2023-2024学年山东省青岛市高一年级上册期末数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年山东省青岛市高一上册期末数学质量检测试题

一、单选题

1.已知集合厶={1,2,3,4},3={2,4,6,8},。={3,6,9},则（AuB）cC的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】C

【分析】运用集合的交并集运算计算（Ac/8）cC,再判断元素个数.

【详解】（A=8）cC={3,6},元素个数为2,

故选：C.

2.下述正确的是（）

A.若。为第四象限角，贝iJsin6>0

TT

B.若cos9=0,则8=万

C.若6的终边为第三象限平分线，则tan9=-1

TT

D.“6=E+一,左£Z”是“sin6=cos，”的充要条件

4

【正确答案】D

【分析】对于A,利用三角函数定义即可判断；对于B,求出。的值即可判断；对于C,算

出e的范围即可判断；对于D,利用充分，必要的定义进行判断即可

【详解】对于A,若。为第四象限角，根据三角函数定义可得sin8<0,故不正确；

TT

对于B,若cos9=0,则6=彳+而/€2,故不正确；

2

57r

对于C,若，的终边为第三象限平分线，则，=^+2E,%£Z,

4

此时tan6=l,故不正确；

对于D,由。=也+四,keZ可得把一=tan®=l,即sin6=cos6,满足充分性；

4cos。

■/j

由$山夕=8$。可得12116=*=1,所以6=E+二,％eZ,满足必要性，故正确

COS04

故选：D

3.函数y=Jkgx的定义域是

A.（0,IJB.（0,+8）

C.(l,+8)D.[1,冋

【正确答案】D

【详解】由题意知log/>0,..x>\,则函数丫=匹/的定义域是［1,伊).

故选D.

2

4.若函数〃x)=a-応］■为奇函数，则”=()

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】B

【分析】根据奇函数的性质，/(0)=0,解得。=1,验证为奇函数.

2

【详解】因为函数/(x)=a-］节为奇函数，且xeR,所以/(0)=0,a=L

7—19~x—I-1

验证当a=l时，/(A-)=1--^-=|^|)〃-)=記=-怎满足题意，

乙>丄4I丄乙I丄4I丄

故选：B

5.若丄<?<(),则下列不等式中正确的是()

ab

A.a<bB.a2b>ab2

_।I.-a+b

C.k/>-bD.a<------

112

【正确答案】B

【分析】根据丄<,<0可得：b<a<0,然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解.

ab

【详解】因为丄<，<0,所以故选项A错误；

ab

因为所以必>0,则有/。,〃从，故选项B正确；

因为人<。<(),所以一〃<4,又因为。<0,所以同=-。，则—。二时〈一。，故选项C错误;

因为所以a+A<a+a,两边同时除以2可得：号<a,故选项D错误，

故选.B

6.已知函数则()

A.f(x)的最小正周期为2n

B.点像,0)是图象的一个对称中心

C.直线“强是/(力图象的一条对称轴

D.在上号)上单调递增

【正确答案】D

【分析】利用正弦函数的性质即可逐一检验

【详解】对于A,由可得周期7=年=

九，故A不正确;

2

71

对于B,当x=4时，2x--=-SIN2JC=0.

666,46r

则点仁，oj不是“X)图象的一个对称中心，故B不正确;

对于C,当》=工时，2X-2=0,sin2x-571=0^+1,

126I6丿

则直线X=专不是“X)图象的一条对称轴，故C不正确;

71兀,八71兀兀

对于D,当xw时，2x--e

6

上单调递增，故D正确,

故选：D

7.若定义在R上的函数/(x)满足：当NV：时，/(-sinx)+2/(sinx)=3siiucosx,且

/(x+2)=/(x),则/(外)

A.上n1236c36

B.—C.D.—

2525255

【正确答案】C

【分析】利用解方程组的方法求出函数解析式，根据周期即可求得结果.

【详解】当NW]时，cosx=Vl-sin2x

则/(-sinx)+2/(sinx)=3sinx\Jl-sin2x»

☆f=sinx,则。(一力+2/(。=3Tl—产，问-1』,

用T换乙得/«)+2/(-/)=-3凶-』,

联立解得了⑺=3/族万，?e[-l,l]

所以，f(x)=3xjl—公，

〃x+2)=小)，.丿⑴是以2为周期的函数.

故选：c

8.已知函数〃X),对任意KM€(1,40。)且工产%2,々/(与)+药/(々)<为/(5)+々/(电)恒成

-1

立，且/(x+1)是偶函数，设。=,b=/(log34),c=/(log33),则a,尻c的大小关

系为(

A.b<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【正确答案】A

【分析】根据函数的单调性的定义，函数解析式变换，函数的对称性即可求解.

【详解】因为当不，/,石*%,』_/1(再)+石/仁)〈石f(石)

所以[/a)-/(w)](々-xi)<o,

所以“办)一”天)与々一百异号，

所以芍)与%-马同号,

所以“X)在(l,y)是增函数，

又/(X+1)是偶函数，所以/(X)关于直线X=1轴对称，

«=/[log3^=/(-log32)=/[2-(-log32)]=/(2+log32),

ft=/(log,4),c=/(log,3')=/(-1)=/(3)

4

又log34-(2+log32)=log3--2=log.,2-2<0,

所以Iog34<2+log32<3

所以/dog34)</(2+log32)</(3)

所以£><a<c.

故选：A.

二、多选题

9.已知sinx=|,xe（0,］）,则（）

【正确答案】AC

【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.

3兀-4

【详解】sinx=-,xe0,^,则cosx=Jl-sin?x=­

525

3

sin（兀-x）=sinx=g,故A正确；

4

COS（X-7C）=-COSX=--,故B错误;

4

cosx=-,故C正确；

3

=-sinx=--,故D错误;

故选：AC.

10.已知函数/(x)=x。，则()

A.若a=3,则函数“力为偶函数

B.若a=T,则函数“同在(0,+功上单调递减

C.若［=；，则函数“X)的定义域［0,+8)

D.若a=；,则函数y=/(x)-co&x只有一个零点

【正确答案】BCD

【分析】对于A,利用奇偶函数的定义进行判断即可；对于B,利用事函数的性质即可判断;

对于C,利用根号内大于等于。即可判断；对于D,利用零点存在定理即可判断

【详解】对于A,若。=3,则〃x)=Y,定义域为R,

所以f(-x)=(-x)3=-1=_/(力，所以/(x)为奇函数，故错误;

对于B,若a=—l,则/（耳=/,

利用慕函数的性质可得〃x)=/在(0,+司上单调递减，故正确;

对于C,若。=不，贝“/(%)=/=69

2

此时函数的定义域为[0,+。)，故正确；

11

对于D,右a=],则/(%)=/=«,

设g(x)=>=y/x-cosx,

当时，«-cosx>J三-1>0,故此时不会有零点；

2V2

当04x4^时，y=«单调递增，丫=8屮单调递减，所以g(x)单调递增,

且g(。)=T<。，g/-喈>0,

由零点存在定理可得在0胃仅有一个零点，

综上，函数y=/(x)-cosx只有•一个零点，故正确

故选：BCD

11.下述正确的是()

A.若xeR,则x(10-x)的最大值是25

B.若x>0,则3+1的最大值是一3

X

C.若则siar+二的最小值是4

k2」sinx

若可呜924

D.则急+0一嬴的最小值是12

【正确答案】ABD

【分析】根据基本不等式判断各选项.

【详解】选项A,x40或X210时，x(10-x)<0,因此最大值在0<x<10时取得，此时

X(10-X)<(A+1^~V)2=25,当且仅当=5时等号成立，A正确；

2

_y-□_Y_4444

选项B,4=-(x+-)+l,由于x>0,x+->4,当且仅当》=—即x=2时等号成

XXXX

立，所以±工14-4+1=-3,最大值为-3,B正确；

X

TT44

选项C,XG(0,—],0<sinx<l,sinx+------>4,当且仅当sinx=------即sinx=2时等号

2sinxsinx

成立，由于OvsinxKl等号不成立，C错误;

选项D,则0<sinx<l,0<cosx<l,

9249114

•。+---5-----------=•)+-+2------------

sm~xcos-xcosxsin-xcos-xcosxcosx

=(sin2x+cos2x)(—+—^―)+(-----2)2-4,

sin-xcos-xcosx

.2、/91、s9cossin2xJ9cossin2x1工

(zsirr2x+cosx)(——+———)=10+——--+——>10+2J——---------=16，

sinxcosxsinxcosxVsin~xcosx

当且仅当竺&=包H，即cosx=1时等号成立，

sin-xcos-x2

(--------2)~在---=2即cosx=—时，取得最小值0,

cosxcosx2

1jr924

综上，cosx=:即x=£时，三+一、-------取得最小值16+0-4=12,D正确.

23smxcosxcosx

故选：ABD.

12.已知函数〃x)的定义域为(0,+e),/(力+八月=/(盯)+1,当x>l时，/(%)>1,则

()

A."1)=1B./(/(2))<1

C./(x)是增函数D.当0cx<1时，/(%)<1

【正确答案】ACD

【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证

明；对D：根据题意结合函数单调性分析运算.

【详解】对A：令x=y=l,可得/(1)+/(1)=/(1)+1,解得=A正确：

对B：,当*>1时,/(%)>1,则/⑵>1,

.-./(/(2))>1,B错误；

/X/\

+1

对C：令彳=眞>0丿=强>。，可得,"%)+/匹=/(x2)>即〃xJ-〃X2)=l-fX,

玉I不丿\X\J

设X2"＞0,则上•＞］，可得了上＞1,

则〃珀-"々）=1寸强＜0,即〃百）＜/仁）,

1%丿

故函数/(X)在(o,+8)内单调递增，C正确;

对D：：函数“X)在(0,田)内单调递增,

故当0<x<l时，/(x)</(l)=l,D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.计算：igioo-(27户=----------

【正确答案】-1

【分析】根据对数的定义,基的运算法则计算.

5235

【详解】lgl00-(27)=1g10-(3)=2-3=-1-

故-1.

14.已知。为坐标原点，点P的初始位置坐标为等)，线段OP绕点。顺时针转动90后，

点户所在位置的坐标为.

【正确答案】

【分析】设点P在角a的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得cosa=1,sina=Y3，再

22

根据题意可知转动后点户在角夕-90的终边上，且0尸=1,根据诱导公式求出即可；

【详解】设点尸在角a的终边上，又員，则cosc=g,sina=#,|OP|=l,

线段O尸绕点。顺时针转动90后，此时点尸在角a-90的终边上，且|OR=1,

所以此时点P的横坐标为cos(a-90)=sina=¥，纵坐标为sin(a-90)=-cosa=-；,

即尸点坐标为弓

故性T

15.若tana=2,则sin,a+sinacosa-cos4a=.

【正确答案】1

【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

【详解】由tana=2可得

sin4a+sinacosa-cos4a=kin2a-cos2a)(sin2a+cos%)+sinacosa

22

.22.sin«-cosa+sinacos^ztan%-1+tana,

=sin"a-cos~a+sinacosa=-----------；-------------------=----------5----------=1.

sin2+cos~atan"a+1

故1

16.已知函数〃x）=|^17,若。£（一兀,兀）J2r-8sin（e-g）+3<-］在，£（0,中»）时恒

成立，则。的取值范围是.

【正确答案】卜也2

【分析】先利用复合函数的单调性判断了（X）是单调递减函数且7（1）=-；,则题意可转化成

r-4sin,-］［r+l>0,，€（-兀,兀）在1€（0,+00）时恒成立，设g（f）=产-4sin（®-］）+l,对

称轴为f=2sin（。-1）,分两种情况即可求解

【详解】因为/（》）=2謂-V=点4一1

因为y=2+3，是单调递增函数，且y=2+3、«2,+8）,

所以根据复合函数的单调性性质可得f（x）是单调递减函数，而〃l）=-g

所以/2f2_8sinR-g）+3<-（=./■⑴,。«-兀,兀）在fe（0,E）时恒成立可转化成

2/2—8sin［。—+3>1,9e（―兀,兀）在te（0,+<x>）时恒成立，

可整理得尸一4$沦（6»-］>+1>°，6）€（-兀，兀）在.€（°，+00）时恒成立，

设g（f）=/_4sin（e_m:+l

当一4sin（e_1）*0时，8（。=尸_45m（9_5b+1的对称轴为.=2.11（9_1）40,

此时,当f>0,g（r）>g⑼=1>0恒成立，满足题意，

所以由Tsin（e-］）WO可得sin（e-］）40,所以一TT+2E442版/eZ,

2TC

糸军得一一7t+2k7i<0<-+2knkeZ

339f

因为6右(-兀,兀)，所以一与

当一4而1_?<0,g(r)=*_4sin,-W)r+l的对称轴为f=2sin(e_?>0,

贝”=6府(6_1卜4<0,解得0<sin(e_g)<g,

所以2航<&--<—+2kit或多+2An<0--<n+2kit,keZ,

3663

jrTT77r4兀

所以一+2E<6<—+2kn或一+2kn<0<—+2kn,keZ,

3263

因为0€(-兀,兀)，所以或—当<。<一=,

3263

综上所述，夕的取值范围是

关键点睛：这道题得到“-4sin[e-g）+l>0,ee（f,7r）在r«0,一）时恒成立后，关键是

讨论对称轴f=2sin（嗯）是否在/«0,冋内，

四、解答题

17.已知全集为R,M=[—2,2],N={XD4X42}.

⑴求M低N）；

⑵若C={H—2a4x4a},且Cu"=C,求。的取值范围.

【正确答案】24X<0}

⑵[2,同

【分析】（1）利用补集和交集的定义即可求解；

（2）由C=M=C可得M=C,然后列出不等式即可.

【详解】（1）因为M=J2,2],/V={A|0<X<2},

所以4N={RX<0或X>2},

所以Mc（4N）={d-2Wx<0}.

(2)因为=所以MqC,

a>\-2a

所以<a>2,解得

\-2a<-2

故。的取值范围为[2,4w).

18.已知函数/(x)=*2+(1-m)X-〃2.

⑴若VxwRJ(x)>—l,求机的取值范围；

(2)若机<0,解关于x的不等式f(x)>0.

【正确答案】(1)(-3,1)

(2)答案见详解

【分析】(1)根据一元二次不等式在R上恒成立问题运算求解；

(2)分类讨论两根大小解一元二次不等式.

【详解】(1)由/(力=/+(l-m)x-加>一1,可得》2+(1-间x-，〃+l>0对VxeR恒成立,

则A=(l-w)2-4(-ZM+1)=nr+2m-3<0,解得一3<〃？<1,

故”的取值范围(-3,1).

(2)由题意可得：/(x)=x2+(l-»7)x-m=(x+l)(x-/?7),

令〃x)=0,可得产-1或工=机，

对于不等式/(x)>0,则有：

当“<-1时，不等式的解集为(—>,m)U(-1,啓)；

当,”=-1时，不等式的解集为｛x|x#—1｝；

当-1<加<0时，不等式的解集为(y,-l)U(/n,心).

19.已知函数/(》)=$出(2》+9)-1,-5<9<],1是/(村的一个零点.

⑴求夕;

⑵若xe"当时，方程"x）=m有解，求实数〃，的范围.

【正确答案】（1）-2

O

-3-

⑵一］,0

【分析】⑴将零点代入计算得夕=4+2EkZ,结合_［<夕<［得夕=_g

6226

⑵先算出2x-g当，结合正弦函数性质求出进一步得

61.66」<6JL2J

,、「3-

f（x）e-1,0,由题意可知参数范围即为函数值域.

【详解】⑴由题意/（"=sin停+租卜=0,

则夕=_E+2ht,Z:eZ,

6

兀717

------<（0<—,：.（0=一

2------2（

(2)由(1)得〃x)=sin

xe。，5,则2X一工《Tt5lt

.z」06,~6

।13

一剖，则川加--,0

,、「3一

方程/（X）=W有解，则，~p0.

20.已知函数/■（耳=108〃（2犬-4）+108“（5-*）（4>0且。*1）的图象过点2（3,—2）.

⑴求“的值及的定义域；

「9

⑵求“X）在3,-上的最大值；

⑶若2"=3"=（I<f<3）,比较/（2"）与43〃）的大小.

【正确答案】（1）“=；,定义域为（2,5）；

（2）最大值是-log?g,

⑶/（2〃?）</（3〃）.

【分析】（1）由/（3）=-2求得a,由对数函数的定义得定义域;

(2)函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；

(3)指数式改写为对数式，然后比较2，%3〃的大小，并由已知得出2肛3〃的范围，在此范

围内由f(x)的单调性得大小关系.

【详解】(1)由己知〃3)=log,,2+log,,2=-2,〃=

(2x-4>0

八=2<x<5,定义域为(2,5)；

[c5-x>0

(2)/(X)=logi(2%-4)+log1(5-x)=logj(2x-4)(5-x)=log1(-2x2+14x-20),

2222

.J9057c99

-2f+14x-20=-2(x--)2+-,3<x<-,贝！]—4-2(x--)2+-<-,

2222

9)5Q

所以logiq41ogi(-2x+14x-20)41og|7，x=-时取等号，

222222

最大值为log5=TogA；

2ZZ

(3)2"=3"=f(|<f<3),(竝产=(两3』，

2m=logof,3〃=log呑f,

&=册,%=駆>酶=&>1,

所以26>3〃，<3,则机=log2,〈log??,2/7：<21og23,

77

V27>34,所以7>41og,3,log3<-,即2m<不，

242

..5_..5.125.__

n=log,t>log,-,3">3log,-=log,—>log,9=2，

2Zo

所以2，〃e(2,'1),3〃e(2,g),

•..“=-2/+4X-20在(2,白上是增函数，又产咋丄“在">0时是减函数，

22

7

.../⑴在已射上是减函数，

/.f(2ni)<f(3n).

21.2022年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可

爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了

不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某

摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内(以30天记)每件的销售价格P(x)

（单位：百元）与时间x（单位：天）的函数关系式近似满足P（X）=I+：a为正常数）,

日销售量Q（x）（件）与时间x的部分数据如下表所示：

X（天）510152530

0(x)(件)115120125115110

已知第10天的日销售收入为132百元.

⑴求％的值；

（2）给出以下四种函数模型：

①Q（x）=ax+b,②Q（x）=a|x-15|+Z>,③Q（x）=aB,④Q（x）=a-log〃x.

请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量。（x）（单位：件）与

时间X（天）的变化关系，并求出该函数解析式；

（3）求该吉祥物摆件的日销售收入/（x）（14x430,xeN*）（单位：百元）的最小值.

【正确答案】（1）&=1

（2）选②，e（x）=125-|x-15|（l<x<30,xeN+）.

（3）132百元

【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为132元，代入即可得解；

（2）据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，

④中的函数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即可得解；

x+^^+lll,l<x<15,xeN+,

（3）由（2）可得〃x）=P（x）-Q（x）=》,分类讨论求最小值

------x+139,15<x<30,xeN.

.x+

即可.

【详解】⑴由题意得P（IO）01O）=[1+厶）x120=132,解得％=1.

（2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，

③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即Q（x）=4x-15|+〃.

由题表可得Q(10)=120,2(30)=110,

15a+Z>=110,a=-\,

即解得

5a+b=120,6=125,

故Q(x)=125-k-15](14x430,xeN“).

....fl10+x,l<x<15,xeN,.,

(3)由⑵知Qx=125-x-15=z

[140-x,15<x<30,xeN+,

工+^^+111,1<x<15,xeN+,

.•.〃x)=P(x).Q(x)="

-------x+139,154x430,xeN*.

.x

当l«x<15时，丫=%+邛在区间[1,J丽)上单调递减，在区间[«记,15)上单调递增,

...当x=10时，/(10)=132,当x=U时，"11)=132,

.•.当x=10,ll时，/(x)取得最小值，且〃x)1rtli=132；

当15WXK30时，)，=粵14-0工是单调递减的，

x

.•.当x=3O时,/(x)取得最小值，且“X)二畳.

综上所述，当x=10,ll时，f(x)取得最小值，且〃力而0=132.

故该商品的日销售收入/(x)的最小值为132百元.

Y*|t_1

22.已知函数/'(x)=x-hirTg(x)=e*-x-l,对r>0且....->0,恒有