2023-2024学年广东省广州市高一年级上册期末数学模拟试题2（含答案）

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合知=卜产=1},则“的真子集个数是()

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】A

【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.

【详解】因为炉=1,所以x=±l,即出={1,-1},集合中有两个元素，所以M的真子集个

数是22-1=3.

故选：A

2.命题“\7%€[0,+8),/+*20”的否定是()

A.Vxe[0,+oo),x2+x<0B.Vxe(-oo,0),x2+x>0

22

C.3x()e[0,+OO),JC0+x()<0D.3x0e[0,+oo),JC0+x0>0

【正确答案】C

【分析】全称命题的否定形式，V变三，^+*20变％2+与<0即可.

22

【详解】命题“Yxe[0,-Ho),x+x>0”为全称命题，则命题的否定为七°w[0,+<»),x0+$<0,

故选：C.

本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

51

3.在,V1BC中，cosA=-芋，tanB=-,则tan(A-3)=()

A.—2B.——C.gD.2

【正确答案】A

根据已知条件计算出tanA的值，然后根据两角差的正切公式结合tanAtanB的值计算出

tan(A-B)的值.

【详解】因为cosA=-*且AG(0,T),所以A=,,所以tanA=—l,

tanA-tan8

所以tan(4-8)

1+tanAtanB../

故选：A.

关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的

熟练运用.

4.已知a=2%b=sin2,c=log031.3,则()

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

【正确答案】D

根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把4Ac与0和1比较后可得.

【详解】因为2°6>1,0<sin2<l,log031.3<0,所以cvbca.

故选：D.

5.已知函数/*)的图象与函数y=3、的图象关于直线》=x对称，函数g(x)是奇函数，且当

x>0时，g(x)=f(x)-x,贝iJg(-9)=()

A.—6B.6C.~7D.7

【正确答案】D

【分析】先求出/(x)=logsx,再求出g(9)=-7即得解.

【详解】由已知，函数y=.f(x)与函数)，=3,互为反函数，U!|/(x)=log3x.

由题设，当x>0时，^(x)=log3x-x,则g(9)=k)g39-9=2-9=-7.

因为g(x)为奇函数，所以g(-9)=-g(9)=7.

故选：D.

6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一

个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sina=sin£,则a与2的终边相同；④若

cos6<0,。是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】A

【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.

【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；

对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的

大小无关，②正确；

对于③，若sina=sin〃，则a与夕的终边相同，或关于N轴对称，③错误；

对于④，若cosOvO,则。是第二或第三象限的角，或终边在x负半轴上，④错误:

综上，其中正确命题是②，只有1个.

故选：A

本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.

7.函数/（》）=31燥2乂一1的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】C

【分析】所求零点个数等价于y=Mg2M与y=图象的交点个数，作出函数图象，由数

形结合即可判断.

【详解】函数〃力=31隆2%|-1的零点即31皿|-1=0=>腿2n的解，即

尸卩暇耳与〉=］［图象的交点，如图所示,

从函数图象可知，yTlog?可与y=有两个交点.

故选：C

8.若函数"x）=sin"-£）（xe［（）,句,0>0）的图象与x轴有交点,且值域加0一且收）,

则。的取值范围是（）

144

A•另寸B.m2］

C.D.1

43412

【正确答案】D

【分析】由函数/（x）有零点，可求得由函数f（x）的值域“啞［-咚,+oo）可求得

«<-,综合二者即可得到。的取值范围.

12

【详解】定义在［0,句上的函数y=sin,x-?,0>0）,

则（vx-?e-三3兀嗫,由函数/（X）有零点，所以解得切2；；

由函数“X）的值域-#，+8，所以如与，解得。4晟；

119-

综上，。的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9.已知x,yCR,且丄<丄<0,则（）

xy

VX

A.x-y>0B.sinx-siny>0C.2r-2v>0D.-+->2

xy

【正确答案】ACD

【分析】由不等式的性质得出x>y>0,再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本

不等式即可求解.

【详解】因为X,yGR,且丄<丄<0,

xy

---=——-<0且x<0,y<0,y<x<0,

xyxy

A,由题意可得x-y>0,故A正确；

B,因为正弦函数是周期函数，仅有y<x<0,不能得出sinx-siny>0,故B错误；

C,由y<x<0,则2y<2］，即2*-2>>0,故C正确；

D,因为y<x<0,则上>0,2>0,即工+土口三=2,

Xyxy\Xy

Xv

当且仅当一=上，即X=）'取等号，又因为）YX<0,

yx

所以』+土>2,故D正确.

xy

故选：ACD

10.下列函数中，最小正周期为爲的有（）

D.y=cos|x|

【正确答案】AB

【分析】逐项分析即得.

【详解】对于A,y=|cosx|的最小正周期为万，故A正确；

对于B,y=sin（2x+。的最小正周期为言=万，故B正确;

对于C,y=tan（2x-?）的最小正周期为故C错误；

对于D,y=cos|x|=cosx的最小正周期为2万，故D错误.

故选：AB.

11.下列各式正确的是（）

A.设。>0,则j旷二於

81a.3分

B.已知3。+人=1,则=上-=3

3a

C.若108.2=丸108.5=〃，则。2加+”=20

11…

------T+------V=1g3

D-log那log/

【正确答案】ABC

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.

【详解】对于A,/:匸=~^=T=普=2=a，,故A对;

ya-a34?a6

Q1<?QZ）

对于B,"之=土=_=33。+〃=3,故B对；

3"3”

对于C,a'"=2,a"=5,a2m+n=（am^a"=20,故C对；

+=+=,o

“工n~^—^-r-^r^-7g94+log35=log32+log35=log310

对于D，］o。-lo。-嗚9唸3，故口错・

6g6q

475J

故选：ABC.

12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政

全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每

一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针

方向每旋转一周用时120秒，当/=0,盛水筒”位于点6(3,-3后)，经过r秒后运动到点

P(x,y),点尸的纵坐标满足y=f(r)=Hsin(cN+*)(t>0,(v>0,则下列叙述

正确的是()

A.筒车转动的角速度0=2

B.当筒车旋转100秒时，盛水筒”对应的点P的纵坐标为-2

C.当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点庶的水平距离为6

D.筒车在(0,60］秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6

【正确答案】ACD

【分析1根据题意可知周期为120秒，进而可求。，根据4(3,-36)可求解夕=-三，进而

得了⑺=6sin(S，-外，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.

Vo(J5)

【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以3=盘=义，故A正

12060

确；

对于B,因为当f=0时，盛水筒”位于点《(3,-36)，所以R=曲行而=6,

/o

所以有/(0)=6sine=_3G=sine=_-^-,

TTIT

因为lel<5，所以e=-Q，

乙D

即/⑺=6sin倭―外，

16UJ)

所以川00)=6sin(*xl00、)=6si吟=6X,S=-3G,故B错误；

对于C,由B可知：盛水筒M的纵坐标为-3石，设它的横坐标为x,

所以有.G+(-3回=6=>x=±3，

因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒〃在第三象限，

故x=-3,盛水筒〃和初始点庶的水平距离为3-(-3)=6,故C正确；

对于D,因为aW=x=50e(0,60],

所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到X轴的距离的最大值为6,故D正

确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知x>0,y>o,且x+4y=l,则丄+丄的最小值是________.

x>

【正确答案】9

+丄=卩+”1=仕+丄卜+4加5+也+±

【分析】再根据基本不等式求解.

yy)(%y丿工y

【详解】Q-+-=f-+-U+丄(x+4^)=5+—4--

Xyy)y)xy

又因为x>0丿>0,曳>0,土>0

xy

由基本不等式得竺+222」"•二=4,当且仅当曳=与并且x+4y=l

xy丫xyxy

所以y='>0，x=:>。，所以5+“+土》9,即丄+丄的最小值为9.

63xyxy

故9

14.函数y=〃x)的表达式为f(x)=2，>；，若〃X)>1，则实数X的取值集合是

【正确答案】{x|x>-2}

【分析】分类讨论X41和x>l不同条件下/(另>1,即可得到实数x的取值集合.

【详解】解：由题意

在〃X)={

当时，/(x)=3+x,

当〃x)>l时，解得：—2<x41

当x>l时，/(%)=2\

当〃x)>l时，解得:x>l

综上，x>-2

满足“X)>1的实数X的取值集合是{x|x>-2}

故答案为.{x|x>—2}

15.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为。，经过r天后体

4

积V与天数/的关系式为：V=a-ck,.已知新丸经过50天后，体积变为］4.若一个新丸

Q

体积变为捺。，则需经过的天数为.

【正确答案】75

1

【分析】由题意，先算出由此可算出一个新丸体积变为捺。需经过的天数.

【详解】由已知，得，=a-e，,

1

Q

设经过。天后，一个新丸体积变为白明

Q

则一a=a-e-fa|,

故75.

16.已知)可(x)是定义在R上的奇函数，满足〃x+l)=〃x-2),有下列说法:

3

①户f(x)的图象关于直线广:对称；

②的图象关于点(|，o)对称；

③yj(x)在区间［0,6］上至少有5个零点；

④若［。』上单调递增，则在区间［2021,2022］上单调递增.

其中所有正确说法的序号为.

【正确答案】②③④

【分析】求得函数y可'(X)的图象关于点弓可对称判断①②；求得)可(X)在区间［0,6］上零

点个数判断③；求得)可(可在区间［2021,2022］上的单调性判断④

【详解】因为/(x+l)=/(x—2),所以/(x+3)=/(x),

故函数/(x)是周期为3的周期函数，又丫寸(幻是定义在R上的奇函数，

则f(x+3)=/(x)=-/(-x),所以/(3+x)+/(-x)=0,

故函数y=/(x)的图象关于点［|,o1对称，故①错误，②正确；

由题意可知,/(6)=/(3)=/(0)=0,因为/(x)=/(x+3)=-/(-x),

令可得/卜(Ml｝即/图—图，

所以呜卜。，从而狽=同=。，

故函数y寸(X)在区间［0,6］上至少有5个零点，故③正确；

因为2021=3x674-1,2022=3x674,

且函数/(x)在区间OH上单调递增，则函数/(x)在区间［-以)］上单调递增，

故函数/W在区间［2021,2022］上也单调递增，故④正确.

故②③©

四、解答题

17.设°=R,A=|x|x2-4x+340},3=[x<o},C=1x|a<x<a+l,«e

(1)分别求AcBAu&B)

(2)若BC=C,求实数。的取值范围

【正确答案】⑴AB={x\2<x<3}；4uQI={x|x43或x"}

(2)ae(2,3)

【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；

（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.

【详解】（1）解：解不等式可得A={X|X2-4X+340}={X|14X43},

3=卜三<0}={x[2<x<4},

所以AB-{x|2<x<3},q,3={x|x<2或xN4},A孰8=卜,43或xN4}；

（2）解：由8C=C可得CqB,且C关0,

[a>2/、

所以a+l<4'解得2<a<3,即aw（2,3）.

18.在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，点位于角a的终边上.

（1）求sine和cos（；-a）的值：

⑵若万），求函数/（x）=tan（x-夕）的定义域和单调递增区间.

【正确答案】⑴sina=j8s仔-4『

(2)定义域1x|x+k/r,kGZ|,单调递增区间(——+k;r,—+k7r\,keZ

【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解sina和cos3一。

的值；

(2)求解角a,然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可.

【详解】⑴•••点P(G，T位于角a的终边上，.・.sina=-；,cosa=当，

(71、冗.4.血百加1布一&

/.cos----a=cos—cosa+sm—sina=——x------------x—=-----------.

(4丿4422224

(2)aw(一肛乃),sina="1,cosa=手,

:.a=--,所以/(x)=tan［x+%J

兀冗乃

x+—H-+Z4，kcZ,「.xH一■I-kjr,kEZ

623

所以函数的定义域为{x|xw5+版■/ez}

TT7T7TZ77"7T

令---Fkjt<Xd<Fk7V,攵£Z,解得----Fk兀<X<一+Z£Z

26233

所以函数的单调递增区间(-g+丘，?+•)«eZ

19.已知函数/。)=6奩(。力为常数且。>0,。=1)的图象经过点A(l,8),8(3,32)

(1)试求凡6的值；

(2)若不等式(丄)*+(1)*-〃栏0在xe(YO,l［时恒成立，求实数"?的取值范围.

ab

【正确答案】(1)“=2,6=4；(2)(-%；.

【分析】(1)利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得4,6的值.

(2)将原不等式分离常数加，利用函数的单调性，求出机的取值范围.

【详解】(1)由于函数/(X)图像经过A(l,8),8(3,32),所以°3力=32,解得〃=2力=4,

所以〃x)=42=2.2.

(2)原不等式+为即机+(；)在xe(_8,l］时

恒成立，而6)+(；)在xe(-oo,l］时单调递减，故在x=l时(£|+(；)有最小值为

出‘+(；)’=%故屋|.所以实数机的取值范围是18卷

本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数

的单调性以及最值，属于中档题.

20.已知函数/(x)=sin(x-&)cosx+cos2x一■

64

(1)求函数，(x)的最小正周期和单调区间；

JT

(2)求函数f(x)在[0円上的值域.

2

77TTTT/TT

【正确答案】(1)7=万，递增区间为伙〜。，版■十勺次EZ,递减区间伙乃十?,呪+*],荘Z

3663

(2)【_J，W

42

【分析】整理函数的解析式可得./(DTinQ+r)

(1)由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.

⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为一；，；.

J3.121G.121

【详解】46=——S1IU——COSXcosx+cosx——=——sinx-cosx+—cos'x——

224224

73.-11+cos2x111G.与1。、

=——sin2x+--------------------=———sin2x+—coszx

42242\227

斗⑪+斎.

(1)T=7T,

递增区间满足：2kjt-^<2%+-^<+eZ),

47F

据此可得，单调递增区间为k兀-q,k兀+工MeZ,

递减区间满足：2左兀+]W2%+^<2左九+m(攵GZ),

TT2乃

据此可得，单调递减区间为++—、keZ.

_63_

,、八万]八4「477rl.(「1.

(2)-VG0,—,Z.XH—£一,—,sin2x+—€—,1.

L2]6[66」(6丿2」

.1/吟「1「

2I6丿L42」

・••/(x)的值域为一圣.

本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

21.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降

低物流成本，已知购买X台机器人的总成本p(x)=+X+150万元.

600

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排，"人将邮件放在机器人上，机器人将邮件

送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量

，8

4(M=•百""60一'")'1'""30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为

480,机>30

1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数

量最多可减少多少？

【正确答案】(1)300台；(2)90人.

(1)每台机器人的平均成本为丫=?区，化简后利用基本不等式求最小值；(2)由(1)

X

可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值

求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.

【详解】(1)由总成本p(x)=+x+150,

600

可得每台机器人的平均成本p(x)為'+"+1501150

y=--=---------=--X+--r1

当且仅当扁=子,即700时，等号成立,

••・若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.

(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为:

当14%430时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160/M2+9600w

当〃?=30时，日平均分拣量有最大值.

当m>30时，日平均分拣量为48()x3(X)=144()(X)

A300台机器人的日平均分拣量的最大值为件.

若传统人工分拣件，则需要人数为14瑞40300=120(人).

，日平均分拣量达最大值时，

用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120-30=90(人).

关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最

关键的一点时会求300〃(加)的最大值.

22.已知函数/(x)=ln(x+a)(aeR)的图象过点(1,0),g(x)=x2-2eM.

(I)求函数，(x)的解析式；

(2)若函数y=f(x)+ln(