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文档简介
第13招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型九年级数学(上)极速提分法如图,已知BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,E为AC的中点,连接DE.(1)若AD=DB,OC=5,求AC的长;(2)求证:DE是⊙O的切线.
例解题方法:看到切线,就想作过切点的半径;看到直径,就想直径所对的圆周角是直角;看到判定切线,就想:(1)若已知直线与圆有公共点,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接这点与圆心,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:连半径,证垂直;(2)若未知直线与圆有公共点,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:作垂直,证半径.(1)解:连接CD,如图.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB.∵AD=DB,∴AC=BC=2OC=10.类型1证线段平行1.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交⊙O于点D.
(1)求证:PO平分∠APC;证明:如图,连接OB.∵PA,PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP.又∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP,∴∠APO=∠BPO,∴PO平分∠APC.【点拨】连接OB,根据切线的性质和角平分线的定义可证明;(2)连接DB,若∠C=30°,求证:DB∥AC.证明:∵OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°.∵∠APO=∠BPO,【点拨】先证△OBD是等边三角形,再通过计算得∠DBP=∠C,最后根据平行线的判定可证明.2.【2023·株洲】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之”.意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”,如图所示.类型2求线段长度问题:此图中,正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M,N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,⊙O的半径为2丈,则BN的长度为________丈.【点拨】3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.类型3求圆的直径(方程思想)(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若CF=2,DF=4,求⊙O的直径的长.解:设⊙O的半径长为x.在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,即x2+42=(x+2)2,解得x=3.∴⊙O的直径的长为6.类型4求角的大小4.如图,在⊙O中,AB切⊙O于点A,连接OB交⊙O于点C,过点A作AD∥OB交⊙O于点D,连接CD.若∠B=50°,则∠OCD为(
)A.15°
B.20°C.25°D.30°
B【点拨】5.
【2023·新疆节选】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AC=CD,连接AD,延长DB交过点C的切线于点E.类型5
证明线段垂直(1)求证:∠ABC=∠CAD.证明:∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC.∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠CAD.
(2)求证:BE⊥CE.证明:如图,连接OC.∵CE与⊙O相切于C,∴∠OCE=90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠CAD+∠DBC=180°.∵∠DBC+∠CBE=180°,∴∠CAD=∠CBE.∵∠ABC=∠CAD,∴∠
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