第13招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型课件人教版九年级上册极速提分法

第13招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型九年级数学（上）极速提分法如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的长；(2)求证：DE是⊙O的切线．

例解题方法：看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到判定切线，就想：(1)若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接这点与圆心，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：连半径，证垂直；(2)若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：作垂直，证半径．(1)解：连接CD，如图．∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.类型1证线段平行1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.

(1)求证：PO平分∠APC；证明：如图，连接OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC.【点拨】连接OB，根据切线的性质和角平分线的定义可证明；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.证明：∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵∠APO＝∠BPO，【点拨】先证△OBD是等边三角形，再通过计算得∠DBP＝∠C，最后根据平行线的判定可证明．2.【2023·株洲】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之”．意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．类型2求线段长度问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为________丈．【点拨】3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.类型3求圆的直径(方程思想)(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径的长．解：设⊙O的半径长为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径的长为6.类型4求角的大小4.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD为(

)A．15°

B．20°C．25°D．30°

B【点拨】5.

【2023·新疆节选】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.类型5

证明线段垂直(1)求证：∠ABC＝∠CAD.证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD.

(2)求证：BE⊥CE.证明：如图，连接OC.∵CE与⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠CAD＋∠DBC＝180°.∵∠DBC＋∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ABC＝∠CAD，∴∠