第11讲 函数的基本性质-单调性与最大（小）值（学生版）-高一数学同步讲义

第3课函数的单调性与最大（小）值

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课程标准课标解读

1.理解单调函数的定义，理解增函数、

减函数、单调区间、单调性的定义.

2.掌握定义法证明函数单调性的步

骤.通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，

3.掌握函数单调区间的写法.会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数

4.理解函数的最大（小）值的概念及其的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的

几何意义.值.

5.会借助单调性求最值.

6.掌握求二次函数在给定区间上的最

值.

般知识精讲

*'知识点01函数的单调性

1.函数单调性的定义

一般地，设函数/（X）的定义域为/:

如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值即，X2,当时，都有/（尤］）＜/（々），那么

就说函数/（X）在区间。上是增函数：

如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值幻，X2,当M42时，都有/（%）＞/（%）,那么

就说函数/（X）在区间。上是减函数.

【微点拨】（1）定义中的制，X2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有

大小，一般令Xl<%2.

（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若/（x）是增函数，则

/（%1）</（工2）0X<X2；若/（X）是减函数，则/（%）</（々）。石>W-

1

【即学即练1】设定义在［—1,7］上的函数的图象如图所示，则关于函数y=了3的单调区间表述

正确的是（）

A.在［-1,1］上单调递增B.在（0,1］上单调递减，在［1,3）上单调递增

C.在［5,7］上单调递增D.在［3,5］上单调递增

【即学即练2］已知函数fG）=-1+——（存1）,则/（X）（）

x-1

A.在（-1,+oo）上是增函数B.在（1,+oo）上是增函数

C.在（-1,+oo）上是减函数D.在（1,+00）上是减函数

±'知识点02函数的单调区间

如果函数），=f（x）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数产/'（X）在这一区间具有（严格的）

单调性，区间。叫做内'（X）的单调区间.

【微点拨】

（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“U”连接，而应该用“和”连接.

（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义

域的子集.

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，具有局部性，并且在某一点上不存在单调性.

1X是有理数

（4）并非所有的函数都具有单调性.如函数/<x）='-就不具有单调性.

,|0,x是无理数

（5）写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错;

需注意单调区间与在区间上单调的区别;

【知识拓展11常见函数的单调性

函数类型单调性

左>0在R上单调递增

一次函数y=kx+b(kw0)

k<0在R上单调递减

k>0单调减区间是(—8,0)和(0,+8)

反比例函数y二—(Zw())

k<0单调增区间是(—8,0)和(0,+8)

bb

a>0单调减区间是(一叫-一),单调增区间是|-一,+8)

二次函数2a2a

y=ax2+OX+C(QwO)

单调减区间是［-2,+8),单调增区间是(-8,一之)

a<Q

2a2a

【即学即练3].函数/(x)=-|x-2|的单调递减区间为()

A.(-00,2]B.[2,+8)

C.[0,2]D.[0,+oo)

丞、知识点03函数的最大(小)值

1.最大值

一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(1)对于任意的xw/,都有

(2)存在/,使得八%)=".

那么，我们称M是函数y=/(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.

2.最小值

一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数相满足：

(1)对于任意的丁€/,都有机；

(2)存在x0e/,使得/(x0)=m.

那么，我们称，”是函数y=/(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.

【知识拓展2】函数的最值与单调性的关系

如果函数y=/(x)在区间(。,句上是增函数，在区间g,c)上是减函数，则函数y=〃x),xe(a,c)在

x=8处有最大值/(Z?).

如果函数y=/(x)在区间(。,切上是减函数，在区间g,c)上是增函数，则函数y=/'(x),xe(a,c)在

x=1处有最小值/(，).

如果函数y=/(x)在区间[。,句上是增(减)函数，则在区间切的左、右端点处分别取得最小(大)值

和最大(小)值.

【即学即练4]函数y=x一1在[1,2]上的最大值为()

X

3

A.0B•一C.2D.3

2

【即学即练5】函数/a)=2x-KT[的最小值为.

【即学即练6】函数/U)=—N—4X+1,XG[-3,3]的值域是()

A.(-oo,5]B.[5,+oo)C.[-20,5]D.[4,5]

u能力拓展

考法01

1.函数单调性的判断或证明

(1)判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作.

利用定义法判断(或运用)函数的单调性的步骤来证明.

(2)若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层

函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单

调性相反时，则复合函数单调递减.可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义

域内.

(3)函数单调性的常用结论：

①若/(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数，则〃x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;

②若k>0,则子(x)与/(x)的单调性相同；若女<0,则@(x)与“X)的单调性相反;

③函数y=/(x)(/(x)>0)在公共定义域内与y=-/(x),y=-的单调性相反：

J(X)

④函数》=〃耳(〃力“)在公共定义域内与>=而已的单调性相同.

【典例1］定义在R上的函数7U)满足：对任意实数”"总有_/0+〃)=八，〃)：/5),且当x>0

时，O<A^)<1.

(1)试求K0)的值；

(2)判断兀V)的单调性并证明你的结论.

考法02

函数的单调区间：写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错；

需注意单调区间与在区间上单调的区别.

【典例2】函数/(x)=一^^的单调递增区间为.

x—4-x—5

对单调区间和在区间上单调两个概念的理解：

【典例3】已知二次函数f(x)=x2-2(a-l)x+6在区间(一双5］上单调递减，求实数。的取值范围.

【即学即练7】已知f(x)是定义在［0,+oo)上单调递增的函数，则满足了(2x-l)</(g)的x取值范围

是()

门2)(2^1「12、(2

A，(J3)B'卜C.［展向D.卜8亏_

考法03

单调性的应用：

函数单调性的应用主要有：

1.(1)由不々的大小关系可以判断/(石)与/(马)的大小关系，也可以由与/(々)的大小关系判

断出玉的大小关系.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转

化到同一个单调区间上进行比较.

(2)利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值.

(3)利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的

单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围.若函数为分段函数，除注意各段的单调性

外，还要注意衔接点.

(4)利用函数的单调性解不等式.首先根据函数的性质把不等式转化为了(g(x))>/'(〃(x))的形式，然

后根据函数的单调性去掉了号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与/z(x)的取值应在外层函

数的定义域内.

2.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与己知单调区间比较求参数.

(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解.

(3)要注意："函数犬X)的增区间是3,3”与"函数Kx)在区间①，切上单调递增”是不同的，后者意味着区间3,

切是函数式X)的增区间的一个子集.

,、[ax1+x-l(x>2)

【典例4】函数J(x)=<，/一是R上的单调递减函数，则实数。的取值范围是_______.

-x+l(x<2)

【即学即练8】函数户入金，xG(，"，〃]最小值为0,则，〃的取值范围是()

X+1

A.(1,2)B.(-1,2)

C.[1,2)D.[-1,2)

【即学即练9]如果函数/(x)=；(m—2)f+(〃-8)工+1(哈0,力K))在区间仕，21上单调递减，那么〃的最大

值为()

A.16B.18C.25D.y

【即学即练10][2020年新高考全国I卷】若定义在R的奇函数加)在(-oo,0)单调递减，且贝2)=0,则满

足步1(X—1)20的x的取值范围是()

A.[-1,1][3,4W)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]|J[l,+a>)D.[-l,0]|J[l,3]

考法04

求函数的最大(小)值

求函数最大(小)值的常用方法有：

(I)配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；

(2)图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值;

(3)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，可依据单调性确定函数最值；

(4)若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大(小)值可利用求值域的方法.

注意：(1)无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立.

(2)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，

但函数并不一定有最大(小)值.

【典例5】已知函数汽x)=/-2x+2.

(1)求火x)在区间成，3]上的最大值和最小值；

(2)若g(x)=/(x)—M在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围.

【即学即练11】己知函数y=/—4x+5在闭区间[0,相]上有最大值5,最小值1,则加得取值范围是()

A.[0,1]B.[1,2]

C.[0,2]D.[2,4]

f(a-l)x+a,尤<0

【即学即练12】已知函数/(x)=；'八有最小值，则。的取值范围是()

[x--2x,x>0

A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]

di分层提分

题组A基础过关练

L下列函数中，在(0,+e)上为增函数的是()

A./(x)=2-3xB./(X)=X2-5X

a

c./(x)=--D./(x)=-W

2.甲：函数是R上的单调递减函数；乙：刈<々,/(为)>/(々)，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数f(x)=4-x的递增区间为()

A.（°，jB.（0,1）C."

D.（1收）

4..函数s=&京的单调递减区间为（）

A.[-8,5B.C.[0,-K»）D.（F-3]

5.函数y=2x+JIW,则（）

A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值

4

c.有最小值;，最大值。

D.既无最大值,也无最小值

24

6.若函数/（x）=V-/nx+10在（-2,1）上是减函数，则实数机的取值范围是（）

A.[2,+oo)B.i+oo)

C.y,2]D.(-00,-4]

7.设函数八幻为单调函数，且x«0,3)时，均有+=则/(1)=()

A.-3B.-2C.-1D.0

8.若函数〃力=/+（为-1）》+1在（7,2]上是单调递减函数，则实数〃的取值范围是（）

A.-p+cojB.卜8,一不C.[-1-+00）D.卜8,一1

9.已知“X）是定义在（-2,2）上的单调递减函数，且〃2a-3）</（a-2）,则实数〃的取值范围是（)

A.（0,4）B.（L+oo）C（其）D-（6）

10.已知函数〃x）=T（xe[2,6D，则_/«的最大值为（）.

A.-B.-C.1D.2

32

题组B能力提升练

1.函数=X+K在]，+8]上为增函数，则〃的取值范围为（）

A.p<-B.0<p<-C.p>-D.0<p<-

4444

(3a-l)x+4tz,x<1

2.已知/(%)=是定义在R上的减函数,那么。的取值范围是（)

-x+\,x>1

B.住,+8

A.

C.

3.函数/(x)=V-or是区间口,收)上的单调函数，则实数。的取值范围()

A.(^o,3]B.(-oo,0]J(3,-H»)

C.(3,+oo)D.

4.函数f(x)=三丝±U(aeR),若对于任意的xeN*，7(x)23恒成立，则。的取值范围是()

X+]

8「2、「11r,\

A.--,+°oIB.--,+<»IC.--,+QOID.[-l,+oo)

5.已知函数“X)在R上为增函数，若不等式/(Yx+“)N/(-3-x2)对Vx«0,3R亘成立，则。的取值范围

为()

A.B.(3,+co)C.[0,+co)D.[l,+<»)

6.已知实数a，b,c,”满足a>b>c,且a+6+c=0,ad2+2bd-b=0,则4的取值范围是()

A.(-<o,—l]I[0,+co)B.(-1,1)

C.V2,l\/2jD.1—V2,—1+V2j

7.(多选题)定义[x]为不大于x的最大整数，对于函数f(x)=x-[可有以下四个结论，其中正确的是()

A./(2019.67)=0.67

B.在每一个区间伙河+1)+eZ)上,函数/(每都是增函数

D.y=/(x)的定义域是R,值域是。1)

8.已知函数f(x)=-2x+l(XG[-2,2]),g(x)=x2-2x,(xe[0,3])»则下列结论正确的是()

A.VX€[-2,2],f(x)>。恒成立，则实数。的取值范围是(f,-3)

B.ire[-2,2],/(x)>a恒成立，则实数〃的取值范围是(—,-3)

C.Hxe[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]

D.Vxe[-2,2],3re[0,3],/(x)=g(f)

9..对于定义域为。的函数〃x),若存在区间同时满足下列条件：①〃x)在回，句上是单调

的；②当定义域是加川时，“X)的值域也是卜〃,"]，则称卜4〃]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐

区间'’的是

9

A.=9B./(x)=3--C.f^x)=ex-\D./(x)=lnx+2

10.函数/(力=0^+(。-3)x+l在(-1,”)上单调递减，则实数。的取值