师大附中2021级高三第二次调研考试

数学试题

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题

为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）

1,已知集合A=।小=R1，：J3（+）<£叫，则（）.

xlog2x2,x

A.|x|-2<x<7}B.{x|r<5|

c-{x|54x<7}D.{卜<£}

尤2x5

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的值域与对数不等式的运算求解即可.

【详解】A={y|y三5'，B：^x|log3（2+x）<log9{_[x|0..2+x<9；2<x<7J..

3

i

故Ac3=}x|-2<x<51

故选：D

已知）.

2.1p:0<x<2,那么P的一个充分不必要条件是（

A.0<x<lB.-1<x<1C.0<x<20<x<3

D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件定义，结合推出关系依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,\,0<x<l=>0<x<2,0<x<2^0<x<1,

0<xv1是〃的一个充分不必要条件，A正确；

对于B,,.,一l<x<lj0<x<2,0<x<2^-1<x<1,

1CV1是p

’的一个既不充分也不必要条件，B错误；

对于C,,/0<x<20<x<2,0<x<2=^0<x^2,

,Ovxq2是〃的一个必要不充分条件，C错误；

对于D,0<x<30<x<2,0<x<2=：0<.x<3,

..u<x<3«p

厂的一个必要不充分条件，D错误.

故选：A.

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3.sin（一1230°）=（）.

AiR1,6

222

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.

【详解】sin（1230。）—sin（360x4.F2103）.sin210:

=sin（1801.

°+30°）=-sin30°=-2

故选：B

4已知a■停J,，"kg彳2,则（）.

A.a-b-.cB.bacC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】由嘉函数、指数函数的单调性即可比较大小.

、

【详解】一方面因为黑函数y=N2在［r0c,+工）上单调递增，所以0<a

⑺17

另一方面因为对数函数y=log/尤在（0,也）上单调递减，所以c=logj<logj=0,

结合以上两方面有：c<0<a<b.

故选：D.

5,若正数x，y满足x+6y=3,则32+上的最小值为（）.

%》

9

A.4B.-C,2月D.2

o

【答案】A

【解析】

【分析】由已知等式可得生—，Z,利用基本不等式可求得结果.

xyx3y

【详解】x+6y=3,

为正数，

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.芝」纹二丝乜上+222邑上+24(当且仅当处j即x=ly」时取

xyx3yx3yyx3yx3y,3

等号)，

3y1

即——+一的最小值为4.

故选：A.

6.已知函数(，的定义域为R，其导函数为‘(),月.(一)'()<

fxfx，则下列关系一定正确的是

().x5fxQ

A./(3)+/(5)<2/(4)B.()+()<()

f4f62/5

C./(0)./(5)=0D.()+()=()

f3f72f5

【答案】B

【解析】

【分析】根据(x-5)f'(x)<0〃光)单调性，并得到由反例可说明ACD错误;

可确定

根据单调性可说明B正确.

【详解】&x-5)r(x)<0.•.当2时，"x)>0；当a时，八力。；

\y(x)在(一工，5)上单调递增,在(+5，)上单调递减:

又()在R上可导，\/(x)连续，，/'(初曲="5)；

f%

对于A,若/(x)=eT*jb,满足()在(-0©)上单调递增，在(+8)上单调递减，

fX,515,

()=e4=—>〃5)=e°=l,/(4)=e'

/3ee

/3f51111()

/.()+()=e+>>e2/4

对于B，/⑷</⑸，〃6)一⑸，一确联/⑼<2/(5),B正确；

对于C,若〃X)=_(X-5)2+I,满足八刈在(,⑴上单调递增，在15,+8)上单调递减,

f024,”5)1,../(0)/(5)24/0,C错误;

:.()=-

对于D,若〃x)=e5xe',满足〃x)在(一s,》上单调递增，在(+场上单调递减，

f33e5-e3,f(7)=7e5-e7,/-(5)=5e5-e5

r.()=)

第3页/共23页

5(37

/(3)+/(7)=10ee+e)2/(5)二lOe'-2/,又e3+e7H2e5,

，()+()*(>-D错误•

f3f72f5

故选：B.

7.将函数(g户=sin；2(.)1--图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

(),函数/(x)在区间(0,兀)上有且只有两个零点，则(•>的取值范围为(

f光

(611](611\7131

B-TT'c?7|

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的伸缩变换及三角函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知,

兀兀兀

因为0.X-兀，所以一—<(OX—兀一，

666

又因为函数(f)荏区间(0,兀)上有且只有两个零点,

7T7]3

所以兀<(o兀一；7«2兀，解得一—,

666

-|u(i),7131

所Gf'以的取值范围为।.

OO

故选：C.

8.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为

边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成.类比“赵爽弦图”，可构造

3

如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若

AF3EF,AF卜3,则存和+口/，贝”+u=().

第4页/共23页

569

A.IB.—C.—

191919DY

【答案】A

【解析】

210

【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到行-河+£而—^F,化简整理可得九〃

39的值,

从而求得结果.

【详解】由行=3即知：CF-3DE,BU-3771；

••At1=3EF—3(4*DE)=DBCZs—CBCU~CE~=CB——Ct

AC^AE-Tfd-7rar-AU-X-AF=7W-AT--AF,

=(A7++

333339

19„29696

加士耳C:.^F_-AB^_-AC,则入--,

931919历‘口19

9615

K+n=1911919

故选：A.

【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘

运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.

多选题(共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分)

fx

B.x=1是()的极小值点

fx

C.()在区间(2,4)上单调递减，在区间(-1,2)上单调递增

fx

D.x-2是g川勺极小值点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.

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【详解】由导函数的图象可知，当XV1或2<*4时，/lP<0；当，1<X.：2或x>4《）>。

时，；

和

所以f¥的单调递增区间为（・12）,、，、/故A错误，C正确：

（+工），单调递减区间为（-篦-）和（2,4八

所以x=1或X：4是（）取得极小值点；如正确；'1

fX

所以x=2是（）取得极大值点；故D错误.

fx

故选：BC.

10.若a、0,h,0,a^-b4,则下列结论正确的是（）.

A.&i+亚42B.2"+2匕8

2

（+）2。32s32D.也+1一

C.a1+（+）3八4

【答案】BD

【解析】

【分析】通过反例可说明A错误；由基本不等式可得B正确；将6一4“代入CD选项中，将不等式左侧

化为关于〃的二次函数，结合”的范围和二次函数单调性可求得CD正误.

【详解】对于A,若a。2,则拓+扬2a>2,A错误；

afcflh

对于B,2+22x/2.2=272^-8（当且仅当a=b=2

时取等号），B正确；

对于C,"4"Q•，

2212__

,（。+1）~+@+3）一=（。+1）+（7。）一=2。2-12。+50

y2》2-12》+5。在（0,3）上单调递减,在（3,4）上单调递增,

2a212«+50^2x912x3+50^32（当且仅当a=3时取等号），C错误；

22A2

对于D,由C知：—Z?2=—（4a）2=--8a+16,

3+3+l'3

4X

'-y=32

,8x+16在（0,3）上单调递减，在（3,4）4单调递增，

.•,/8。+16±±乂9-8x3+16=4,即勺+〃24,D正确.

3-33

故选：BD.

11.函数f户=Asin（sx+（p）；A0,卜］<1）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）•

第6页/共23页

A.函数y=/(2x)+l|的周期是；

B.点！.—3,0是函数y=()

fx

的图象的对称中心

5兀,

函数y二()在兀，上单调递减

x

5兀

D.对于\/尤£2K,--恒成立

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据图象可确定)4小并:周期和最小值，由此可得(»，A,利用f10

可求得，由此

j.71,

可得(另验证1g)gx

()

可知A错误；利用代入检验法可知BC正确；根据正弦型函数值域求

法可知D正确.

T37兀兀3兀

【详解】由图象可知：若()嫉最小正周期为,则/

62

T-—271,型1；

23

q4=-ZA>u

又4jmin,，A=2,

7In兀3兀71

:.f片+中-2n,---=----(e)©=5+2E(2wZ),

622质kZ,解得：3

।।兀7T，.."⑶=2sin卜

对于A,设(g)龙=『(2x)+1卜2sin2x+—|+1

兀；717171

二2sin2；—j+—♦12sin'7C42x4-—1+112sin'2x4—'

则卜2)3[3।!31’

第7页/共23页

...g(九)#g^+75g(x)

2。；不是

57r7r的周期，A错误；

对于B,当x时，—2兀，此时/'(x)=2sin2jt-0,

二尊。)是f(x)

3J图象的对称中心，B正确；

5兀2兀

对于C,当无£兀,----时,—w——

633

2兀71八刈在兀，至上单调递减，C正确;

・・・y_sinx在丁，—上单调递减,

O

5兀兀5兀4兀

对于D,当2兀，――时,

X-b-€"T

3L

3_

D正确.

故选：BCD.

12.已知定义在R上的奇函数()满足()()，当[]时，()-，定义符号函数

fxf2x=fx%.0,1fxx

l,x>0

sgnx.'0,x_0,则下列结论正确的是().

1l,x<0

A.sgnf(x)是奇函数B.()=[()

f2023sgnf2023

C.sgn[/(2A+l)=1(女wZ)D.[()]关于直线x-W

sgnfx对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用奇偶性和对称性可推导得到()是以丹娟期的周期函数，并确定()的图象，结合图象

fx

母士”八工才向什田以()的正负：由奇偶性定义依次验证r()］与r(X”的关系即可

可确定位于不同范围时，f..f.."„ffn'f'

得到A正确；由周期性和符号函数的定义可求得B正确；通过反例可说明C错误；推导可得

〃x+3)=由此可知由确.

【详解】为奇函数，/(X),图象关于原点对称；

f2xfx,\f(x)关于x=l对称；

•••()-()

第8页/共23页

Q/(x)=f(2-x)=-f(x-2),/(-/(2)=-[[-f[^1=〃9,

是以为周期的周期函数,

结合当X.[]/可得（，图象如下图所示,

.•.当xw(+)(wZ)时，f(x)>0；当xw(4女_2,4@(ZwZ)时，f(x)<0

4k,4k2k

当x_2Z(左tZ)时，()

对于A,若X£(4”,4〃44(〃9(),〃£Z),()>0,sgn|/(x)l=1

fxJ;

4〃2,4〃n0,〃£Z)/(-^).0sgn：(-x)]=J

-XG(---)(N,,_，则

[(-%)]=-sgn/x

sgnf()1

若2,4〃)(〃<0,〃-/)，()<0,()]=-1：

fxsgnfx

XG(4〃,-4〃+2)(〃<0,〃wZ),/(-x)>0,sgn^/(x)]=1,则

[(-%)]=-sgn/%

sgnf()

当x=2Z/£Z)时，-()J；f(_x)=0,二[(-%)]=-1()]=0；

fxsgnfsgn'/x

的

综上所述：sgn/(x)为定义在R上奇函数，A正确；

对于B,•.•/(2023)一/(4x506])=/(1)=-/(1).1，sgn1/(2023)]-sgnf1]=

，()=[()1

f2023sgn/2023

对于C,当％=2〃+l(〃£Z)k，斤懒；1/4〃3f31

+)匚(4)=()二・'

此时sgn"(2A：+1)]=sgn[-ll=-l

,C错误；

对于D，•."⑶的周期为4,：J(x+3)/(x1)〃3-x)=/「3-由4)1=小"1)

又4寸为奇函数，fX\fX\,

()=(+]/(X-l)=-/(IX)

•.•”尤)关于X1对称，.•J(x+1)-门1-X),.-./(-X-1)=/(X-1)，

第9页/共23页

即4x+3）=/（3-x）,［（+）］=sgn/3x

sgnfx3（-）

二$8^/住）］关于直线X一3」，

对称，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够利用抽象函数关系式，确定

（）的对称性和周期性，从而结合函数图象来分析新定义函数的相关性质.

f光

二、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）

13.已知塞函数（/）x=（2，”27〃?+7）廿为非番非偶函数,贝ij实数〃？

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】先由函数是寻函数求出机的值，再对机进行讨论即可.

【详解】由题意函数（）f九=（2"/7〃Z+7）X'"是暴函数，所以2//-7机+7=1,

3

即2〃/7机+6=0,解得加2或"2=彳，

当〃？2时，f（x）_x2是偶函数，不满足题意，

33

当〃2=3时，/（由一龙刁」"，其定义域为（+S），不关于原点对称，

20,

（）是非奇非偶函数，满足题意.

即/x3

故答案为：

2

14.函数/（X）一1081,（4-融）尢ml）上是单调递增，则实数的取值范围是

2在区间之3

f41-----------

【答案】0}

【解析】

【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.

【详解】•）'嘀"在（°'"）上单调递航

2

，若/'⑴=logL（4-ox）/：（）上单调递增，

223

加”二4-办作（2,3）上单调递满且八，“、上恒成立，

则在U>0^（2,3）

4z>04

（43叱。一。<三

第10页/共23页

a

即实数的取值范围为【0;,-

,,4'

故答案为：°，一.

3_

闻与方的夹角为t则卜+词

15.已知向量a,b，卜卜2=3,a2

3'人"।的值最小时，实数x的值为

【答案】1

3

【解析】

【分析】利用向量的数量积的定义及向量的模公式，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】因为同一2同3,a-—,

，与b的夹角为3

所以a/=|a||5|cos^-2X3X（-；）=-3

所以k+m="a+xb)=^|a|2+2x5-5+X2|s|=54-6尤+9/=(卜一+3,

当x=1•时，|a+x《的值最小.

故答案为：

3

_兀

16.在AABC中，AB一6,C=-,当BC+3ACAC

3取最大值时，

【答案】返

13

【解析】

【分析】用正弦定理将BC+3AC转化求得最大值，根据用余弦定理联立方程组即可求解.

【详解】设8C_a,AC",A“=c

「LN

'：c=6=V,

sinAsinBsinC

/.a+3〃.2sinAi6sinB,

/.a+3。=2sinA+6sin(A+C),

.1.。+3b_2sinA+6sin(A+1

第11页/共23页

a^3b-5sinA+30cosA，

5

a+30=2jiJ（A+s）cos（p

2而

，其中

sinip>0cosip0,A一（0.生）

3,

，当A+ip=j+2版（ZwZ）。+3匕取最大值2JIJ,

2时

n

,c3

a2+Z>2-c21

cosC-

lab2

、a+3b2,13

|a2+b2-3_11

2ab-2

743

/?i=b2

13

即AC的值为M3.

13

三、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）

17.已知角”的顶点与坐标原点重合,始边与X轴的非负半轴重合，角a的终边过点

（--

⑴求叫,+加）的值；A5,12

jr14

⑵若Q€（0,2兀），pe\0,—j,sin（（x-P）--丁求cosR供值

119

【答案】⑴演

⑵竺

65

【解析】

【分析】（1）根据终边所过点可得si*1"QOW，利用诱导公式和二倍角余弦公式可求得结果;

（2）根据角的范围和同角三角函数平方关系可求得cos（ci-B）,由8sllcos

a-（a-3）

和差余弦公式可求得结果.一，利用两角

【小问1详解】

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/.sinaa-1212

.••角a的终边过点A(一5,-12)'1_5/+(_12)2=下,

55

COSfX=—t=--------

J(-5)212213-

♦)

••3兀°ic1o2io25119

..sin,—42ix!cos2(/12cosn-1—2x------.

I2)169169

【小问2详解】

/x-Sina,ucosu<u,-371,

「aw(0,2兀)1>..a€[^―|；

•.•口€(0卷)，・•・-Bw(-泰。)，，吁口€停5，cos(a-Q)=-^l-sin2(a-0)=-y>

cosp=cos-(a-P)]=cost*cos(u-0)+sinasin(a-0)

18.已知正四棱柱ABC。—AdC0|中，AB^l,A42,E为线段4片的中点，尸为线段A3的中

点.

(1)求直线8耳与平面AEC

所成角的正弦值；

।

(2)证明：直线FCH平面AEG并且求出直线FCAEC

到平面的距离.

【答案】(1)反

21

(2)证明见解析，直线FC到平面AEQ的距离为当L

【解析】

第13页/共23页

【分析】（1）以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；

（2）根据FC万=0,由线面平行旧向量证明可得结论；将所求距离转化为点尸到平面AEC