2023-2024学年河南省郑州市中牟县求实中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中牟县求实中学九年级（上）第一

次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列判定正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形

D.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

2.下列方程有两个相等的实数根的是（）

A.x2+x+1=0B.4x2+2x+1=0

C.x2+12x+36=0D.x24-x-2=0

3.方程/-4=0的根是（）

A.x=2B.%=-2

C.xr=2,x2=—2D.x=4

4.若一元二次方程2x（此一4）一/+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）

A.-1B.0C.1D.2

5.用配方法解一元二次方程/一虹一5=0的过程中，配方正确的是（）

A.（x+2产=1B.（x-2尸=1C.（x+2）2=9D.（x-2）2=9

6.既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形

7.如图，G,E分别是正方形A8CD的边AB,BC的点，且4G=/

CE,AE1EF,AE=EF,现有如下结论：「

①BE=^GE；@^AGE=^ECF,③zFCD=45°;（4）△

GBEfECHB

其中，正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程/-4x+3=0的根，则该三角形的周

长可以是（）

A.5B.7C.5或7D.10

9.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率

相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是（）

A.560(1+x)2=315B.560(1-%)2=315

C.560(6-2x)2=315D.560(1-X2)=315

10.如图：长方形纸片71BCD中，AD=4cm,AB=10cm,按

如图的方式折叠，使点B与点。重合.折痕为EF,则DE长为（）

A.4.8

B.5

C.5.8

D.6

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.己知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数比为1：2,则较短的对角线长为,面

积为.

12.方程(2y+l)(2y-3)=0的根是

13.从3,0,-1,-2,—3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5-Tn?）%和关于%的一元

二次方程（巾+1）x2+mx+1=0中ni的值.若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方

程有实数根，则满足条件的m的值是

14.如图，已知£、尸、G、H分别为菱形四边的中点

2

6cm,乙ABC60°,则四边形EFGH的面积为.CM.

15.菱形4BC0在直角坐标系中位置如图示，其中点4的坐标为（1,0），点B

的坐标为（0,动点P从4出发，沿4…的路

径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，

点P的坐标为.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题9.0分）

按要求解一元二次方程:

(1)4x2_8x+1=0(配方法);

(2)7x(5x+2)=6(5%+2)(因式分解法);

(3)3M+5(2尤+1)=0(公式法).

17.（本小题8.0分）

如图，菱形4BCD的对角线AC、BC相交于点。，BE//AC,CE〃DB.求证：四边形OBEC是矩

形.

18.（本小题8.0分）

中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每

件涨价4元,其销售量就减少40件.如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？

这时每月应进多少件衬衫？

19.（本小题9.0分）

李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个

正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48门合，你认为他的说法正确吗？请说明理

由.

20.（本小题9.0分）

在矩形4BCD中，AB=5,AD=12,P是4D上的动点，PEJLAC于点E,PF1.BD于点F,求

PE+PF.

21.(本小题小,0分)

已知关于x的一元二次方程/-4x+m=0.

(1)若方程有实数根，求实数瓶的取值范围.

(2)若方程两实数根为与、x2,且满足5尤1+2小=2,求实数m的值.

22.(本小题11.0分)

阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题.

计算：(iWV)x》xG+g+》.

令"2+2=如则

111141

原式=(1—t)(t+-)—(1—t—=tt2—-t—-t+t2=-

问题：

/Y、、I./3111]、11111]、“111

(1)计算：a-2-3~4^)X(Zi+3+4+5+，"+2014+2015)-(1-2~3-4-

1111

X++++-N

5--3-4-2-J

014

(2)解方程(“2+5x+1)(/+5x+7)=7.

23.(本小题11.0分)

如图，四边形ABC。、BEFG均为正方形，连接4G、CE.

(1)求证：AG=CE；

(2)求证:AG1CE.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；

B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故2错误；

C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；

。、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故。错误；

故选：C.

根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案.

本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：4、方程/+乂+1=0,­.-△=1-4<0,方程无实数根；

B、方程4/+2x+1=0,•・・△=4-16<0,方程无实数根；

C、方程/+12X+36=0,•••△=144-144=0,方程有两个相等的实数根；

D、方程x2+x-2=0,•••△=1+8>0,方程有两个不相等的实数根；

故选：C.

由方程有两个相等的实数根，得到△=(),于是根据△=()判定即可.

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0=方程有两个相等的实数根；

(3)△<0o方程没有实数根

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查解一元二次方程-直接开方法，先对题干的方程移项，然后利用数的开方解答即可.

【解答】

解：移项得/=%

开方得％-±2,

••%1=2,%2=—2.

故选：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程收2+.+。=09*0,£1/4为常数)根的判别式.当A>0,方程有两

个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.先把方程变

形为关于x的一元二次方程的一般形式：(2/C-1)X2-8X+6=0,要方程无实数根，则4=82-

4x6(2/c—1)<0且2/c—l羊0,解不等式组，并求出满足条件的最小整数日

【解答】解：方程变形为：(2k-l)x2-8x+6=0,

当4<0且2/c-1*0时，方程没有实数根，

即△=82—4x6(2k-1)<0且2k—1声0,

解得k>.

则满足条件的最小整数k为2.

故选。.

5.【答案】D

【解析】解：移项得：%2—4%=5>

配方得：X2—4x+22=5+22,

(X-2产=9,

故选：D.

先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案.

本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿

对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】

解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；

矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；

菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴.

故选。.

7.【答案】B

【解析】解：・・•四边形4BCD是正方形,

:.(B=Z.DCB=90°,AB=BC,

•・•AG=CE,

.・.BG=BE,

由勾股定理得：BE=[?GE，.••①错误；

・・,BG=BE,Z-B=90°,

/.Z.BGE=乙BEG=45°,

・・・乙AGE=135°,

・・・Z,GAE+乙AEG=45°,

vAE1EF,

・•・Z.AEF=90°,

v乙BEG=45°,

・•・乙AEG+Z-FEC=45°,

••・Z-GAE=乙FEC,

在^GAE^WLCEF中

AG=CE

/.GAE=乙CEF

AE=EF

Gi4F=ACFF,/.(2)jE^；

・・・Z.AGE=Z-ECF=135°,

・・・4FCD=135。-90。=45。，,，③正确；

v(BGE=乙BEG=45°,Z-AEG+乙FEC=45°,

・•・Z.FEC<45°,

・•.△GBE和△EC”不相似，，④错误；

即正确的有2个.

故选3.

根据正方形的性质得出NB=NDCB=90。，AB=BCf求出BG=8E,根据勾股定理得出BE=

号GE，即可判断①；求出NGAE+LAEG=45°,推出NG/E=乙FEC,根据SAS推出△GAE^CEF,

即可判断②；求出乙4GE=4ECF=135。，即可判断③;求出“ECV45。,根据相似三角形的判

定得出△GBFffAECH不相似，即可判断④.

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，

勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大.

8.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查用因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验.先通过解方

程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出

三角形的周长.

【解答】

解：解方程*2-4尤+3=0,

(x-1)(%-3)=0

解得=3,x2=1;

••・当底为3,腰为1时，由于3>1+1,不符合三角形三边关系，不能构成三角形；

二等腰三角形的底为1,腰为3；

•••三角形的周长为1+3+3=7.

故选：B.

9.【答案】B

【解析】解：由题意得：

560(1-x)2=315,

故选:B.

根据一次降价后的价格=降价前的价格x(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是560(1-

%).第二次降价后的价格是560(1-©2,据此即可列方程求解.

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题

主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可.

10.【答案】C

【解析】解：设DE=xcm,则BE=DE=x,AE=AB-BE=10-x,

在RT△力DE中，DE2=AE2+AD2,g|J%2=(10-x)2+16.

解得：x=—=5.8(cm).

故选：C.

注意发现：在折叠的过程中，BE=DE,从而设BE即可表示4E,在直角三角形ADE中，根据勾股

定理列方程即可求解.

此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾

股定理解直角三角形.

11.【答案】10cm50<3cm2

【解析】解：根据已知可得，

菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm,4ABe=60°,/.BAD=120°,

••.△ABC为等边三角形，

:.AC=AB=10cm,AO=CO=5cm,

在RtZkAOB中，根据勾股定理得：BO=VAB2-0A2=5<3(cm).

BD=2B0=10<3(cm),

则S爱期seo=；xACx8。=；x10x10V_3=SOV^Cem2);

故答案为：10cm,50<^cm2.

根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的

面积等于两对角线乘积的一半求得其面积.

本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合.菱形的面积有两种求法(1)利用底乘以相应底上

的高(2)利用菱形的特殊性，菱形面积=gx两条对角线的乘积.

12.【答案】%=-1,y2=|

【解析】解：・••(2y+l)(2y-3)=0,

:.2y+1=0或2y-3=0,

解得力=一(y2=|.

解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得.

解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个

原则.

13.【答案】-2

【解析】【分析】

确定使函数的图象经过第一、三象限的m的值，然后确定使方程有实数根的m值，找到同时满足

两个条件的m的值即可.

本题考查了一次函数图象与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是会解一

元二次不等式，难度不大.

【解答】

解：•.•函数y=(5—m2次的图象经过第一、三象限，

5—m2>0>

则m=0或一1或一2,

,关于x的一元二次方程(m+l)x2+mx+1=0有实数根，

•••m2-4(m4-1)>0,且m芋-1,

Tn—一2或一3,

•••使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值为-2,

故答案为：一2.

14.【答案】90

【解析】解：连接AC,BD,相交于点0,如图所示，

•：E、F、G、H分别是菱形四边上的中点,

:.EH/BD=FG,EH//BD//FG,

EF=^AC=HG,

四边形EHGF是平行四边形，

•••菱形力BCD中，AC1BD,

EF1EH,

.•・四边形EFGH是矩形,

•••四边形4BCC是菱形，4ABe=60°,

・•・^ABO=30。，

vAC1BD,

・•・Z,AOB=90°,

­­AO=^AB=3,

・••AC—6,

在中，由勾股定理得：OB=7加一。牙=3c,

・•・BD=6A/-3>

VEH=^BD,EF=^AC,

EH=3<3，EF=3,

矩形EFGH的面积=EF-FG=9y/~3cm2-

故答案为：9A/-3.

连接AC、BD,首先判定四边形EFGH的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出AC与BD的值，进

而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可.

本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形EFGH的形状为矩形.

15.【答案】《,一?)

【解析】解：•••4(1,0),B(0,V-3).

AB=J12+(<3)2=2-

.•・从A点到点B所需时=2=4秒，为

如图所示，过点P分别做PE垂直于4轴，PF垂直于y轴，垂足分别为E、F,因':

为PF平行x轴，根据平行线性质可知△DPFfDAO,所以根据相似性质可知，

黑=篙=蒯PF=',同理可得PE，点P在第四象限，

UADA444

3V3

"(4,一丁)•

.•.沿4TBfCTDTA..所需的时间4X4=16秒..••移2015秒和第15秒的位置相同，当P运第15

秒时，可得*=；，

AD4

33

F-1X-

二PE=X：=苧，4-4-

44

答案为：信,一?工

先根据题意求出菱形的边长再根据点P的运动速度求出沿力tBtCtDt4所需要的时间进而

可得出结论.

本题考查是菱形，根据题意得出点P运动一周需的时间是答此题的关键.

16.【答案】解：(1)4%2—8x+1=0,

移项，得4--8x=-1,

即/—2x=-

4

配方得，x2-2x+1=-7+1-

(x-l)2=i

开方，得X一1=±1，

(2)7x(5x+2)=6(5%+2),

移项，得7x(5%+2)—6(5%+2)=0,

(5%4-2)(7%-6)=0,

5%+2=0或7%—6=0,

解得:勺=—|,x2=

(3)3/+5(2%+1)=0,

整理得，3/+10%+5=0,

•・•a=3,b=10,c=5,b2—4ac=102—4x3x5=100—60=40>0,

_-b±Jb2-4ac_-10±/~40,

AX=2a=2x3

-5+xTlO-5-<10

-3-，*2=―§—•

【解析】(1)移项后方程两边都除以4,再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程

的解即可；

(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可;

(3)整理后求出川—4ac的值，再代入公式求出答案即可.

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法

有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

17.【答案】证明：BE//AC,CE//DB,

四边形OBEC是平行四边形，

又••・四边形4BCD是菱形，

•••ACVBD,

•••乙AOB=90°,

二平行四边形OBEC是矩形.

【解析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出乙40B=90。，

根据矩形的判定推出即可.

本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力.

18.【答案】解:设涨价4万元,则销量为(500-40x),利润为(10+4x),

由题意得，(500-40x)x(10+4x)=8000,

整理得，5000+2000x-400x-160x2=8000,

解得:=I，X2=

当与=|时，则涨价10元，销量为：400件；

当%2=当时，则涨价30元，销量为：200件.

答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫.

【解析】设涨价4x元，则销量为(500-40x),利润为(10+4X),再由每月赚8000元,可得方程，

解方程即可.

本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意

分情况讨论思想的应用.

19.【答案】解：(1)设剪成的较短的这段为xczn,较长的这段就为(40—x)cm,由题意，得

令+(竿)2=58,

解得：Xj=12,x2=28,

当x=12时，较长的为40-12=28cm,

当#=28时，较长的为40-28=12<28(舍去).

答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；

(2)李明的说法正确.理由如下：

设剪成的较短的这段为mczn,较长的这段就为(40-m)cm,由题意，得

⑨+(舁产=48,

变形为：m2-40m+416=0,

vA=(-40)2-4X416=-64<0,

•••原方程无实数根，

•・・李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48crn2.

【解析】(1)设剪成的较短的这段为XC7H,较长的这段就为(40-x)on.就可以表示出这两个正方形

的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cHi2建立方程求出其解即可；

(2)设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40-m)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,

根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正

确.

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，

解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键.

20.【答案】解：连接P。，过。作DM1AC于M,

•••四边形4BCD是矩形，

Z.ADC=90°,AB=CD=5,AD=12,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

••・OA=OD,

由勾股定理得：AC=VAD2+DC2=V144+25=13)

OA=OD=6.5,

1i

S^ADC=-xl2x5=-xl3xDM,

r...60

DM——>

SAOD=S3p。4-S〉DPO'

・•・^1AOxPE+ODxPF=/14。xDM,

PE+PF=DM=詈

【解析】连接PO,过。作DM1AC于M,求出4C、DM,根据三角形面积公式得出PE+PF=DM,

即可得出答案.

本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM.

21.【答案】解：(I)、•方程有实数根,

,4=(-4)2—4m=16—4m>0,

Am<4；

(2)v4-x2=4,

5x1+2X2=2(;q+x2)+3%i=2x4+3xx=2,

*,•%]——2,

把=—2代入/—4%4-m=。得：(—2产—4X(—2)4-m=0,

解得：m=-12.

【解析】(1)若一元二次方程有实数根，则根的判别式4=