专题02 不等式（解析版）

专题02不等式一、知识速览二、考点速览知识点1等式的基本性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向知识点2不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点3一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点4基本不等式1、重要不等式：,（当且仅当时取号）.变形公式：2、基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号．（3）算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)一、比较两数（式）大小的方法1、作差法：（1）原理：设，则；；；（2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形。2、作商法：（1）原理：设，则；；（2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。【典例1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（）A．B．C．D．与的大小无法判断【答案】A【解析】因为，所以，故.故选：A.【典例2】（2022秋·河北石家庄·高三开学考试）若实数，，满足，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为实数，，满足，，，所以，∴；又，∴；∴．故选：A．二、利用待定系数法求代数式的取值范围已知，，求的取值范围第一步：设；第二步：经过恒等变形，求得待定系数；第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。【典例1】（2023秋·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，所以，则，又，所以，，由不等式的性质得：，则的取值范围为.故选：D.【典例2】（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因，而，则，即，，所以的取值范围是.故选：A三、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；第二步：写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解第三步：根据不等式，写出解集.【典例1】（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，即，解得，所以，由，解得或，所以或，所以，所以.故选：A【典例2】（2022秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）可化为，即，解得，∴原不等式的解集为.（2），∴原不等式的解集为.（3）∴原不等式的解集为.四、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为与，分子为，设∴，解得：4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为.【答案】【解析】，，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.【典例2】（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】，，，即有且，将代入得，令，，，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值，即的最小值是.故选：D.【典例3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）（多选）已知，，且，则（）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为2D．的最大值为4【答案】AC【解析】对于A项，因为，，，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，所以，故A正确；对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误；对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，的最小值为4，故D不正确.故选：AC.五、不等式恒成立与能成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为不等式恒成立，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得.故答案为：【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为．【答案】【解析】当时，不成立，所以.由得.因为，，所以，解得，即.所以，令，则，于是.令，，则.由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.所以，即的最大值为.故答案为：.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围【答案】【解析】由题知，设，当时，恒成立.当且仅当，即，解得且，或且，则.所以的取值范围是.易错点1忽视不等式性质成立的条件点拨：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．【典例1】（2023·湖南邵阳·统考三模）（多选）,则下列命题中，正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】对于A：若，则无意义，故A错误；对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C：由于不确定的符号，故无法判断，例如，则，故C错误；对于D：若，则，所以，故D正确；故选：BD.【典例2】（2023·湖南永州·统考三模）（多选）已知，下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】对于A项，，因为，所以，所以，所以，即：，故A项错误；对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；对于C项，，因为，所以，，，所以，即：，故C项错误；对于D项，因为，又因为，所以，，所以，即：，故D项正确.故选：BD易错点2忽视不等式中参数的取值范围点拨：对于最高项系数含参数的问题，一定要注意讨论当最高项系数为零时，是否符合题意。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（）A．若，则B．若x＞0，y＞0，则C．若x＜0，则D．若x＜0，则【答案】D【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误；∵可能为负数，如时，，∴B错误；∵，如时，，∴C错误；∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．故选：D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下面结论错误的是（）A．不等式与成立的条件是相同的.B．函数的最小值是2C．函数，的最小值是4D．“且”是“”的充分条件【答案】ABC【解析】不等式成立的条件是；成立的条件是，A错；由于，故函数无最小值，B错；由于时无解，故的最小值不为4，C错；当且时，，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立；而“”的充要条件是“”，因为且推不出且，所以D正确.故答案为：ABC易错点3忽视基本不等式应用的条件点拨：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负（2）对形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，b【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．－1<a<2B．a≥1C．a<－1D．－1≤a<2【答案】D【解析】当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足，解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2，故选：D【典例2】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是.【答案】【解析】∵不等式的解集为，∴恒成立.①当，即时，不等式化为，解得：，不是对任意恒成立，舍去；②当，即时，对任意，要使，只需且，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为：易错点4解分数不等式忽略分母不为零点拨：解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如【典例1】（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）不等式的解集是．【答案】【解析】因为，所以，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：【典例2】（2023·全国·高三对口高考）下列不等式中与不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式等价于且，即得且，不等式的解集为.等价于的解集为,A错；等价于,的解集为,B错；等价于，且，的解集为，C错；等价于即，的解集为,故D正确；故选：D.易错点5连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立点拨：连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件，检验等号能否同时成立.【典