安徽省高一年级上册分班模拟考试数学试题（解析版）

高一分班模拟试卷

数学试题

考试范围：集合和常用逻辑用语，函数与导数，三角函数与解三角形，等式与不等式；考试

时间：100分钟；

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1已知集合I（x—1）<4,xeR},N={-1,0,1,2,3},则“CN=（）

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}

C.{-1,0,2,3}D,{0,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的求解可化简"={x[T<x<3,xeR},根据集合的交运算即可求解.

【详解】A/={x[T<x<3,xeR},则A/cN={0,1,2}.

故选：A

2.下列命题错误的是（）

A.>0,InxH----W2

Inx

B.命题“Hxe（0,+oo）[nx=x-1"的否定是"Wxw（0,+8）,lnxNx-l”

C.设,则“xN2且>22”是”的必要不充分条件

D.设a,/?e/?,则“ah0”是“abr0”的必要不充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当x=，>0时，lnx<0,即可判断A选项；

2

根据特称命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.

【详解】解：对于A,当》=1>0时，lnx<0,lnx+—<0,故A正确；

2Inx

对于B,根据特称命题的否定为全称命题,

得“3xe(0,+oo),lnx=x-lw的否定是“Vxe(0,+oo),lnx*x-i"，故B正确;

对于C,当x22且yN2时，成立；

当父+「24时，却不一定有x22且y22,如x=5,y=0,

因此“x»2且丁22”是“一+^224”的充分不必要条件，故C错误;

对于D,因为当时，ab有可能等于0,当ab/0时，必有

所以“ah0”是“abH0”的必要不充分条件，故D正确.

故选：C.

3.下列说法正确的是()

194TC

A.与角——终边相同的角a的集合可以表示为〈aa=2kji+—、kjZ>

66

a

B.若。为第一象限角，则一仍为第一象限角

2

C.函数/(x)=sin(x+"+?)是偶函数，则。的一个可能值为,

D.点(葛,0)是函数/(x)=2cos(2x+。的一个对称中心

【答案】D

【解析】

7Ta

【分析】A写出其终边相同的角。的集合判断；B由2左兀<a<2Ait+—且上eZ,进而确定一的范围，即

22

7T

可判断;C由三角函数的性质可得。=%"+—且左eZ,即可判断；D将点代入判断是否为对称中心即可.

4

194*7*771

【详解】A：——2TT+—,则与其终边相同的角a为(aa=2左乃+」,左错误;

666

B：由2人兀<a<2力兀+=且％eZ,则左兀<S<左兀+?•且％eZ,故4为第一或三象限角，错误:

2242

C：由已知。+工=丝切工且％eZ,则。=左乃+工且％6Z,。的不可能为红，错误；

4244

7%八（、7兀兀=2cos^=0,故（葛7兀,0）是/（x）=2

D：2cos2x--1—cos12x+qJ的一个对称中

~12[12312

心,正确.

故选：D

XG[-7r,7r],的大致图象()

【解析】

【分析】先将函数解析式化简，根据奇偶性的概念，判定了(X)的奇偶性，排除A,B；再由特殊值验证,

即可得出结果.

sin(必/]X-COSX

n=X

[详解]因为/(x)=xpj2U

=xe8sx

所以/(—x)=—xe8s'=—y(x),所以/(x)为奇函数，图像关于原点对称，排除A,B；

71cosf71cos]Ji

—e3——e乙=——

3322

i

£2

¥=杵即/图排除“

2

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于常考题型.

3

5.设4=/°|，b=F，c=ln3,其中e为自然对数的底数，贝ij“，b,c的大小关系是()

e

A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>hD.a>b>c

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得。，dc的取值范围，即可求解.

3

【详解】由指数函数的性质，可得a==e，且不<1，

由对数函数的性质，可得e<3<e2,所以c=ln3w(l,2),

所以瓦

故选：C.

6.若则不等式(x-a)(x--)>0的解集是

A.{x\a<x<—}B.{x\—<x<a}

aa

C.&|X〈〃或¥)—}D.{x\x

【答案】C

【解析】

【详解】分析：先根据a的范围确定a与‘的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集.

详解：VO<a<l,

•*.aV—,

a

而y=(x_q是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外

>0的解集为｛x或x>上｝

故选C.

点睛：(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根

的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.

(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次

项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的

大小进行分类.

7.在A48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足/+c2-/=方。，&=百，则b+c的取值

范围是()

A.(1,V3)B.处,2母C.(73,373)D.(百，哈

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理与基本不等式求出6+cW2g，再由三角形三边关系得到A+c>a=G，从而求出

6+c的取值范围.

【详解】依题意得从+。2一庆=3,即他+C『=3bc+3<3x+3,

解得：（6+。）2412,b+c<2s/3,当且仅当6=c=退时取等号,

又b+c>a=B因此6+c的取值范围是（百,26由

故选：B

4-1

8.若函数/（x）=F^（aeR）是奇函数，则使得/'（》）>4成立的x的取值范围是

-®,log|

A.2

C.（O，log卷

【答案】C

【解析】

【详解】）（X）的定义域为{刈2、-。工0},它应该关于原点对称，所以4=1,又4=1时，/（x）==^

2—1

,/（—月=与±1=-•°=—/（X），/（X）为奇函数•又原不等式可以化为（2'T）（2*T<0,所以

2"-12”—1I），

1<2v<|,所以Ovxvlog2*,选C.

323

点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求

奇函数或偶函数中的参数的值.

二、多选题

9.把函数/（x）=sinx的图像向左平移］个单位长度，再把横坐标变为原来的g倍（纵坐标不变）得到函

数g（x）的图像，下列关于函数g（x）的说法正确的是（）

5兀71

A.最小正周期为兀B.单调递增区间hi--,Zx+—（左eZ）

C.图像的一个对移中心为10）D.图像的一条对称轴为直线x=g

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函数图像变换得到g(x)解析式即可判断A；利用整体代换法求出函数单调增区间即可判断

B；

分别求出g1一三]和的值即可判断C和D.

【详解】函数.f(x)=sinx的图像先向左平移(个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的3(纵坐

标不变)，

得到g(x)=sin2x+》的图像，则其最小正周期为—=无，A正确；

I3/2

TT7TTT3兀兀

令---F2%兀W2xH—WH—(AEZ)解得增区间是左兀-----，4兀H---(kwZ),B正确;

2321212

当X=_三时函数g(x)=sinl2x+y兀兀71兀

的值为gsin2x+=sin。0,故C错误;

3

当x=R时，函数g(x)=sin|2x+：

TT

故图像的一条对称轴为直线X=一，D正确.

12

故选:ABD.

10.设a>0/>0,a+6=1,则下列不等式中一定成立的是()

A.ah„；B.y[a+\[b..我

b40

C.2a+2\.2Vr2D.-+-..8

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.

【详解】A选项：ab<[^-^\=-,当且仅当a=b=L时，等号成立，故A正确：

I2J42

B选项：+-a+h+2s[ab<1+a+Z?=2,所以JZ+JKwJ5，当且仅当。=6=万时，等号

成立，故B错；

C选项：2"+2"22,2""—2后’当且仅当a=b=；时，等号成立，故C正确；

b4b4(<7+Z>)b4a,-也."+4=8,当且仅当4。cn1,2

D选项:—,即a=—,b

ababababb33

时，等号成立，故D正确.

故选：ACD.

11.已知函数/(x)=xe*,则()

A.曲线歹=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x

B.曲线v=/(x)的极小值为一e

,21一

c当h"三时’〃x)<a(x-l)仅有一个整数解

D.当2e2〈a<主时,

—仅有一个整数解

2

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；

对于B,利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；

对于C,D,根据B选项结论，画出函数TV)图象，利用函数/(x)<a(x-1)仅有一个整数解，只需

要“X)的图象在｝=a(x-l)的图象的下方的横坐标为整数且只有一个即可求解.

【详解】对于A,/"(x)=x'e'+x(ej=(x+l)e'，所以曲线y=/(x)在点(0,0)处的斜率为

左=/'(O)=(O+l)e°=l,所以曲线》=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y—0=lx(x-0)即歹=x,

故A正确：

v

对于B,=x'e'+x(e')=(x+l)e-

令/,x)=0,则(x+l)e'=0,解得尸―1,

当x>—l时，/4x)>0,

当》<一1时，/,x)v0,

所以/(x)在(-1,+00)上单调递增，在(-8,-1)上单调递减.

当x=—l时，/(X)取得极小值为/(一1)=(一1)«|=-』，故B不正确；

e

对于C,D,由B选项知，/(x)在(-1,+8)上单调递增，在(一8,-1)上单调递减.当―一1时，/(x)取

(X—1)恒过尸(1,0),

要使/(x)<a(x—1)仅有一个整数解，只要是/(x)=xe*的图象在y=a(x-l)的图象的下方的横坐标

为整数且只有一个，

21

当如即=(〃<丁时，/(x)<a(x—1)仅有一个整数解，故C正确,

3e~2e

当a=2e2时，当x«l时,/(x)>a(x-l),当x=2时,/(2)=2e2(2-1),

当x23时，—无整数解，D不正确.

故选：AC.

【点睛】解决此题的关键，对于A,利用导数的几何意义即可，对于B,利用导数法求函数极值的步骤即

可，对于C,D,画出函数图象，要使/(x)<a(x—l)仅有一个整数解，只要是〃x)=xe"的图象在

y=a(x—1)的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，即kPB<a<kPA即可.

兀

12,若0<6<。<一,贝ij()

2

A.e"4——+2tz>Q114--犷+2bB.be"-e'>Qe"-e"

C.asinh-\-h<bsina+〃D.sinbcosa>sin。

【答案】BC

【解析】

【分析】分别构造/。)=砂一二一2》、/(x)=x—ln(x+l)、f(x)=^^-,利用导数研究它们在

ex

0<x<5上的单调性比较/(a),/(b)大小即可，应用特殊值法判断D.

【详解】A：令/(x)=e、—二―2x且0<x<[,则/''(x)=e'+」--222、卜・[--2=0,仅当x=0

e2exVev

时等号成立，故导函数恒大于0,

故/(X)在定义域上递增，则/(。)>/,3),即e”—[—2b<e"—4—2a,

ee

所以e'+4+2。<e"+4+26,错误；

eae

B：令/'(%)=丫-111(工+1)且0<》<乌，贝=l----->0,

2x+1

故/(x)在定义域上递增，则/(。)>/3),即a-ln(a+l)>b—ln(b+l),

所以/〃/伍+1)>/启(a+1),则以(b+l)>[(a+l),即加"—e">£—e"，正确；

."/、sinx-1rc兀…、xcosx-sinx+1-

C：令/(x)=------§.0<x<~,则/'(x)=--------J------>0,

X2X

~…，、乂…r,,/、/■/,、sina-1sin6-1

故/(x)在定乂域上连增，则/(a)>/(6),即------->--------,

ab

所以b(sina-l)>a(sinb—l),则asinb+b<bsina+a,正确；

D：当b==V时，sinbcosa=，<sina=且，错误.

6342

故选：BC

【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，应用导数研究单调性，进而比较大小关系.

三、填空题

13.若。>0且则函数/(力=。2=4+3的图象恒过的定点的坐标为.

【答案】(2,4)

【解析】

【分析1令2x-4=0,得x=2,计算〃2)=a°+3=4,得到答案.

【详解】令2x-4=0,得x=2,.•./(2)=a()+3=4,

函数/(x)=/I+3的图象恒过定点(2,4).

故答案为:(2,4).

14.圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是.

【答案】26

【解析】

【详解】试题分析：设圆的半径为厂，其外切正三角形的边长为则r=1x@xa=N5a，又弧长为

326

考点：1.弧度制的定义及应用；2.三角形内切圆性质.

15.已知定义在［加一5,1—2向上的奇函数/(x),当xNO时，f(x)=x2-2x,则/(m)的值为

【答案】-8

【解析】

【分析】根据定义域的对称性，求得加=-4,再结合函数的奇偶性和题设条件，得到/(-4)=-/'(4),

即可求解.

【详解】解：由题意，定义在［加-5,1-2加］上的奇函数/(工)，

可得加一5=-(1-2〃7),解得僧=-4,

又由当x20时，f(x)=x2-2x,

所以/(-4)=-/(4)=-(42-2X4)=-8,

故答案为：-8.

16.函数/(x)满足=上)对任意xe［0,+co)都成立，其值域是乙，已知对任何满足上述条件

的/(X)都有3尸/(X),0VX4。｝=4，则。的取值范围为.

V5-1、

【答案】-----,+8

2)

【解析】

=4,然后可得当q<1二1时不合题意，进而即得;

【分析】由题可得｛引夕=/(x),OKx<

2

或等价于―\—<a恒成立,即1—(l+a)Wx恒成立，进而即得.

1+X+Q

【详解】法一：令》=」一，解得》=避二1(负值舍去)，

X+12

曲-1、

,使得/(否)=/*2),

F,

故=/(x),04xW='f，

若a〈造二L易得了

{"=/(x),OWa},

2

所以。之苴二1,

、

即实数。的取值范围为,+00

/

法二：原命题等价于任意。>0,/(x+a)=/------

''[1+x+a

所以——-——4anxzL-(l+a)恒成立，

1+x+aa

即:一(1+。)40恒成立，又a〉0,

所以比二1,

2、

即实数。的取值范围为,+8

7

故答案为：L一2--,+8).

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵：②根据新定义，对对应知识进

行再迁移.

四、解答题

17.设集合/={x|-1Kx42},8={X|2/M<X<1},C={x[x<-1或x〉2}.

(1)若/n8=8,求实数机的取值范围；

(2)若8cC中只有一个整数，求实数的取值范围.

【答案】(1)|/»|/«>-||

(2)<m<-1j

【解析】

【分析】(1)根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答

案；

(2)由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.

【小问1详解】

因为/口8=8,所以

2m<111

①当8K0时，由6右/,得I.,,解得一一<»/<-；

―2w>-122

②当6=0,即m2；时，6=4成立.

综上，实数机的取值范围是卜|〃亚-；}.

【小问2详解】

3

因为8cC中只有一个整数，所以B/0,且—3K2〃?<—2,解得一一

2

所以实数机的取值范围是[加|一^《"?<一”.

18.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每

辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.

（1）写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（xeN*）的函数关系式.

（2）这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？

【答案】（1）歹=16（-2丫2+238一50）；（2）运营5年可使年平均运营利润最大.

【解析】

【分析】（1）先分别计算出每辆车x年总收入与总支出，从而可求总利润N（万元）与运营年数x（xeN*

的函数关系式；

⑵年平均运用利润为予=1623-2卜+引，利用基本不等式可求平均运营利润最大值.

【详解】解：（1）依题意，每辆车x年总收入为100x万元，

总支出为200+16X（1+2+…+X）=200+；X（X+1）」6,

:.y=4100x-200-|x（x+l）-16=16（-2x2+23x-50）.

（2）年平均利润为2=16（23—2x—竺）=1623—2（%+纪）.

又xeN*，，x+至•竺=10,当且仅当x=5时，等号成立，止匕时上416x（23-20）=48.

xVxx

运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.

【点睛】本题以函数为载体，考查函数模型，结合基本不等式的运用，属于基础题.

19.已知奇函数/（x）=ln竺三.

（1）求实数a的值；

⑵判断函数./（X）在（1,小。）上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；

（3）当加⑵5],时，ln（l+x）〉/n+ln（x—l）恒成立，求实数机的取值范围.

3

【答案】（l）a=l;（2Mx）在（1,+8）上为减函数;（3）〃?<In/

【解析】

【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义，推出结果即可；

（2）利用函数的单调性的定义证明即可；

（3）推出〃2的表达式，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可.

【详解】解:

⑴r/a)是奇函数，认一》)=一危)，

即点山.

-r-Ir-I

...空1—,二，即32-],2=0,得@=±],

r+I«zr4-I

经检验4=-1时不符合题意，.・.Q=1.

-LI

(2)/(工)="3r,加)在(1,+8)上为减函数.

r-I

下面证明：任取孙必£(1，+8),且X]<M，

A、〃、一7幻♦।7Irr^IX：Inx2*nI

X^i)一人巧)-岳---「仇-----r-加(z----Z7)—1n------；---------T

n*Ir7-Ifi-In+Irun卜_n-g-I

/♦I，!)I、

VX]<X2»-'-X2—%1>0,-------------------->1,

rUT>tXi-X>-I

.・贝>1)一外2)〉0,XX|)>Xx2),

・V(x)为(1，+8)上的减函数.

r+I

⑶由已知得m<iln(\+x)—ln(x—1),即m〈ln------.

r-I

lI

由⑵知兀v)=>山r在[2,5]上为减函数.

r-I

II3

则当X=5时，t),,,,„=In-,

十日।3

于是加<ln—..

2

【点睛】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力.

20.已知函数/(x)=x\x-a\+bx.

(1)若〃=2,且/G)是R上的增函数，求实数6的取值范围；

(2)当6=0时，若关于x的方程/(x)三什1有三个实根，求。的取值范围.

【答案】⑴b>2(2)a>3或者。V-1

【解析】

【分析】(1)写出解析式，利用单调性求解；

(2)将关于X的方程/«)=x+l的实根个数问题转化为y=|x-44=1+：的图像的交点个数问题,

再由图象得出结论.

x2+(b-2)x,x>2

【详解】解：(1)当〃=2,/(x)=x|x-2|+bx=<2/,r,/(x)是&上的增函数，

-x+(b+2)x,x<2

则22a<2,±故6Z2.

22

(2)6=0,f(x)=x|x-a|=x+l,若x=0显然不成立，

上式可变为g3=1+L,由则l+,N)得%£(—8,-1]=(0,+8),

XX

分别作出y=\x-a\,y=1+工的图像，

x

则关于X的方程/(x)=x+l有三个实根等价于y=\x-a\,y=\+工的图像有三个交点,

X

又函数y=|x-a|,y=1+'的图像如图所示：

x

根据图象可知，当y=|x-a|,y=1+，的图像有三个交点时，”>3或者。<-1,

X

故a的取值范围为a>3或者a<-\.

【点睛】考查了分段函数的单调性问题及函数零点问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，中档题.

21.已知奇函数/(X)的定义域为(-8,0)口(0,+8),且当x>0时,/(x)=x+log2x.

(1)求/(X)的解析式：

(2)已知g(x)=x+2',存在多，&使得/(xJ=g(X2)=0,试判断M，入2的大小关系并证明.

,、[x+log7xx>0

【答案】(I)~.■(2)当王<0时，x=x-当士>0时再>0>%2，证明

7l2

、[x-log2(-x)x<0

见解析.

【解析】

【分析】⑴令x<0得T>0,利用x>0时/(x)=x+log2X和奇函数的性质即可.

(2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性，计算即可得出结果.

【详解】⑴令x<0,则-x>(),因为/(X)为奇函数，

所以/(X)=-/'(-X)=+log,(-x))=x-log2(-x),

x+logxx>0

所以/(x)=<2

x-log2(-x)x<0

(2)当x>0时，/(x)=x+log2x,易知/(x)在(0,+8)上单调递增,

因为/(；)=；_l=_g<0,/(1)=1>0,

所以“X)在(0,+8)上存在唯一零点，

因为/(工)为奇函数，所以/(x)在(一*0)上存在唯一零点,

所以/(，)有两个零点，

易知g(x)=x+2'在R上单调递增，

111

因为g(—金)=—金+22>0,./(-1)=-1+2-'<0,

所以g(x)=x+2"在R上存在唯一零点4，且一;<》2<0，

因为g(》2)=X2+2*2=0，所以一彳2=2*,即1082(—々)=》2，即々一log2(—吃)=°，

所以&也是“X)的一个零点，

所以当玉<0时，Xi=x2；当士>0时X|〉0>

V

22.已知函数函(x)=log4(4+1)+Ax(keR)是偶函数.