黑龙江省哈尔滨市第七十二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市第七十二中学2023-2024学年九年级上学

期月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.倒数是2的数是（）.

A.—2B.2C.!D.—

22

3

2.已知：RtZXABC中，ZC=9O°,cosA=-,钻=15,则AC的长是（）.

A.3B.6C.9D.12

3.下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）

A.y=-x2B.y=Vx2-1C.D.y=ax2+bx+c

3x

4.双十一天猫成交量破新高，成交金额达到57100000000元，将这个数用科学记数法

表示（）.

A.5.71x10'°B.57.1xlOl（,C.5.71xl09D.57.1xl09

5.已知一次函数丫=依+3的图象经过点A,且旷随x的增大而减小，则点A的坐标可

以是（）

A.（-1,2）B.（1,-2）C.（2,3）D.（3,4）

6.如图，在ABC纸片中，ZC4B=75°,将其绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，

连接CC,若CC'〃AB,则旋转的最小角度为（）.

A.30°B.35°C.40°D.50°

7.如图，在ABC中，点。为边上的一点，£>E〃BC,交AC边于点E,EF//AB,

交BC边于点F,若BF:CF=3:2,AB=15,则线段8。的长为（）.

H

A.4B.5C.6D.9

8.某商品经过两次连续降价，由原来每件100元降为每件81元，设平均每次降价的百

分比为x,则可列方程为（）.

A.100x0-2x)=81B.100x(l-x)2=81

C.81x0+2x)=100D.81X(1+X)2=IOO

9.如图，在YABCD中，点E、F分别在CS、AO边的延长线上，线段EF分别交AB、

C。边于点G、H,下列结论中错误的是（).

AFEHcDHDF

D.-----------

BE-EGAGAF

10.俩人进行800米耐力测试，在起点同时起跑的甲和乙所跑的路程S（米）与所用时

间t（秒）之间的函数图象分别为线段和折线088.下列说法正确的有（）个.

①甲的速度随时间的增大而增大；②乙的平均速度比甲的平均速度大；

③在起跑后180秒时，两人相遇；④在起跑后50秒时，乙在甲的前面；

⑤两人在途中100秒的时候相遇一次.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.在函数y=9中，自变量x的取值范围是.

X

12.计算对-般的结果为.

13.如图，E为AB的中点，ZADE=ZB,AB=\2,AC=9,则CO的长为

14.如图，渔船向东航行，8点到达。处，看到灯塔A在其北偏东6（）。方向，距离12

试卷第2页，共6页

海里，10点到达8处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行海里.

15.在ABC中，AC=BC,NACB=120°,AB=2Q，点。为8C边延长线上的一点，

连接A。，若△4?。是直角三角形，则线段的长为.

16.如图：等腰直角三角形A8C中，E为BC边上一点，BE=3CE.将AB沿着AE翻折

得到线段AO,连接C。，若48=后，则8=.

三、解答题

17.解下列方程

(l)?-x=0

(2)/+2石x-2=0

4—x

⑻先化简,再求代数式二TI上的值，其中x=-8sin300+tan60°.

x+2

19.如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，点A、8都在小正方形的顶点上,

请按要求画出图形并计算:

⑴以线段AB为一边画RCA8C,使得tanNAC3=2,点C在直线AB左侧的小正方形

的顶点上;

(2)以线段A8为一边画YABDE,其面积为ABC面积的2倍，点。、E均在小正方形

的顶点上;

(3)连接CE,请直接写出sinZACE的值.

20.莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如

图所示，秋千链子的长度为3m,当摆角NBOC恰为26。时，座板离地面的高度为

0.9m,当摆动至最高位置时，摆角NAOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少m?

(结果精确到Qlm；参考数据：sin26°»0.44,cos26°«0.9,tan26°«0.49,sin50°«0.77,

cos500®0.64,lan50°»1.2)

21.2023男子篮球世界杯落下帷幕，中国男篮再一次无缘2024年巴黎奥运会，72中学

篮球队针对此次失利，将失败原因分为五个选项：A乔帅的用人不当，8王哲林的关键

失误，C李凯尔没有发挥出应有的水平，。缺少郭艾伦，E姚主席制定的联赛规则有缺

陷，对篮球队员进行调查，统计结果如下图，请回答下列问题.

(1)此次调查的样本容量是，并补全条形统计图；

(2)扇形统计图中，A选项对应的百分比是,本次调查。选项所在扇形的圆心

角为;

(3)若该中学有2000名学生，请你估计选B的同学大约有多少人？

22.阅读材料完成下面问题：求一个锐角的三角函数值.我们往往需要找出(或构造出)

一个直角三角形，观察(图1)发现/C7W并不在直角三角形中，无法直接求其三角函

数值.此类问题我们常常利用网格画平行线等方法解决，例如：连接格点M,N,可得

MNIIEC,则ZDNM=NCPN,连接那么NCPN就变换到RtzXDMN中.

试卷第4页，共6页

图1图2图3

(1)直接写出图一中tanZCPN的值为；

(2)如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cosNCPN的值；

(3)如图3,MIBC,AB=48C,点M在上，且=延长到M使8N=23C,

连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求tan/CPN的值.

23.某商品经销店欲购进A、8两种纪念品，用160元购进的A种纪念品与用240元购进

的8种纪念品的数量相同，每件8种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元.

(1)求43两种纪念品每件的进价分别为多少元？

(2)若该商店A种纪念品每件售价24元，8种纪念品每件售价35元，这两种纪念品

共购进1000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元，问A种纪念品最多购

进多少件？

(1)若把其中两个等边三角形一边重合如图得到一个四边形试说明这个四边形是

(2)若把其中两个等边三角形一个顶点重合(如图ABC.都是等边三角形且

ABC^VADE),若连接B。、CE交于G,求NBGE的度数.

E

(3)若把其中两个等边三角形一边重合如图得到一个四边形ABC。，再把第三个等边三角

形的顶点与A重合即等边三角形AEF,其中川边的延长线交的延长线于H；AE边

的延长线交8c的延长线于G,EF与CD交于N,若C£>=5,GH=1,求DN的长.

25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线》=以2-4交x轴于A、8两点，交y轴于

(1)则a的值为.

(2)点尸在第一象限的抛物线上，连接转交y轴正半轴于点E,若点P的横坐标为f,CE

长为4,求"与f的函数关系式.

(3)在y轴上另取一点。，/)在点E的上方，过点力作x轴的平行线交”的延长线于点

G,连接A。、BG,若"AG=2NB4G,4D:BG=5:相，求点P的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据定义作答即可.

【详解】解：倒数是2的数是3，

故选C

【点睛】本题考查的是倒数的含义，掌握倒数的定义是解本题的关键.

2.C

Ar4

【分析】根据余弦的定义可得cosA=d=；,再代入数据可得答案.

AB5

3

【详解】解：：NC=90°,cosA=-,AB=15,

•■4c_3

•・cosA=-----=一,

AB5

3

・・・AC=-x15=9,

5

故选c

【点睛】本题考查的是已知锐角的余弦求解边长，熟记三角函数的定义是解本题的关键.

3.A

【详解】解：A.y=；/,是二次函数，

B•产77二？，被开方数含自变量，不是二次函数，

C.产士，分母中含自变量，不是二次函数，

x~

D.y=cix2+bx^c,。=0时，不是二次函数，

故选A.

4.A

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：57100000000=5.71x10,°.

故选A

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中

14忖＜10,"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

答案第1页，共22页

5.B

【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断

即可.

【详解】,・•一次函数》=履+3的函数值y随戈的增大而减小，

Ak<0,

A.当x=-l,y=2时，-k+3=2,解得k=l>0,此选项不符合题意；

B.当x=l,y=-2时，k+3=・2,解得k=-5<0,此选项符合题意；

C.当x=2,y=3时,2k+3=3,解得k=0,此选项不符合题意；

D.当x=3,y=4时，3k+3=4,解得k=g>0,此选项不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征

是解答的关键.

6.A

【分析】先证明NACC'=NC4B=75。，由AC=AC'可得NACC'=NACC=75。，再利用三

角形的内角和定理可得答案.

【详解】解：；NC4B=75°,CC//AB,

：.ZACr=/CAB=75。，

由旋转可得：AC^AC,

：.ZACC'=ZAC'C=15°,

：.ZC4C=180°-2x75°=30°,

二最小的旋转角为：30°；

故选A

【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，旋

转的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.

7.C

【分析】根据平行线分线段成比例，进行求解即可.

【详解】解：〃⑷3，

...-A-E=-B--F=一3,

CECF2

■:DE//BC,

答案第2页，共22页

.AEAD3

^^E~~BD~29

.BD2

••=一,

AB5

•/AB=15,

80=15x2=6.

5

故选C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例.熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键.

8.B

【分析】设平均每次降价的百分率为x,则等量关系为：原价x(l-x)2=现价，据此列方程.

【详解】解：设平均每次降价的百分率为x,由题意得，100x(1-x>=81

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未

知数，找出合适的等量关系，列方程.

9.C

【分析】根据平行四边形的性质，得到AZ>〃8cAB〃8,AB=CD,证明

.FDHS_FAG,EBGs.FAG,列出比例式进行判断即可.

【详解】解：；YABC£),

AD//BC,AB//CD,AB=CD,

FH

：.—,、FDHs&FAG,一EBGsFAG,

DHFH

,DH_DFAF_FGBG_EG

•・布一寿，­EG*~AG~~GF"

.BGBGEG

**CD-AB-EF；

综上：A,B,D选项正确，C选项错误；

故选C.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四

边形的对边平行，证明三角形相似.

10.B

【分析】根据速度等于路程除以时间结合函数图象，逐一进行判断即可.

【详解】解：由图象可知，甲做匀速运动，速度不变，故①错误；

答案第3页，共22页

甲，乙的总路程相同，乙用的时间比甲的长，所以乙的平均速度比甲的平均速度小，故②错

误；

由图象可知，甲的速度为800+200=4m/s,乙在8c段的速度为

(&X)-3OO)+(2OO—50)=2m/s,由图象可知，两人在50200秒之间相遇，

设相遇时所用时间为r秒，贝4,=300+2(—50),解得：/=100,故③错误，⑤正确；

由图象可知，在起跑后50秒时，乙在甲的前面；故④正确；

综上：④⑤正确；

故选B.

【点睛】本题考查函数图象.从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键.

11.xwO

【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可.

【详解】解：在函数y=二x+2中，自变量x的取值范围是xwO,

X

故答案为：XNO.

【点睛】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式有意义，分

母不等于零.

12.y/2

【分析】先把J后和应化为最简二次根式，然后合并同类二次根式.

【详解】解：原式=3忘-2&=血.

故答案为＞/2.

【点睛】本题考查了二次根式的加减法：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二

次根式.

13.1

【分析】先求解AE=BE=6,再证明△ADEs/VlfiC,可得坐=当，再建立方程求解,

ACAB

从而可得答案.

【详解】解：：A8=12,E为AB的中点，

:.AE=BE=6,

•：ZADE=/B,ZA=ZA,

・・・AADECCAABC,

答案第4页，共22页

.AEAD

..就=加而AC=9,

•-•一6_二AQ,

912

解得：AD=8,

CD=AC-AD=9-8=l,

故答案为：1

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键.

14.36

【分析】利用锐角三角函数求出。8的长，利用路程除以时间求出速度即可.

【详解】解：由题意，得：々4。3=90。-60。=30。,/48。=90。,。4=12海里，

:.OB=O4cos30°=12xJ=海里；

2

，渔船每小时航行/亘=3方海里；

10-8

故答案为：35n.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用.熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键.

15.1或2

【分析】等边对等角，得到NC4B=ZB=30。，分/。为直角和为直角两种情况，进

行讨论求解即可.

【详解】解：AC=BC，ZACB=120。，

ZCAB=ZS=^(180°-120°)=30°,

•••△ABO是直角三角形，分两种情况：

①当NO为直角时，如图，

答案第5页，共22页

ZDAC=ZBAD-ZCAB^30°,

：.CD=A£>tan30°=l；

②当//MB为直角时，

贝l］：ZADB=60°,AD=AB-tan30°=2,ACAD=90°-ZCAB=60°

：NDC4=NC4B+ZB=60。，

.ACD为等边三角形，

CD=AD=2；

综上：C£>=1或2；

故答案为：1或2.

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形.熟练掌握等边对等角，利用分

类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

16.2

【分析】如图，作A"_LA£,使Ah=A£，连接OE,EH,CH交。E于K,过A作4尸18C

于F,可得NBA£=NC4/7,BC7AB?+AC?=M，AF=CF=；8C=坐，证明

^BAE^^CAH(SAS),可得Z.BCH=45°+45°=90°,求解BE=CH=,

CE=—=EF,可得AH=AE=^AF2+EF2=巫,EH=yjAH2+AE2=1,由对折可得：

442

AB=AD=5ZBAE=ZDAE,£)£=BE=M^,ZADE=ZABE=45°,证明

4

.AEC=.,AHZ)(SAS),可得NECH=/EDH=90°,再证明RtHEC=R\.EHD(HL),可得

ZHED=ZCHE,CH=DE=^^-,则有EK=〃K,CK=DK,求解EK=^^="K,

412

可得CK=Z)K=d叵一之叵=巫，证明...“在S.CKO,从而可得答案.

4123

【详解】解：•••等腰直角三角形ABC,AB=6

答案第6页，共22页

AAB=AC=45,BC^^AB2+AC2=Vio-

如图，作A〃_LAE,使A〃=AE,连接Z)E,EH,CH交DE于K,过A作A尸上8c于F,

H

/.ABAC=90°=AEAH,AB=AC=5ZB=ZACB=45°,

：.ZBAE=ZCAH,BC7ABi+AC?=M,AF=CF=^-BC=^-，

△BAE名△C4H(SAS),

：.BE=CH,ZB=ZACH=45°,

ZBCH=45°+45°=90°,

•/BE=3CE,

•RP33而Vio

44

AH=AE=VAF2+£F2=—,

4

EH=yjAH2+AE2=-,

2

由对折可得：AB=AD=BZBAE=ZDAE,DE=BE=^^-,ZADE=ZABE=45°,

4

,?ZBAC=NEAH=90。,

：.ZBAE+ZEAC=90°=ZDAE+ZDAH,

:.ZEAC=ZDAHf

VAE=AH,AB=AC=AD,

：.AEC^A^D(SAS),

AZACE=ZAHD=45°,CE=HD=—,

4

・・・ZEDH=450+45°=90°,

・♦・NECH=/EDH=90。，

EH=EH,CE=DH,

答案第7页，共22页

RtHEC^Rt£770(HL),

:.ZHED=NCHE,C”=OE=把叵

4

/.EK=HK,CK=DK,

由勾股定理可得：EK?=CE2+CK"

•~_5屈”

••LLI\—--------ri!\，

12

.“八。3西5MVio

••CK=UK=-------------=-----

4123

屈

.DKCK亍_4

ZHKE=ZDKC,

，9~EK~~HK~5N/10-5

12

:・HKEs.CKD,

.,.CD-CK——4,

HEHK5

445

・・・CD=-EH=-x-=2,

552

故答案为：2

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质,

相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

17.⑴%=0,x2=1

(2)%=-^+疗,々=_6-近

【分析】(1)因式分解法解方程;

(2)公式法解方程即可.

【详解】(1)解：x2-x=(),

/.x(x-1)=0,

/.x=0或x-l=O,

**•X|=0,%2=1；

答案第8页，共22页

(2)X2+245X-2=0,

/.a=l,h=2-75,c=—2>

△=〃—4ac=20+8=28>0,

...*=-2.士糜=-2亚土2币=_小+币,

2一2一一‘

••X1——+'X/T,XJ――\[5->

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤，是解题的关键.

,O173

Io.------,----

x+43

【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得化简的结果,

再化简x=-4+6,再代入计算即可.

【详解】解：二十(x-2-二]

x+2Vx+2J

_4-x/X2-4__

x+2、x+2x+2J

_4-xx2-16

x+2x+2

_-(x-4)x+2

一-元+2•(尤+4)(%—4)

]

x+4

:x=-8sin300+tan60。=-4+后,

(ST116

原式=-------f=---=---产=-----.

-4+6+4V33

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的锐角三角函数值的计算，二次根式的除法

运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.

19.(1)图见解析

(2)图见解析

答案第9页，共22页

【分析】(1)根据要求，易得？B90?,tanZACB=—=2,得到BC的长，取格点C,

连接AC,BC即可；

(2)先求出的面积，进而得到YABDE的面积，确定格点RE的位置，即可;

(3)勾股定理求出CE的长，利用正弦的定义求解即可.

【详解】(1)如图，点C即为所求；

由勾股定理，得：49=物+42=2后,BC=五+『=亚，

又AC=5,

二AB2+BC2=AC2,

AD

ABC为直角三角形，tanZACB=—=2；

He

(2)如图，YABDf即为所求；

由图可知：YA8QE的面积=5x5-2x,x5xl-2x』x5x2=10,

22

,.二ABC的面积=gx2石*石=5,

.♦.YABDE的面积是A8C的面积的2倍，

YAB0E即为所求；

(3)如图，

:CE=打+42=5,

答案第10页，共22页

••sinNACE==—.

CE5

【点睛】本题考查网格作图，勾股定理以及解直角三角形.熟练掌握相关知识点，准确的作

图，是解题的关键.

20.座板距地面的最大高度为1.7m.

【分析】过点4作AQ_LMV于点£>,过点A作AELON于点E,过点B作BF1ON于■点、F,

利用26。和50°的余弦值求出。尸=。8•cos26。=3x0.9=2.7m,

OE=CMcos50°=3x0.64=1.92m,然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可.

（详解】如图所示,过点A作AD，MN于点D,过点4作AE，ON于点E,过点8作BF±ON

于点F,

由题意可得，四边形和四边形END4是矩形，

/.FN=BM=0.9m,EN=AD,

•••秋千链子的长度为3m,

；・OB=OA=3m,

VZBOC=26°,BFION,

/.OF-OBcos26°=3x0.9=2.7m,

・・.ON=OF+F/V=2.7+O.9=3.6m,

VZAOC=50°,AE工ON,

：.OE=QAcos50°=3x0.64=1.92m,

£N=ON-OE=3.6-1.92=1.68m,

・•・AD=£AT=1.68m^l.7m.

・・・座板距地面的最大高度为1.7m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答

问题.

21.（1）调查的样本容量是50,补全统计图见解析

答案第11页，共22页

(2)10%,144。；

(3)喜欢8类的同学有400人.

【分析】(1)由C选项的人数除以其占比可得样本容量，再求解8选项人数，再补全图形

即可；

(2)由A选项的人数除以总人数可得其百分比，由力选项的占比乘以360。可得答案；

(3)由总人数乘以B选项的占比可得答案.

【详解】(1)解：13-26%=50,

...此次调查的样本容量是50,

/.50-5-13-20-2=10,

补全图形如下：

(2)5+50x100%=10%,

也X360°=144°,

50

选项对应的百分比是10%,本次调查。选项所在扇形的圆心角为144。；

(3)2000x—=400,

50

•••喜欢B类的同学有400人.

【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，样本容量的含义,利用样本估计总体,

掌握以上基础的统计知识是解本题的关键.

22.(1)2

(2)cosZCP^=—

2

(3)1

【分析】(1)连接格点M，N,可得MN〃EC,则NDNM=NCPN,连接ZW,再利用定

答案第12页，共22页

义求解即可.

（2）如图2中，取格点。，连接C。，DM,证明NC7W="CM,△£><•是等腰直角

三角形，从而可得答案.

（3）如图取格点H,连接A"、"N,构造等腰直角三角形解决问题即可；

【详解】（1）解：如图1中，连接。0,MN,

.V

图1

EC//MN,

：.4CPN=NDNM,

tan4CPN=tan/DNM,

VDM2=22+22^8,MN2=12+l2=2,DN2=\2+32=10,

DN2=DM2+MN2,DM=-Ji,MN=近，

Z£>W=90°,

/.tanZCPN=tanZDNM=也=£=2；

MNV2

故答案为：2；

(2)如图2中，取格点。，连接CD,DM.

图2

VAD//CN,AD=CN,

二四边形4DCN是平行四边形,

答案第13页，共22页

:・CD〃AN,

・•・ZCPN=ZDCM,

同理可得：DM=75,CM=逐,CD=V10,

ADM2+CM2=CD2,NCMD=90°,

・・・△DCM是等腰直角三角形，

:.ZDCM=NCDM=45。,

，cosZCPN=cosZDCM=cos45°=—.

2

(3)如图3中，如图取格点“，连接A"、HN.

同理可得：四边形为平行四边形，

JPC//HN,

:.ZCPN=ZANHf

同理可得：AH=NH=M,AN=而=2后,

:.AH2+NH2=AN2

V1AHN90?,

:.ZANH=/HAN=45。,

AU

tanKPN=tanAANH=——=1.

NH

【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及逆定理的应用、平行四边形的

判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,

学会用转化的思想思考问题.

23.(1)A纪念品每件进价20元；8纪念品每件进价30元；(2)最多购进A纪念品100件.

【分析】(1)设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为(x+10)元，根据题意列

出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案；

(2)设A种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元”列出

答案第14页，共22页

不等式，解不等式即可.

【详解】(1)设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为(x+10)元，根据题意有

160240

~-x+10

解得x=20，

经检验，x=20是原分式方程的解，

/.x+10=30,

.♦.A种纪念品的进价为20元，则B种纪念品的进价为30元；

(2)设A种纪念品最多购进a件，根据题意有

(24-2O)a+(35-30)(1000-a)>4900

解得a4100,

...A种纪念品最多购进100ft.

【点睛】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解

题的关键.

24.(1)菱形，见解析

⑵/BGE=120。

【分析】(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断；

(2)根据等边三角形的性质证明△AfiDgZXACE,可得=进而得到

ZBGC=ZBAC=6O°,进而求解；

(3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明£W=£7V,将求ON的长度转

化为求EN的长,然后作AM±BC于点M,求出8G=8,可得CG=3,证明△CGO^ADAO,

求出OG,进而求出OE,再证明然后根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)四边形A88是菱形；理由如下：

V两个等边三角形一边重合得到一个四边形ABCD,

AB=BC=AC=AD=CD,

.•.四边形ABC。是菱形；

(2)VABC,VADE都是等边三角形且一"CgVADE,

AAB=AC^AD=AE,ABAC=^DAE=60°,

答案第15页，共22页

:.ZBAD=ZCAE9

：.Z^ABD^Z\ACE,

：.ZABD=ZACE,

'：ZAHB=/GHC,

：.ZBGC=ZBAC=60。,

AZBGE=120°；

E

(3)由题意可得：△ABCg△ACDQ^AE/且都是等边三角形,

JNB=ABAC=ZACD=ZE4F=60°,AB=ACf

：./BAG=/CAH,

:・ABG"ACH,

：.AG=AH9

^AGH是等边三角形，

AAG=AH=GH=7fZAG"=NGA”=60。，

NE4尸=60°,

/.ZCAG=ZDAH9

；・ACEgADF,

:・CE=DF,ZACE=ZAEC=ZAFD=ZADF,

1ZAEF=ZADC=6O°f

答案第16页，共22页

:.4FDN=NCEN,

■:4FND=4CNE,

：.△FDN9MEN,

・・・DN=EN,

设AG,CH交于点O,作AW_LBC于点M,如图,

；・ZBAM=30°,

BM=-AB=-,AM=J52--1=IG,

22YE

•••31—（|呵=孩，

・♦・BG=-+—=8,

22

：.CG=BG-BC=3,

由（1）得，四边形ABC。是菱形.

:・CG〃AD,

：.Z^CGO^^DAO,

.GOCGGO3

・・=,RHnJ-------=一,

AOAD1-GO5

21

解得：GO=—,

o

•・・AE=CD=5,

：.EG=1—5=2,

：.OE=--2=-

88f

9

：ZAEF=ZAGH=60°9

：.EF//GHf

:.△OENS^OGH,

答案第17页，共22页

.ENOE

••=9

GHOG

5

即E丁N=条2，解得=5

/213

T

即£W=g.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定

和性质等知识，正确添加辅助线、证明三角形全等和相似是解题的关键.

25.(1)1

⑵d=2f(f>0)

【分析】(1)先求出4、B的坐标，再根据45=4,建立方程求解即可；

(2)由(1)得二次函数解析式为y=/-4,A(-2,0),如图所示，过点P作P/Ux轴于

F,则r-4),求出C(0,-4),证明△AOEszMEP,得到求出

。£=勺色，由此即可求出答案；

t-2

(3)如图所示，在AG上取一点M,使得ZW=ZM,则ND4M=N£)M4,设NR4G=〃，

则ND4A/=NDA14=2〃，证明NM£)G=NMGO,得到M£>=A/G,进一步证明

ZMED=ZMDE,得到=AD=DM=ME=MG=5m,连接OB,延长A£>到N

使得DN=DB,连接MN,GN,求出4M>8=180。-6〃，进而求出N8£>G=/NDG=3〃，

证明GVOG丝△BZX7,得到GN=BG="L",再证明NAMN=90°，由勾股定理得到

MN=6m,AM=8m，过点。作DH±AG于H,则AH=MH=—AM=4m,求出DH=3m,

2

1(