专题05 阿氏圆求最小值（含答案）-2024年中考数学压轴满分突破之二次函数篇

2024中考数学压轴题--二次函数第5节阿氏圆求最小值内容导航方法点拨点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：【破解策略详细步骤解析】例题演练例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A(1)求点A的坐标；(2)点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；练1.1如图1，抛物线y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．(2)设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+AE′的最小值．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．(1)求点P的坐标及直线AC的解析式；(2)如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接FA、FC．求AF+CF的最小值；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．中考数学压轴题--二次函数第5节阿氏圆求最小值内容导航方法点拨点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：【破解策略详细步骤解析】例题演练例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A(1)求点A的坐标；(2)点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；【解答】解：(1)∵y＝x2+4x＝(x+2)2﹣4，∴A(﹣2，﹣4)；(2)如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B(﹣6，12)，∴直线AB解析式为y＝﹣2x设P(m，m2+4m)，则H(m，﹣2m)，PH＝﹣2m﹣(m2+4m)＝﹣m2﹣6m∵点M为线段OB的中点，∴M(﹣3，6)，∴MD＝3∵PH∥y轴∴∠PHG＝∠MOD∵PG⊥BCMD⊥y轴∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO∴＝，即PG•MO＝PH•MD＝3(﹣m2﹣6m)＝﹣3m2﹣18m，∴S△POM＝PG•MO＝﹣9m＝﹣(m+3)2+∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P(﹣3，﹣3)，在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，∵PC＝3，PQ＝∴＝＝∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT∵OT＝＝＝∴OQ+QC的最小值为；练1.1如图1，抛物线y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：(1)令y＝0，则ax2+(a+3)x+3＝0，∴(x+1)(ax+3)＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A(4，0)，B(0，3)，设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．(2)如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝(4﹣m)，∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．(3)如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，最小值＝AM′＝＝．练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．(2)设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+AE′的最小值．【解答】解：(1)把点A(8，0)代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，∴16a＝﹣6，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，∴B(0，6)．设AB为y＝kx+b过A(8，0)，B(0，6)，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．(2)∵E(m，0)，∴N(m，﹣m+6)，P(m，﹣m2+m+6)．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴＝，∴＝，解得：AN＝．∵PM⊥AB，∴∠PMN＝∠NEA＝90°．又∵∠PNM＝∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵＝，∴，∴PM＝AN＝×＝12﹣m．又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．∵0＜m＜8，∴m＝4．(3)①在(2)的条件下，m＝4，∴E(4，0)，设Q(d，0)．由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，若△OQE′∽△OE′A．∴＝．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴＝，解得：d＝2，∴Q(2，0)．②由①可知，当Q为(2，0)时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，∴AE′＝QE′，∴BE′+AE′＝BE′+QE′，∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，∵B(0，6)，Q(2，0)，∴BQ＝＝2，∴BE′+AE′的最小值为2．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．(1)求点P的坐标及直线AC的解析式；(2)如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接FA、FC．求AF+CF的最小值；【解答】解：(1)在抛物线y＝x2+x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴P(2，3)，当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，B(﹣4，0)，A(6，0)，设直线AC的解析式为y＝kx+3，将A(6，0)代入，得，k＝﹣，∴yAC＝﹣x+3，∴点P坐标为P(2，3)，直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3；(2)在OC上取点H(0，)，连接HF，AH，则OH＝，AH＝＝＝，∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴＝，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值为；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【解答】解：(1)直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C(0，5)y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A(1，0)∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B(5，0)(2)如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M(m，m2﹣6m+5)(1＜m＜5)∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4(﹣m2+6m﹣5)＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2(m﹣3)2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2(m﹣3)2+8]＝﹣2(m﹣3)2+18∴当m＝3，即M(3，﹣4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18(可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解)(3)如图2，在x轴上取点D(4，0)，连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+PA＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+PA的最小值为练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．【解答】解：(1)由题意A(，0)，B(﹣3，0)，C(0，﹣3)，设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣)，把C(0，﹣3)代入得到a＝．故抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D(0，﹣1)，∴直线AD的解析式为y＝x﹣1，由题意P(m，m2+m﹣3)，H(m，m﹣1)，F(m，0)，∵FH＝PH，∴1﹣m＝m﹣1﹣(m2+m﹣3)解得m＝﹣或(舍弃)，∴当FH＝HP时，m的值为﹣．(3)如图，∵PF是对称轴，∴F(﹣，0)，H(﹣，﹣2)，∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝OA＝3，∴E(0，3)，∵C(0，﹣3)，∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，∴QH＝CH＝1，在HA上取一点K，使得HK＝，此时K(﹣，﹣)，∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴＝，∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴＝＝，∴KQ＝AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．中考数学压轴题--二次函数第6节费马点求最小值内容导航方法点拨△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，∴PC=QE，AP=PQ∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE

当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小例题演练题组1：费马点在三角形中运用例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是(用a，b表示)练1.1问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝；问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．题组2：费马点在四边形中运用例2．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA+PB+PC的最小值为．练2.1如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．例3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点(A在F的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；(3)点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．练3.1如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．中考数学压轴题--二次函数第6节费马点求最小值内容导航方法点拨△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，∴PC=QE，AP=PQ∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE

当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小例题演练题组1：费马点在三角形中运用例1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是(用a，b表示)【解答】【探究】证明：∵以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD，∴PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，∴∠PCA＝∠MCD，在△ACP和△DCM中，，∴△ACP≌△DCM(SAS)，∴MD＝PA；【应用】解：连接BD，如图所示：∵△APC≌△DCM，∴∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，∴∠ACP+∠PCB＝∠DCM+∠PCB，∴∠DCM+∠PCB＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝60°+60°＝120°，作DF⊥BC于F，则∠CFD＝90°，在Rt△CDF中，∵∠DCF＝180°﹣120°＝60°，CD＝b，∴∠CDF＝30°，∴CF＝AC＝b，DF＝CF＝b，∴BF＝a+b，∴BD＝＝＝；当B、P、M、D共线时，PA+PB+PC的值最小，即PA+PB+PC的最小值为：；故答案为：．练1.1问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝；问题探究(2)如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)如图①，由旋转的性质可知：△BCC′是等边三角形，∴CC′＝BC＝2，故答案为2．(2)如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．由旋转的性质可知：△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，∵PC+PF+EF≥EC，∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，易证BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，∵EB⊥BC，∴EC＝BC＝3，∴PA+PB+PC的最小值为3．(3)如图③﹣1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，∴BQ＝QG，PQ＝EG，∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，∴EC的值最小时，QP+QB+QC的值最小，如图③﹣2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．易证△BEO′≌△BPO(SAS)，∴EO′＝OP，∵∠APD+∠AJD＝180°，∴A，P，D，J四点共圆，∴OP＝，∴EO′＝，∴点E的运动轨迹是以O′为圆心，为半径的圆，∴当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，连接OO′，延长OO′到R，使得O′R＝OO′，连接BR，则∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延长线于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．在Rt△OBM中，BM＝5，OM＝，∴OB＝＝，∴BR＝OB＝14，由△BHR∽△OMB，∴＝，∴RH＝5，∵HR∥O′T∥OM，OO′＝RO′，∴TM＝TH，∴O′T＝＝，∴BT＝＝3，∴CO′＝＝，∴CO′﹣EO′＝﹣＝．∴QP+QB+QC的最小值为．题组2：费马点在四边形中运用例2．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA+PB+PC的最小值为．【解答】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，△BPC≌△BP'C'，∴△BPP'是等边三角形，PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，∴当线段AP，PP'，P'C'在一条直线上时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，过点C'作C'E⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，∴∠EBC'＝30°，∴EC'＝1，BE＝EC'＝，∴AE＝2+，∴AC'＝＝＝+，故答案为：+．练2.1如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：(1)如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；∵∠MBN＝60°，∴BE＝BA，∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE；在△AMB与△ENB中，，∴△AMB≌△ENB(SAS)，(2)顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形．即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．BM＝BF•cos30°＝BC•cos30°＝，则AM＝+＝，∵AB＝BF，∠ABF＝150°∴∠BAF＝15°既得AF＝＝+1．例3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0，2)，点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点(A在F的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；(3)点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．【解答】解：(1)过E作EG⊥OD于G(1分)∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，∴△BOD∽△EGD，∵点B(0，2)，∠ODB＝30°，可得OB＝2，；∵E为BD中点，∴∴EG＝1，∴∴点E的坐标为(2分)∵抛物线经过B(0，2)、两点，∴，可得；∴抛物线的解析式为；(3分)(2)∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧，∴A点的坐标为∴，∴在△AGE中，∠AGE＝90°，(4分)过点O作OK⊥AE于K，可得△AOK∽△AEG∴∴∴∴∵△OMN是等边三角形，∴∠NMO＝60°∴；∴，或；(6分)(写出一个给1分)(3)如图；以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；易证OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，则△OBE是等边三角形；连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置(即费马点)；∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO＝∠AEO；∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，∴∠POP'＝60°，∴△POP′为