多边形的内角和与外角和课件华东师大版数学七年级下册

9.2多边形的内角和

与外角和第1课时多边形的内角和第9章多边形情境导入一生活中的平面图形新课探究二多边形的相关概念图中是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD.DBAC图中是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE.ABCDE一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们已经认识的多边形.总结图1是凸多边形；图2不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形.图2图1ACBDACBD如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.ABCDEF内角外角∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角.∠CBE和∠ABF都是与∠ABC

相邻的外角，两者互为对顶角.ABCDEABCDEF五边形有5个内角，有10个外角.六边形有6个内角，有12个外角.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.正三角形正方形正五边形连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.ABCDEFABCDEABCD

三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？五边形？六边形呢？多边形的内角和如图，四边形

ABCD的一条对角线

AC

把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即180°×2=360°.为了求得n边形的内角和，请根据图中所示，完成下表.多边形的边数34567…n分成的三角形个数12…多边形的内角和180°360°…540°34720°5900°n–2(n–2)·180°n

边形的内角和为(n–2)·180°.“归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程.在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到.当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向.因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的.读一读例1八边形的内角和是多少度？解八边形的内角和为(n

–2)×180°=(8–2)×180°=1080°.例2已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个

多边形的边数.解设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n

–2)×180°=2160°.解得n=14.即这个多边形的边数为14.你有其他方法证明多边形的内角和吗？P即180°n–360°=(n–2)·180°试一试在n

边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得n

个三角形.则n

变形的内角和等于n

个三角形的内角和减去圆角P.ABC123D45678∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和.多边形的内角和与多边形的内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角。从图中可以知道：(∠1+∠5)+(∠2+∠6)+(∠3+∠7)+(∠4+∠8)

=4×180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°–(∠5+∠6+∠7+∠8).而∠5+∠6+∠7+∠8=360°.

因此∠1+∠2+∠3+∠4=360°.

根据n

边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n

边形的外角和据此，请将数据填人表中.探索多边形的边数34567…n多边形的内角和与外角和的总和…多边形的内角和180°…多边形的外角和540°720°900°3×180°=540°4×180°=720°5×180°=900°6×180°=1080°7×180°=1260°n·180°360°（n–2）·180°360°360°360°360°360°360°任意多边形的外角和都为360°.例3一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形

是几边形？解

设多边形的边数为n，根据题意，得

n

·72°=360°.解得n=5.因此，这个多边形是五边形.例4

一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这

个多边形是几边形？解设多边形的边数为n，根据题意，得

(n–2)·180°=5×360°.解得n=12.因此，这个多边形是十二边形.随堂练习三1.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的

是()A.600°B.720°C.900°D.1080°A2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边

形内角和等于(

)A.360°B.540°C.720°D.900°C3.五边形的内角和为

，它的对角线有

条.540°54.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形

的内角和增加________，外角和增加_______.180°0°5.一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则

这个多边形的边数为_____.156.如图，求图中

x的