垂径定理课件数学九年级下册

2.3垂径定理九年级下湘教版1.经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，理解并掌握垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决相关问题.学习目标重点难点如图，1400年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，如果知道它的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），同学们思考一下怎样可以求出桥拱的半径呢？新课引入在⊙O中，AB是任一条弦，CD

是⊙O

的直径，且CD⊥AB，垂足为E.试问：AE与BE，与，与分别相等吗？新知学习思考因为圆是轴对称图形，将⊙O

沿直径CD对折，AE与BE重合，，

分别与,

重合，即AE=BE

，,.你能试着用学过的知识证明这个结论吗？连接OA，OB.∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形.∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD.从而∠AOC=∠BOC.∴

，证明：∵CD是直径，且CD⊥AB，∴AM=BM.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∴归纳●OABCDM└过圆心试一试上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下：

·ODEABC

一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦则③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

已知①②

可推出③④⑤猜想：已知①③

？②④⑤猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧

·ODEA图示：·ODABC

C

B·ODEABC

·ODEABC

被平分的弦是直径被平分的弦不是直径猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧

图示：·ODABC

被平分的弦是直径反例：·ODABC

直径虽然平分弦但不垂直于弦所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧

已知：如图，CD

是⊙O

的直径，CD平分弦AB于点E.求证：CD

⊥AB于点E

，=

，=·ODEABC

证明：

连接

AO、BO，则

AO=BO.在△OAB中，∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形.∵CD平分弦AB于点E，∴OE⊥AB于点E，即CD⊥AB与点E.∴=

，=

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD

是⊙O

的直径，CD平分AB于点E，∴

CD⊥AB于点E，

数学语言：·ODEAC

B试一试：更换条件你还能证明吗？探究①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

猜想3：已知①⑤

？②③④猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.·ODEAC

B正确已知结论

命题①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧①③②④⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧①④②③⑤平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧①⑤②③④②③①④⑤弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧②④①③⑤垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧②⑤①③④③④①②⑤平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧③⑤①②④④⑤①②③平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦归纳例1下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心OABCABDCOEABOECABOCDE①过圆心

②垂直于弦

例2如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE＝2cm，求⊙O的直径CD的长.解连接OA.设OA=rcm，则OE

＝r-2（cm）∵CD⊥AB，

由垂径定理得在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2＝OE2+AE2即r2

＝（r-2）2+42

解得r

＝5.∴CD=2r=10（cm）.例3证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD

平行．求证：证明：作直径EF⊥AB，∴.又∵AB∥CD，

EF

⊥AB

，∴EF

⊥CD.∴.因此.

即.例4如图，AB

是⊙O的直径，C

是⊙O上一点，AC

＝8cm，AB

＝10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长.解∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC=6cm；故BD=BC=3cm．二

垂径定理的实际应用回到一开始的问题，已知赵州桥的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.你能用垂径定理解决这个问题吗？分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴

AD=AB=×37=18.5，解：由题意得，AB

=

6

m，OE⊥AB于F，

∴AF

=AB

=

3

m.

∵设

AB

所在圆O的半径为

r，且

EF

=

2

m，

∴AO

=

r，OF

=

r

-

2.

在

Rt△AOF

中，由勾股定理可知：AO

2

=

AF

2

+

OF

2，

即

r2

=

32

+(

r

-

2)2

解得

r

=

m．

即

AB

所在圆

O

的半径为

m．例1如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度

AB

=

6

m，弓形的高

EF

=

2

m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧

AB

所在圆

O

的半径．例2一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽0.8m、水深0.2m,则此输水管道的直径是（）A.0.4mB.0.5mC.0.8mD.1mDBA分析：过圆心作OA垂直于水面，连接OB由此形成了一个直角三角形，可设OA为xm，OB为(0.2+x)m根据垂径定理可知AB为0.4m在直角三角形AOB中，由勾股定理可得x=0.3m所以半径OB=0.5m,直径为1m涉及垂径定理时辅助线的添加方法：在圆中有关弦长

a，半径

r，弦心距

d（圆心到弦的距离），弓形高

h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弓形中重要数量关系：弦

a，弦心距

d，弓形高

h，半径

r之间有以下关系：ABCDOhrd

d+h=r

OABC·归纳1.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为

5cm，油面宽

AB为

6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为

8cm，则油面

AB上升了（）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7D思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻。注意圆中的多种情况随堂练习2.（2022云南省卷）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为()A.

B.C.

D.B3.（2022四川泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4

，DE＝4，则BC的长是()A．1B．C．2D．4C4.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5

D．6C思路点拨：将点坐标转化为线段长度5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接

OC.●

OCDEF┗设这段弯路的半径为

Rm,则

OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得

R=545.∴这段弯路的半径约为545m.6.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形