江苏省姜堰区张甸、港口初级中学2023年数学九年级上册期末考试试题含解析

江苏省姜堰区张甸、港口初级中学2023年数学九上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知关于X的一元二次方程》2—3x+2=0两实数根为玉、%，则玉+%2=（）

A.3B.-3c.1D.-1

2.如图，0c是。。的直径，弦A5LCZ）于点尸，连接BC,BD,则错误结论为（）

A.OF=CFB.AF=BFC.AD=BDD.ZDBC=90°

3.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：

抽取件

501001502005008001000

数

合格频

4288141176448720900

数

估计出售2000件衬衣，其中次品大约是（）

A.50件B.100件C.150件D.200件

4.成语“水中捞月”所描述的事件是（）.

A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定

5.一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球.从该盒子中任意摸出一个球，摸

到黄球的概率是（）

1212

A.—B.-C.-D.一

2335

6.下列事件中，是随机事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和为180°B,经过有交通信号的路口，遇到红灯

C.太阳从东方升起D.任意一个五边形的外角和等于540。

7.点用（一41130。,8530。）关于1轴对称的点的坐标是（）

RB•号)住

8.如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将

PB拉到PB'的位置，测得NPB'C=a（B'C为水平线），测角仪ID的高度为1m,则旗杆PA的高度为（)

1

A.------mB.mC.mD.m

1-sina1+sina1-cosa1+cosa

9.以下五个图形中，是中心对称图形的共有（）

10.在半径为1的。O中，弦AB的长为夜，则弦AB所对的圆周角的度数为（）

A.45°B.60°C.45°或135°D.60°或120°

11.如图是用围棋棋子在6x6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5,1）,若再摆

一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）

B.黑(3,2),白(3,3)

C.黑（3,3）,白（3,1）D.黑（3,1）,白（3,3）

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（—3,6）,5（-9,-3）,以原点。为位似中心，相似比为g,把AA6O缩小,

则点8的对应点B'的坐标是（）

A.（—9,1）或（9,-1）B.（-3,-1）C.（-1,2）D.（一3,-1）或（3,1）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.将二次函数y=-2（x—1产+3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为.

14.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落

在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为

15.抛物线y=*2-4x的对称轴为直线.

16.在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（3,0）,点。的坐标为（0,4）,延长CB交

》轴于点4,作第2个正方形AWGC,延长cg交x轴于点4；作第3个正方形452c20,…按这样的规律进行

下去，第5个正方形的边长为.

17.若代数式5x—5与2*—9的值互为相反数，则*=.

18.在单词aaf/ze/wrics（数学）中任意选择-一个字母，选中字母的概率为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭.如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂

直向上发射，当火箭到达3处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角N/W出=45。，当火箭继续升空到达C处

时，从位于地面N处的雷达站测得此时仰角NANC=30，已知MV=120Am,BC=40km.

（1）求AB的长;

(2)若“长征五号”运载火箭在C处进行“程序转弯”，且NACD=105，求雷达站N到其正上方点。的距离.

20.(8分)解方程：2(x-3)2=x2—9

21.(8分)如图，菱形A8C。的对角线AC和3。交于点O,AB=10,ZABC=60°,求AC和50的长.

22.(10分)如图，抛物线y=x2+%x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；

(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点尸在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SA.B=8,并求出此时尸点的

23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,-1),请解答下列问题:

(1)画出AABC关于x轴对称的M4G，点A的坐标为:

(2)在网格内以点(1,1)为位似中心，把AABQ按相似比2:1放大，得到A4282c2,请画出A&B2c2；若边AC上

任意一点P的坐标为(根,〃)，则两次变换后对应点P2的坐标为.

24.(10分)计算：

(1)2sin30°+cos45°-百tan60°

(2)(73)0-(；)2+tan230°.

25.(12分)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与j

轴交于点C.

(1)求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y<0?

(2)点p是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使AACP面积最大？若存在，求出点尸的坐标；若不

存在，说明理由

(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q,使以A、C、"、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

26.某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和

20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需80()()元.

(1)求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？

(2)若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，

则该校至多购进速滑冰鞋多少双？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】根据根与系数的关系求解即可.

【详解】•••关于x的一元二次方程V—3x+2=0两实数根为王、/，

:.,+巧=—(―3)=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，二次项系数为1,常用以下关系：再、%是方程Y+P尤+q=o的两根时，玉+々=-。

xy-x2=q.

2、A

【分析】分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行分析即可.

【详解】解：TDC是。O直径，弦AB_LCD于点F,

；.AF=BF,AD=BD，ZDBC=90°,

，B、C,D正确；

•.•点F不一定是OC的中点，

.•.A错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

3、D

【分析】求出次品率即可求出次品数量.

…山、”42+88+141+176+448+720+900

［详解］2000X(1----------------------------------------------------->200(#).

50+100+150+200+500+800+1000

故选：D.

【点睛】

本题考查了样本估计总体的统计方法，求出样本的次品率是解答本题的关键.

4、C

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可.

【详解】水中捞月是不可能事件.

故选C.

【点睛】

本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指

在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

5、B

【解析】试题解析：•••盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，

42

，摸到黄球的概率是:

63

故选B.

考点：概率公式.

6、B

【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型.

【详解】A.任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；

B.经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；

C.太阳从东方升起是必然事件；

D.任意一个五边形的外角和等于540。是不可能事件.

故选B.

【点睛】

本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指

在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

7、D

【分析】根据特殊锐角的三角函数值，先确定点M的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标x值不变，y值互为相

反数的特点进行选择即可.

【详解】因为sin30=—,cos30=^->

22

所以-sin30

2

所以点M

（16]

所以关于X轴的对称点为

I22）

故选D.

【点睛】

本题考查的是特殊角三角函数值和关于X轴对称的点的坐标特点，熟练掌握三角函数值是解题的关键.

8、A

PC

【解析】设PA=PB=PB，=x,在RTAPCB仲，根据sina=—，列出方程即可解决问题.

PB'

【详解】设PA=PB=PB，=x,

PC

在RTA.PCB'中，sina=-----，

PB'

x-\

--------=sina,

X

/.x-l=xsina,

(l-$ina)x=l,

1

x=-----------.

1-sina

故选A.

【点睛】

本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型.

9,B

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形，进行判断.

【详解】解：从左起第2、4、5个图形是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】

本题考查了中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形就叫做中心对称图形.

10、C

【解析】试题分析：如图所示，

连接OA、OB,过O作OF_LAB,贝！|AF=FB,ZAOF=ZFOB,

VOA=3,AB=夜，

AF=—-AB=，

22

/.sinZAOF=—,

AO2

，ZAOF=45°,

:.ZAOB=2ZAOF=90°,

.•.ZADB=-ZAOB=45°,

2

.*.ZAEB=180o-45°=135°.

故选C.

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.特殊角的三角函数值.

11、D

【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答.

【详解】如图所示：黑(3,1),白(3,3).

,L

Y

5-<V-

J

_g

♦

0173456

故选D.

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键.

12、D

【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k,位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,把B点的横纵坐标分别乘以1

3

或即可得到点B，的坐标.

3

【详解】解：•.•以原点O为位似中心，相似比为1,把AABO缩小，

3

...点B(-9,-3)的对应点卬的坐标是(-3,-1)或(3,1).

故选D.

【点睛】

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点

的坐标的比等于k或-k.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、y=2(x+l)2—3

【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案.

【详解】解：y=-2(x-l)2+3的顶点坐标为(1,3),

故变换后的抛物线为y=2(x+l)2-3,

故答案为y=2(x+l)2-3

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变，顶点关于原点对称，而开口大

小并没有改变.

14>7

【解析】设树的高度为Xm,由相似可得;="g=二，解得x=7,所以树的高度为7m

262

15、x=l.

【分析】用对称轴公式直接求解.

b-4

【详解】抛物线y=3-4x的对称轴为直线x=-丁=--=1.

2a2

故答案为x=l.

【点睛】

b

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式X=-2是本题的解题关键..

2a

7

16、5x(-)4

【分析】先求出第一个正方形ABCD的边长，再利用△OADs/JjAiA求出第一个正方形Ad。。的边长，再求第三

个正方形边长，得出规律可求出第5个正方形的边长.

【详解】•••点A的坐标为(3,0),点O的坐标为(0,4)

.\OA=3,OD=4,

•**AT>=V32+42=5

■:ZDAB=90°

AZDAO+ZBAAi=90o,

XVZDAO+ZODA=90°，

：.ZODA=ZBAAi

.'.△OAD^ABAiA

OAOD34

----=——即----=-

A》ABHA.B5

A,B=—

'4

A,C=—+5=5x—

144

2

同理可求得A，G=5X(N

14

-1

得出规律，第n个正方形的边长为5x<，7Y

...第5个正方形的边长为5x(：).

【点睛】

本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，此题的关键是根据计算的结果得出规律.

17、2

【解析】由5*—5的值与2丫一9的值互为相反数可知：5x—5+2x—9=0,解此方程即可求得答案.

【详解】由题意可得：5x-5+2x-9=0,移项，得7x=14,系数化为1,得x=2.

【点睛】

本题考查了相反数的性质以及一元一次方程的解法.

2

18、—

11

【分析】由题意可知总共有11个字母，求出字母。的个数，利用概率公式进行求解即可.

【详解】解：共有11个字母，其中。有2个，

2

所以选中字母的概率为R.

2

故答案为：

【点睛】

本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件

m

A的概率P(A)=—.

n

三、解答题(共78分)

19、(1)A3=40V5km；(2)\60km

【分析】（1）设AB为以加，根据题意可用含X的代数式依次表示出4"、AC,AN的长，然后在直角中利用

解直角三角形的知识即可求出x的值，进而可得答案；

（2）由（1）的结果可得CN的长，作DH_LCN,垂足为点H,如图，根据题意易得NDCN和NDNC的度数，设

HN=y,则可用/的代数式表示出C",根据C7/+"N=CN可得关于y的方程，解方程即可求出y的值，进一步即可求

出结果.

【详解】解：（1）设A3为加，

VZAMB=45°,

:.ZABM=45°,

则AM=AB=xkm,

在放AACN中，

VZANC^30°,AC=AB+BC=x+40,AN=AM+MN=x+120,

AAN=AC.tan60°=百AC,

即同40+x）=120+x,

解得：X=405

；•A8=4O6km；

（2）作。”_LCN,垂足为点H,如图，

由（1）可得，AC=40石+40，

VZ/WC=30。，

ACN=80G+80，

VZAC£>=105°,

:.NNCD=45°,

：.CH=DH,

,：ZAND=90°,

...NCA©=60。，

没HN为y,

则DH=CH=y/3y,

:.垂）y+y=806+80,

解得：y=80,

DN=2y=160.

答：雷达站N到其正上方点。的距离为160Am.

【点睛】

本题以“长征五号”遥三运载火箭发射为背景，是解直角三角形的典型应用题，主要考查了解直角三角形的知识，属于

常考题型，正确添加辅助线构造直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键.

20、xi=3,X2=l

【分析】根据平方差公式将等号右边因式分解，再移项并提取公因式，利用因式分解法即可求解.

【详解】解：2(*—3)2=*2—1

2(X-3)2-(X+3)(X-3)=0

(x-3)(2x-6-x-3)=0

Xl=3,X2=l.

【点睛】

本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键.

21、AC=10,BD=l()73

【分析】根据菱形的性质可得R3A8。中，ZABO^ZABD=-ZABC=30°,则可得A0和B0的长，根据AC=2A0,

2

BD=2B0可得AC和BD的长；

【详解】解：

•.•四边形A5C。是菱形，

111

：.ACA.BD,OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,ZABD=-ZABC=30°,

222

在RtAABO中，AB=10,ZAB&-ZABD=30°,

.•.AO」AB=5,—AB=5J3»

22

：.AC=2AO=10,BD=2BO=10^.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，掌握菱形的性质，解直角三角形是解题的关键.

22、(1)y=x2-2x-1；(2)抛物线的对称轴x=L顶点坐标(1,-4)；(1)(1+2行，4)或(J2夜，4)

或(1,-4).

【分析】(1)由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根

为x=-l或x=L然后利用根与系数即可确定b、c的值.

(2)根据SNAB=2,求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标.

【详解】解：(1)1,抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点，

二方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=L

:.-1+1=-b,

-lxl=c,

b=-2,c=-1,

二二次函数解析式是y=x2-2x-l.

(2)*."y=-x2-2x-1=(x-1)2-4,

.•.抛物线的对称轴x=l,顶点坐标(1,-4).

(1)设P的纵坐标为防|,

•SAPAB=2,

gAB«|yp|=2,

：AB=1+1=4,

lyp|=4»

.*.yi>=±4,

把yp=4代入解析式得，4=x2-2x-1,

解得，x=l±20,

把yp=-4代入解析式得，-4=X2-2X-1,

解得，x=l»

...点P在该抛物线上滑动到(1+272»4)或(1-26,4)或(1,-4)时，满足SAPAB=2.

【点睛】

考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；1.二次函数图象上点的坐标特征.

23、(1)图见解析，(2,1)；(2)图见解析，(一2加+3,2〃+3)

【分析】(1)依次作出点A、B、C三点关于x轴的对称点4、①、Ci,再顺次连接即可；根据关于x轴对称的点的坐

标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数写出即可；

（2）根据位似图形的性质作图即可；先求出经过一次变换（关于x轴对称）的点的坐标，再根据关于（I,1）为位似

中心的点的坐标规律：横坐标=-2X（原横坐标-1）+1,纵坐标=-2X（原纵坐标-1）+1,代入化简即可.

【详解】解：（1）MBC如图所示，点4的坐标为（2,1）；

（2）Ag与G如图所示，点P的坐标为（根,〃），则其关于x轴对称的点的坐标是",一〃），关于点（1,1）位似后的

坐标为（一2（加-1）+1,-2（-n-l）+D,即两次变换后对应点外的坐标为：（-26+3,2〃+3）.

故答案为：（-2加+3,2〃+3）.

【点睛】

本题考查了对称变换和位似变换的作图以及对应点的坐标规律探寻，属于常考题型，熟练掌握两种变换作图是解题的

关键.

BQ

24、（1）--2（2）—

23

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可求解；

（2）根据负指数幕、零指数幕及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】（1）2sin30°+cos45°-73tan60°

]x/2

=2x-+3--73x73

22

V2

=l+2_.3

2

=V2.2

2

(2)(TJ)0-(；)-2+tai?30。

=1-4+(立)2

3

1

=-3+—

3

_8

~•

3

【点睛】

此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

24百<一3或々〉1；（2）pf-|,|j（3）2（-5,0）,。2（-1，0），2（2+近,0）,0（2-阮0）

25>（1）y=—x—x+2;

33

【分析】(1)将点A(-3,0),B(1,0)带入y=4好+总+2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又

从图像可以看出x满足什么值时j<0；

(2)设出P点坐标(加，一|•加2-1"机+2),利用割补法将AAC尸面积转化为S..AC=S.%o+S.pco-S.A。，带入

各个三角形面积算法可得出S.MC与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；

(3)分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形

性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.

【详解】解：(1)将A(-3,0),B(1,0)两点带入了="好+历：+2可得：

0=9。-3匕+2

V

0=。+Z?+2

2

a=——

解得：:3

b一

[3

24

,二次函数解析式为y=-§x-1%+2・

由图像可知，当x<-3或x>l时y<0；

24

综上：二次函数解析式为y=-§x-]X+2,当x<-3或x>l时y<0；

(2)设点P坐标为(根，一g根2-g〃?+2),如图连接PO,作PMLx轴于M,PNLy轴于N.

2，4、

PM=--m~--m+2,PN=-m,AO=3.

33

24

当x=0时，y=xOx0+2=2,所以OC=2

33

S.PAC=S.PAO+S.pco—S.ACO=万A°.PA/+—C°.PN——A°.C°

4\]j

m+