2023-2024学年广东省八区联考高二年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省八区联考高二上册期末数学试题

一、单选题

1.直线6x+y+l=0的倾斜角是

A.工B.工C.生D.空

6336

【正确答案】C

【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.

【详解】直线后+y+l=0的斜率为&=-走=-6,因此，该直线的倾斜角为日，故选

1J

C.

本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和

斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

2.准线方程为x=2的抛物线的标准方程为（）

A.y2=-4xB.y1=-8ΛC.y2=4xD.y2=8x

【正确答案】B

【详解】试题分析：由题意得，抛物线y2=-8x,可得夕=4,

且开口向左，其准线方程为χ=2.

故选B.

抛物线的几何性质.

2

3.双曲线、-丁=1的离心率是（）

A.ɪB.近C.立D.也

2222

【正确答案】B

【分析】由双曲线的方程知再由C?="?+〃求得c?,即可求得双曲线的离心率.

【详解】由双曲线三-V=I知，。2=2,从=1贝1］。2="2+从=3,

2

则离心率e=5=∕∣y=—.

2

故选：B

4.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+l=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0的直线的

方程是()

A.2x+3y-13=0B.2x+3y-12=0

C.2x-3y=()D.2x-3γ-5=0

【正确答案】B

【分析】联立方程计算交点为(3,2),根据直线垂直得到％=-：,得到直线方程.

【详解】μ-2γ+l=0,解得Iy=2,故直线交点为(¥)，

直线3x-2y+4=0的斜率4=3∙∣,故垂直于它的直线斜率％=-(2,

故所求直线方程为y=-((x-3)+2,整理得到2x+3y-12=0.

故选：B

5.在三棱柱ABC-A0C中，M,N分别为AeI,B出的中点，若MN=XAB+yAC+zA^则

(x,y,z)=()

1B1

ʌ-('^Γ4)∙(T4)

C∙D∙(^1T4)

【正确答案】A

【分析】利用空间向量的运算法则得到MN=AB-14C-3ΛA,得到答案.

【详解】MN=MAi+AiA+AB+BN=-^AC-AAt+AB+^AAi

=AB-^AC-^AA,=xAB+yAC+zAAi,故X=I=Z=_g.

(QZ)=U}

故选：A

6.动圆P过定点M(0,2),且与圆MY+(y+2)2=4相内切，则动圆圆心尸的轨迹方程

是()

A∙/-y=l(y<0)B./-y=1

22

C.ɪ--ɪ2=l(y<θ)D.x2+ɪ-=1

【正确答案】A

【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心尸的轨迹方程.

【详解】圆Mq+（丫+2）2=4的圆心为7（0,-2）,半径为2,且IMVI=4

设动圆P的半径为，・，则IPM=r,∣∕W∣=r-2,^i∖PM∖-∖PN∖=2<∖MN∖.

即点P在以M,N为焦点，焦距长为2c=4,实轴长为24=2,

虚轴长为4=2√4^T=2√3的双曲线上，且点尸在靠近于点N这一支上，

故动圆圆心P的轨迹方程是丁-,=1（），<0）

故选：A

7.椭圆卷+[=1的一个焦点是F,过原点。作直线（不经过焦点）与椭圆相交于A,B两点,

25Io

则aABF的周长的最小值是（）

A.14B.15C.18D.20

【正确答案】C

【分析】不妨取尸为左焦点，片为右焦点，连接A6,BK,则AFB片为平行四边形，AABF

的周长大于等于为+2"计算得到答案.

【详解】如图所示：不妨取厂为左焦点，E为右焦点，连接AG,BF∣,

则AFB片为平行四边形,

△W的周长为IAFl+1即∣+∣ABI=IAFl+Mκ∣+IABI=2π+∣AB∣≥2α+2⅛=18,

当A,B为椭圆上下顶点时等号成立.

故选：C

8.已知数列｛%｝满足4=1,al,+(T)%e=1一矗，记数列｛%｝的前"项和为S“，则SZM=

()

A.506B.759C.1011D.1012

【正确答案】A

【分析】根据数列递推公式为+(-1)"。“”=1-矗可知，当〃为偶数时，即可出现分组求

和S2o23=4+(a2+G*∙∙+(%)22+%O23),再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.

【详解】由递推公式%+(-1)"4M=I-蠹可得，

,2

O,+2=]---------;

232022

4

a,-3t-CL=X1---------；

452022

2022

；

t⅛O22+42023=*—2Q22

而52O23=a∖+(%+/)+…+(出022+。2023)=I+1∙+^^^•+…+∣^H)

2

=1012--------(l+2+∙∙∙+10l1)=1012-506=506

2022v7

故选：A

二、多选题

9.已知4=(U,-2),⅛=(-2,-2,4),则()

A.p∣=V6B.tz-2⅛=(3,3,-6)

C.aLbD.a//b

【正确答案】AD

【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断

即可.

【详解】对A,因为α=(l,1,-2),所以问=J>+12+(-2)2=娓,故A正确；

对B,“一劝=(1,1,—2)—2(—2,-2,4)=(5,5,—10),故B不正确；

对C,a∙⅛=(l,l,-2)∙(-2,-2,4)=-2-2-8=-12≠0t所以a,b不垂直，故C不正确；

对D,b=(—2,—2,4)=—2(1,1,—2)=-Ia,所以“〃〃，故D正确.

故选：AD.

10.数列｛4｝满足4=10,-2(n>2),则()

A.数列｛%｝是递减数列B.α,=2∕ι+8

C.点(〃,%)都在直线y=-2x+12D.数列｛叫的前n项和S”的最大值为32

【正确答案】AC

【分析】根据数列的递推关系式Q=4I-2("≥2),可判断数列的单调性及，可判断A；又

可得数列｛4｝为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前〃项和

公式结合二次函数的性质，即可求得S“的最大值，可判断D.

【详解】数列｛%｝满足4=10,%=4T-2("22),即q一a,_1=—2<0("≥2),所以数列｛α,,｝

是递减数列，故A正确；

且数列｛q｝是以4=10为首项，d=-2为公差的等差数列，

所以%=4+("-l)d=10+(n-l)x(-2)=-2"+12,则点(〃,『)都在直线y=-2x+12上,故

B不正确，C正确；

数列｛能｝的前〃项和S11=(6丁”=(1。-2;+12)〃=一/+11〃=一(〃一?j+?，

又因为“=£eN*,所以〃=5时，S5=30,〃=6时，S6=30,则S“的最大值为30,故D

不正确.

故选：AC.

11.过双曲线Cf-E=I的左焦点写作直线/与双曲线C的右支交于点A,则()

4

A.双曲线C的渐近线方程为y=±2x

B.点K到双曲线C的渐近线的距离为4

C.直线/的斜率Z取值范围是树一2<A<2}

D.若AE的中点在y轴上，则直线/的斜率k=±竽

【正确答案】ACD

【分析】双曲线C的渐近线方程为y=±2x,A正确，计算点到直线的距离得到B错误，根

据渐近线得到斜率k取值范围是{K-2<k<2},C正确，确定A的横坐标为逐，得到

A（技4）或A（石,-4）,计算斜率得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：双曲线C的渐近线方程为y=±2x,正确；

对选项B：耳（-石,0）,取渐近线方程为2x+y=0,距离为d=F闽=2，错误；

',√i1T2r

对选项C：渐近线方程为y=±2x,故斜率k取值范围是{2∣-2<%<2},正确；

对选项D：AK的中点在y轴上，则A的横坐标为石，5-?=1,得至IJy=土4,故4（底4）

或A（底-4）,川一技0）,斜率为4=±半，正确.

故选：ACD

三、解答题

12.过直线/：x+y+4=0上的动点P分别作圆C/：d+/=2与圆c?:（X-6）2+∕=8^

切线，切点分别为4,B,则（）

A.圆C/上恰好有两个点到直线/的距离为3亚

B.|以|的最小值为几

c.的最小值为2月

∣PG∣+∣PC2∣

D.直线/上存在两个点尸，使得|尸耳=2|尸Al

【正确答案】BCD

【分析】确定两圆圆心和半径，G（O,（））到直线的距离为4=9=2√Σ,3√2=2√2+z;,A

正确，IPGl的最小值为2&，B错误，计算对称点得到最小距离为回，C正确，计算轨

迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D正确，得到答案.

【详解】圆C"√+√=2,圆心C(0,0),半径4=&；

圆。2：(x-6)2+y2=8,圆心C2(6O),半径弓=20,

对选项A：G(0,0)到直线的距离为d=9=2√Σ,3√2=2√2+/;,故只有1个点满足条件,

错误;

IPAI=JIPC/一｛,IPGl的最小值为鬓=2&,故附的最小值为"

对选项B：,正确;

%.=1?

X°,解得XO=-4

对选项c：设G(0,0)关于直线的对称点为Q(Λ,%),则■

0%=-4'

⅛+⅛+4=0

22

故Q(TT),IPej+∣PC2∣=∣P0∣+∣尸C2∣≥∣QG∣=而7*=2岳，正确;

对选项D：IPBl=2归川，即∣PB∣2=4∣PA∣2,即IPGrf2=4(|PGf-1)，设尸(x,y),则

(x-6)2+∕-8=4(x2÷√-2),整理得到(X+2)2+V=I6,轨迹为圆心为(—2,0),半径为4

的圆，圆心到直线的距离为卷=&<4,直线和圆相交，有2个交点，正确.

故选：BCD

四、填空题

13.经过点A(3,l),且与直线2x+y-5=0平行的直线的方程为

【正确答案】2x+y-7=0

【分析】根据直线平行得到k=-2,得到y=-2(x-3)+l,整理得到答案.

【详解】直线与直线2x+y-5=0平行，则％=—2,直线方程为y=-2(x-3)+l,

即2x+y-7=0.

故2x+y-7=0

14.若数列｛。“｝为等差数列，¾+⅞=20,则数列｛%｝的前9项和既

【正确答案】90

【分析】利用等差数列的性质得到Sg=(4+旷9,代入数据计算得到答案.

【详解】S9=>+%)x9=(生+4)x9=32^=90.

222

故90

15.图中是抛物线形拱桥，当水面在/时，水面宽4m,水面下降2m后，水面宽8m,则桥

拱顶点。离水面I的距离为.

【正确答案】I

【分析】建立直角坐标系，直线/交抛物线于AB两点，抛物线方程为f=_2py,(p>()),

A(-2,∕n),对应的坐标为(T,m-2),代入抛物线，解得答案.

【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线/交抛物线于AB两点，

抛物线方程为∕=-2py,(p>0),

设A(-2,m),水面下降2m后，水面宽8m,对应的坐标为(Y,m-2),

4——2pmP2

则L、/ov解得2,故拱顶点°离水面/的距离为；

16=-2p(w-2)rn=——3

故！

16.在棱长为1的正方体ABCo-A4G。中，M,N分别是A。,6田的中点，动点尸在底面

正方形ABs内(包括边界)，若B7//平面AMN,则CP长度的最大值为.

【正确答案】叵

4

【分析】以正方体的顶点A为原点，A及AQ,∕½分别为X,XZ轴建立空间直角坐标系，利用

空间向量的坐标运算求平面AMN的法向量，设P(x,y,0),且％ye[0,1],求4P,根据用P//

平面AMN,可得X,y满足的等式关系，并用y表示X,确定y的取值范围，利用空间中两

点距离公式得ICH,结合二次函数的性质，即可确定CP长度的最大值.

【详解】如图，以正方体的顶点A为原点，A8,ADAA分别为x,y,Z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),3(1,0,0),c(ι,ι,o),o(o,1,()),A((),0,1),4(1,(),1),G(1,1,1),A(OJI)，

M(Ojo)N[1,0,9

动点P在底面正方形ABCC内(包括边界)，则设P(x,y,0),且x,ye[θ,l]

则用P=(X-I,y,-l),设平面AMN的法向量为"=(α,4c),又

AN=O,0,-；),AM=(O

2

AN•丹=0

令c=2,贝∣J〃=(1,4,2)

A1Λ∕∙zι=O

因为gP∕/平面AMN,所以4尸・〃=(工_1,弘_1)・(1,4,2)=1_1+4¥_2=0,即工+4了_3=0,

则X=Ty+3e[0,l],所以y∈

2222

贝IJlCPl=5∕(x-l)+(y-l)+O=√17y-18y+5=

由二次函数的性质可得当y时，∣CP∣=Ly=3时，ICPI=姮＞L所以Cp长度的最

2241142

大值为姮.

4

故答案为.姮

4

五、解答题

17.在等差数列｛4｝中，&=一9,Ω7=-6.

(1)求数列｛q｝的通项公式：

(2)记S“为等差数列｛%｝的前"项和，求使不等式S“>O成立的n的最小值.

【正确答案】(l)α,,="T3

(2)26

【分析】(1)根据等差数列公式得到q=T2,J=I,得到通项公式.

1os

(2)计算S,,=y2—彳*解不等式得到答案.

【详解】(1)等差数列｛4｝中，%=4+3d=-9,%="+6d=-6,故q=-12,J=I,

故%=T2+(〃-I)XI=13.

(2)S=-nn+n^~^=-n2--n,S,,>0,即［/一空〃>。，解得〃>25,

,22222

故”的最小值为26

18.已知圆C经过A(TQ),8(2,3)两点,且圆心C在直线2x-y-4=0上

(1)求圆C的方程；

(2)过点(3,2)的直线/与圆C交于P,Q两点，如果∣PQ=40,求直线/的方程.

【正确答案】⑴(x-2f+y2=9

⑵x=3或3x-4y-l=0.

【分析】(1)计算48的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.

(2)考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得

到答案.

【详解】⑴L=2=1,AB的中点为佶目，故A3的垂直平分线为y=-Gm，

2+1122JV2√2

CV=—X+2?fx=2

即y=f+2,Fi(V解得Iy=0,故圆心为C(2，。)，

半径R=J(-I-2j+()2=3,故圆方程为(x-2y+y2=9.

(2)当直线/斜率不存在时，此时IPa=40,满足条件，直线方程为X=3;

当直线/斜率存在时，设直线方程为y=Mx-3）+2,即质-y-3%+2=0,

IPa=40,故圆心到直线的距离为"=t竺2kR?J邈？I=1,解得A='

√Γ7FVI2J4

33

故直线方程为三x-y-3x二+2=0,B∣J3x-4γ-l=0.

44

综上所述：直线/的方程为x=3或3x-4y-l=0.

19.如图，在长方体ABCz）-A耳GR中，BC=4,AB=8g=2,点E是84的中点.

（1）求BDl与AE所成角的余弦值；

（2）求BDt与平面ACE所成角的正弦值.

【正确答案】（1）也

【分析】（1）根据长方体以A为原点，AB,AO,AA1为X,N,z轴建立空间直角坐标系，求解

BDi,AE,按照异面直线夹角余弦公式求解BR与所成角的余弦值即可；

（2）由（1）求平面ACE的法向量与直线8。的方向向量BR,再利用空间向量坐标运算解

求得BD1与平面ACE所成角的正弦值.

【详解】（1）在长方体ABCD-A4G。中，BC=4,AB=BB∣=2,如图，以A为原点，

AB,AO,例为X,y,z轴建立空间直角坐标系，

则

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),4(0,0,2),4(2,0,2)C(2,4,2),A(0,4,2),E(2,0,l)

CC«BD.-AE-4+0+2√30

所以吟=(一2,4,2),AE=(2,0,l),则侬叫，乖=-可，

则BD1与AE所成角的余弦值为粤；

(2)设平面ACE的法向量为〃=(x,y,z),又AC=(2,4,0),AE=(2,0,l),BDi=(-2,4,2),

ACn=0j2x+4y=0jx=-2y

令y=l,则”=(-2,1,4)

AEn=O[2x+z=0[z=-2x

BD.n4+4+84√144√14

所以CoSBA'〃=网词=该石="Γ,故与平面ACE所成角的正弦值为

21

20.已知数列｛α,,｝的前〃项和为S“，q=9,S,,M=3S,,+9("∈N").

⑴求证:数列｛%｝是等比数列;

(2)若4=1娱,c,,=anbn,求数列｛g｝的前〃项和刀,.

【正确答案】(1)证明见解析;

(2W+1)×3,I+2-9

⑵T=

ll4

【分析】(1)利用ɑ,,=S“-S,ɪ(〃≥2)得数列｛ɑ“｝的递推关系，从而由等比数列定义得证结

论；

(2)由错位相减法求和.

【详解】(1)SN=3Szl+9,n≥2时，Sπ=35,,.,+9,相减得：%=3q,又4=9,

S2=9+α,=34+9,&=3,

q

所以口IL=3,n∈N*,

4

所以他“｝是等比数列，首项是9,公比是3；

(2)由(1)得a“=9χ3"∣=3向，⅛=Iog3α,,=/?+1,q,=("+1)∙3*',

7；,=2×32+3×33++(n+1)×3n+l,

则37；=2x33+3x3"++rt×3n+l+(n+l)×3"+2,

相减得

9x13

-27；,=2×32+3J++3"+'-(n+l)×3,l+2=9+J~^-(n÷l)×31,t2=∣-(∏+∣)×3"'h2,

.T(2H+1)×3,,+2-9

"，=------4-----------

21.如图，在三棱锥P-ASC中，NABC=90。，AB=BC=4,D,E分别为8C,Ae的

中点，_PBC为正三角形，平面PBCl平面ABC.

⑴求点B到平面PAC的距离；

(2)在线段PC上是否存在异于端点的点〃，使得平面PAC和平面MDE夹角的余弦值为

且？若存在，确定点”的位置；若不存在，说明理由.

7

【正确答案】(1)史里

7

(2)存在点"，使得平面PAC和平面MDE夹角的余弦值为立，此时“为PC中点

7

【分析】(1)根据线面关系证得PDɪDB,PDVDE,BCLDE,则以。为原点，DB,DE,DP

分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面PAC的法向量与PB，即

可求得点B到平面PAC的距离；

(2)由(1)知平面PAC的法向量，设PM=2PC，且/le(0,l),利用空间向量的坐标求

平面MoE的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得义的

值，从而确定M的位置.

【详解】(1)连接尸O,因为，PBC为正三角形，又力为BC中点，所以尸E>"L3C,

因为平面PBC上平面ABC,平面PBCC平面ABC=BC,PZJu平面P8C,

所以PO_L平面月8C,又。8,。EU平面A8C,所以尸。_1_OE,

因为ZA8C=90。，D,E分别为BC,AC的中点，所以E>E∕∕A3,AB28C,所以BC_LOE,

则如图，以。为原点，OE,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

因为AB=BC=4,则£>(0,0,0),8(2,0,0),C(-2,0,0),A(2,4,0),P(O,O,2√^),E(0,2,0),

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),由于PC=(-2,0,-2√3),AC=(-4,-4,0),

PCn=O-2x-2∖∣3z=Ox=-∖∣3z

则=令z=ι,则〃=卜G,6,ι)

ACn=O-4x-4y=Ox=-y

又P3=(2,0,-2@则点-离为巴T也宇

(2)由(1)可知〃=卜6,8,1)是平面PAC的一个法向量，

由题可设P例=4PC，且4e(0,l),则PM=M-2,0-26)=卜240,-2石/1),

所以DM=Z)P+PM=(0,0,26)+(-2Λ,O,-2√3Λ)=(-2Λ,0,2√3-2√3Λ),

设平面MDE的法向量为机=(“,〃,c),由于OE=(0,2,0),

DMm=O-2Aα+(2√3-2√3Λ)c=06-四

则=>{',nA，令c=2,则

DEtn=O[2b=0b=0

∕H=(√3-^Λ,0,Λ),

..∣∕ι∙7∏∣∣3Λ-3+0+2∣币1

所以CoS〃,时/,I==，整理得"2-3/1+1=0,解得X=；或4=1

∣rt∣ψn∣√7×√4Λ2-6Λ+372

(舍)，

故存在点M，使得平面PAC和平面MDE夹角的余弦值为玄，此时M为PC中点.

7

22

22.己知椭圆U*∙+点∙=l(">"0)上的点到两个焦点的距离