高等数学公式必背大全

高等数学必背公式

说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。

导数公式：

(tgx)r=sec2x(arcsinx)"=/

71-%2

(c/gx)'=-csc2x

(secx)r=secx-rgx(arcCOSY)'=——/

(cscx)'=-csex・c/gx

xx{arctgxS=-~r

(ay=a\na\+x

(log"x)'=1-{arcctgx)'=--^-r

xlna1+x

基本积分表：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cdx=Jsec2xdx=tgx+C

2

COSX

jctgxdx=]n\sinx|+C

dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

jsecxdx=ln|secx+tgj^+Csin2x

Jsecx•fg点=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-etg^+C

jcsex•ctgxdx=-cscx+C

rdx1X

=—arctg—+C

JQ_2+JT2aa

rdx1,x-a

=—In+C

x2-a22ax+a^slzxdx=chx-^C

rdx

Ja2-x2=—In-------+C\chxdx=s/tr+C

2aa-x

；22

=arcsin—+CJj:x=ln(x+ylx±a)+C

a

汽K

22

jsin"xdr=jcos〃xdx=

ln-2

oon

Jdx1+ci。dx=-Jx2+十+—ln(x+ylx2+a2)+C

+c

______________2

[yla2-x2dx=—y1a2-x2+—arcsin—4-C

J22a

三角函数的有理式积分：

.2u1—u~x2du

sinx=------7,cosx=------r"为dx=

l+〃2l+〃25,1+w2

一些初等函数:两个重要极限:

sinx

双曲正弦:~—lim=1

2A->0x

X.-X与=

双曲余弦:Mx=£lim(l+e=2.718281828459045...

218%

双曲正切:卅0=四=0'一''

chxex+er

arshx=ln(x+Vx2+1)

arclvc=±]n(x+ylx2-1)

1+x

arthx=—\n

2l-x

三角函数公式:

"诱导公式：

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

'和差角公式:・和差化积公式:

a+£a-B

sin(a±£)=sinacos4±cosasin0sina+sin0=2sin-----cos-

2-------2

cos(tz±/7)=cos6zcos^+sinasin夕

sina-sin"2cos萼sin学

tg(a±/3)=吟上tgP

l*gatg(3

Aca+/?a—0

cosa+cos)=2cos—^-cos—

ctga-ctg/3+l

c/g(a±')=

ctgp±ctgao、.a+B.a-B

cos6z-cosp=2sin-----sin-----

22

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2«=2cos2<z-l=l-2sin2«=cos2cr-sin2<zsin3a=3sina-4sin'a

八ctg2a-\cos3a=4cos3a—3cosa

ctgla=----------

2ctga3tga-tg3a

火3a

2tga1一3次2a

tg2a

1—g2a

・半角公式:

abc-八

■正弦定理：----=-----=-----=2R・余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

JI71

■反三角函数性质：arcsinx=----arcco&varctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式:

（―严网

£=0

(n)()+〃(〃-1)…(〃-八1)/.网

=uv+nu"-'v'+如《11"2"+-\----FHV(，，)

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/（。）一/（。）=/'©）3-。）

柯西中值定理:

FS)-F(a)尸C)

当FQ）=x时，柯西中值定理就越立格朗日中值定理。

曲率:

2

弧微分公式：ds=yJ\Tydx,其中y'=fga

平均曲率去=|等卜c:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

M点的曲率：=lim—=—=.^1.

a。AsdsJ(l+y，2)3

直线：K=O;

半径为a的圆：K=L

a

定积分的近似计算:

bi

矩形法:J/（九）^一^（%+弘+…+先.|）

DI1

梯形法：J/(x)“一/片⑶。+y〃)+x+…+y〃_J

抛物线法：j/(x)b—a

“工收+"）+"+”+…+小）+4M％+—]

定积分应用相关公式:

功：W=F-s

水压力：F=p.A

引力：尸=左吗2,%为引力系数

厂

_1方

函数的平均值=——Jf(x}dx

均方叫六

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：(1=\MXM^J(%2—西产+⑵一必产+仁一马了

向量在轴上的投影Pr/"Q=|洞・cose，濯通与〃轴的夹角。

Prju(4+之?)=Pr而]+Prja2

a-b=\a\-1^|cos^=axbx+ayby+生/，是一个数量

两向量之间的夹角cos。=。也+3,+3

[a：+a；+a；yb,2+b：+b；

ijk

c=axb=axay生,同=同卡卜山。.例：线速度：v=vvxr.

bxbybz

%ay%

向量的混合积区网=(axB)I=2hy/=上可向cosa,a为锐角时,

%JC2

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0,其中而=式㈤。｝,%//，小/。)

2^一般方程：Ax+By+Cz+£)=0

3、截距世方程1+，+三=1

abc

平面外任意一点到该平前的距离：d[A>+3yo+Czo+D|

^IA2+B2+C2

x=mt

空间直线的方程口•=»二比=二包=r，其中6=｛见〃,〃｝;参数方程1y=为+9

mnp

[z=z0+m

二次曲面：

222

1、椭球面3+与+-=1

ab“c

22

2、抛物面二+二=z,(p，4同号)

2P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面为+2-二=1

a2b2c2

222

双叶双曲面・•-方+亍=1(马鞍面)

多元函数微分法及应用

人八j0z」dz,,du,du,du,

全微分：dz--dx-\----dydu--dx-\-----dy-\-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az=dz=fx{x,y)Av+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

dz_dzdudzdv

z=/[w(/),v(r)]

dtdudtdvdt

dz_dzdudzdv

z=/[〃(%,y)#(%,y)]

dxdudxdvdx

当〃=w(x,y),v=v(x,y)时,

,dudu..5v.dv,

du=——dtx+——dydv=——dx+——dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数尸(x,y)=0,包=一里

dxFY

隐函数尸(x,y,z)=0,叁dz=一F,

dxF

加

aF一

标

F(x,y,u,v)=0j/(F,G)av氏F、,

隐函数方程组丝

G(x,y,u,v)=0d(u,v)aG一G.G

lauav

a

-ia(£G)v-1d(F,G)

/d(x,v)-Jd(u,x)

aax

v

-1d(F,G)--1d(F,G)

J-A

a,(aya,(7

微分法在几何上的应用:

x=甲")

空间曲线y=”(t)在点M5,y°,zo)处的切线方程三二%=芍也=曰_

'。仇)“伉)〃&)

Z—(0(1)

在点M处的法平面方程：e'(fo)(x-Xo)+”'Qo)(y-y())+G'(7o)(z-z0)=0

若空间曲线方程为'>'Z)U，则切向量亍={2工工

G(羽y,z)=0G、,G「G二G"G

曲面厂(尤,y,z)=0上—点M(x0,y0,z0),则：

1、过此点的法向量：/2={Fv(x0,y0,z0),Fv(x0,y0,z0),Fr(x(),y0,z()))

2、过此点的切平面方程工(与广0,20)。一%)+4(%,%,20)(>->0)+工(>0,y0,20)(2-20)=0

3、过此点的法线方程：—=——=—X—

工(尤0，%，2。)工(Xo，yo，Zo)工(Xo，yo，Zo)

方向导数与梯度:

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为2=%cosp+更sin夕

cldxdy

其中泌U轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在一点〃(x,y)的梯度：gracj〃x,y)=或：+

dxoy

它与方向导数的关系=(无,y)Z,其中0=cose"+sin0・J,为/方向上的

dl

单位向量。

g是gracj/Xx,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设A(Xo,%)=/'.(/，%)=°，令：九*0，儿)=A，力>(%,%)=8,fyy(xo,yo)=c

A<0,(%,凡)为极大值

AC-B2>0时,<

A>0,(%,%)为极小值

则XAC-B2<0时,无极S

AC—B2=0时，不确定

重积分及其应用：

JJ/(x,y)公办=JJf(rcos0,rsm0)rdrd0

DD'

dz

曲面z=f(x,y)的面积A=JJ++dxdy

Ddx

JJxp(x,y)daJJymx,y)db

平面薄片的重心：元=一Dy_y_D_______________

MJJp(x,y)daMJJo(x,y)db

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/〈=JJy”(x,y)db,对于y轴/、,=JJ/pSyMcr

DD

平面薄片(位于my平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a〉0)的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:

F_川「(%W，F_川p(x,y)ydb,尸二八/7(x,)-)x"b

22D22D22

D(x2+y+ay(x+y+a2)2(x+y+iz2)2

柱面坐标和球面坐标:

x=rcos^

柱面坐标，y=rsin。,jjjf(x,y,z)dxdydz=JjjF(r,e,z)rdfdOdz,

z=znQ

其中：F(r,8,z)=/(rcos^,rsin^,z)

x=rsin/cos。

球面坐标，y=rsin^sin^,dv=rd(p•rsM①•dB,dr=户sm(pdrd(pdO

z=rcos(p

Innr((p,0)

JJJf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,(p,0)r2s\sx(pdrd(pdO=^dO^d(pF(r,(p,0)r2sin(pdr

Qcooo

重心：*=50卜刖’歹=2=其中V

lV1QlV1Q.LViQ.M=H=JQ"*

22

转动惯量：4=/，(/+Z?)刖，/y=jjju+z)/Wv,A=JJJ，+y2)M

ccc

曲线积分:

第一类曲线积分(对帐的曲线积分)：

设/Xx,y)在L上连续，L的参数方程为(a«/4£)，贝U：

)=*)

Jf(x,y)ds=Jfl(p⑴，w(t)]](pC⑴+“'2⑺出(a<(3)特殊情况

Lay=WQ)

第二类曲线积分(对坐示的曲线积分)：

设L的参数方程为[尤=则：

P

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P[(p(t),y/(t)](pXt)+}dt

Lct

两类曲线积分之间的：jPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos£)ds,其中a和0分别为

LL

L上积分起止点处切向勖方向角。

,(空多温〉=严+迎滞林公刊等爵物产出。力

格林公式

当「=—y,Q=x,即:义_?=2时，得至必＞的面积：A^\\dxdy^-^xdy-ydx

“xD2工

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且丝=名。注意奇点，如0,0),应

oxcy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在吆=2时，Pdx+Qdy才是二元函翻(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(x,y)

“(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设“=%=°。

(闻，)'0)

曲面积分：

对面积的曲面积分jj/(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)]，l+z；(x,y)+z；(x,y)d>ccfy

工o.,y

对坐标的曲面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

jjR(x,y,z)dxdy=±jj/?[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

ZDx).

jjP(x,y,z)dydz=±jJP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

2外

jjQ{x,y,z)dzdx-±J|Q[x,y(z,x),z\dzdx,取曲面的右侧时取正号。

£

两类曲面积分之间的7^：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds

z工

高斯公式:

jjj(-^++-^)Jv=耳Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=@(尸cosa+Qcos/?+Rcosy)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div,=^+詈+普，即：单位体积内所产生的流体质量'若div丘＜0,则为消失…

通量:。A-iids=JjAnds=jj(尸cosc+Qcos尸+Rcos/)ds,

zzz

因此，高斯公式又可写成切div,dy=0A/

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

「f/JHdQ.,」,dPbR、」,.dQ

dxdy=1Pdx+Qdy+Rdz

dy也dzdxdxr

dydzdzdxdxdycostzcos/3COS/

a

上式左端又可写成gddd叩dd

dx办dzEdxSydz

PQRPQR

空间曲线积分与路径赛的条件并等等哈鲁啜

jk

A0

旋度：rotA=一&

dxa-vR

PQ

向量场区沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=JA-tds

rr

常数项级数：

等比数歹!J」+q+q2+…+0i——

i-q

等差数列4+2+3+…+〃=如业

2

调和级数：1+,+!+…+!是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法—根植审敛法（柯西判别法）：

「＜1时，级数收敛

设：x?=lim则,「〉1时，级数发散

夕=1时,不确定

2、比值审敛法：

‘夕＜1时，级数收敛

设：P=则p＞l时，级数发散

“一＞00TJ

0=1时，不确定

3、定义法：

%=%+〃2+…+s“存在,则收敛；否则缙

8

交错级数-〃2+〃3-N4+…（或-%+“2-“3+…，〃"＞。）的审敛法----莱布尼兹定理:

如果交错级数满同U盎„＞“U1,,,,0,那么级数收敛且其和4小,其余项项绝对瞰

、〃TOOn

绝对收敛与条件收敛：

（1）H,+tt2+•••+«„+•••,其中〃“为任意实数；

（2）|«i|+k|+kI+…+1"」+…

如果⑵收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对I攵敛级数;

如果⑵发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数发散，而攵敛

级数25收敛；

P级数研P41时发散

〃＞1时收敛

塞级数:

2④/|X|<1时，收敛于1

时，发散

对于级数(3)%+…+。“九"+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/k|<R时收敛

数轴上都收敛，则必存生R,使时发散，其中R称为收敛半径。

=R时不定

/夕彳0时，R^-

求收敛半径的方法：设im瞑=夕，其中%,是⑶的系数，贝j0=0时，R=+8

n\P~+8时，R=0

函数展开成塞级数：

函数展开成泰勒级数：/5)=/(x°)(x-Xo)+A^(…。)2+…(…0)"+…

2!〃！

余项：凡=(22也(XT。严J(X)可以展开成泰勒级数娥要条件是：limR,,=0

(n+1)!"十

/=(»寸即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+/(0)%+/3/+…+O22/+…

2!nl

一些函数展开成幕级数：

(l+x)=l+/nx+-------+・・•+------------------------------龙+•・・(-1<X<1)

2!〃！

r3r5

sinx=x-----+---------+(-1)〃T--------------+•・・(-co<x<4-oo)

3!5!(2〃—1)!

欧拉公式:

Lx,-ix

e+e

cosx=

e“=cosx+zsinx或2

sinx=

2

三角级数:

8oo

=包

/(f)=4+Z4sin(〃(yr+(p“)+Z(。〃cos+bnsinnx)

n=l2〃=i

其中，4=an=Ansin(pn,bn=Ancos9“，cot=x。

正交性：l,sinx,cosx,sin2尤,cos2x…sin〃x,cos/x…任意两个不同项的乘积£[-4,乃]

上的积分=0。

傅立叶级数:

f(x)=多+£3〃cosnx+bnsinnx\周期=2%

2〃=i

]元

an=—jf{x}c^snxdx(〃=0,1,2…)

其中—T[

|元

bn=—\/(x)simzxdx(〃=1,2,3…)

-7C

,11£万2

1+—r+-^-+---=+..•=土(相加)

3252T6

万2

111兀2

—(fflM)

了+不+图+...-2412

2冗

正弦级数：*=0,bn=—Jf(x)sinnxdxn=1,2,3,1,/(x)=WXsin是奇函数

71o

2R

/（X）=*+Z。"COSMX是偶函数

余弦级数：2=0,an=—Jf(x)c^nxdx〃=0,1,2…

冗o

周期为2/的周期函