2024年度-2高等数学(慕课版)(第2章)教案

2高等数学(慕课版)(第2章)教案1目录课程介绍与教学目标极限与连续导数与微分中值定理与导数应用不定积分与定积分常微分方程初步201课程介绍与教学目标3高等数学课程简介高等数学是大学数学的重要组成部分，主要研究函数、极限、微分学、积分学等内容，为后续专业课程提供必要的数学基础。通过本课程的学习，学生应掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，培养抽象思维、逻辑推理和数学运算能力。4知识目标掌握函数、极限、连续、微分、积分等基本概念和理论，理解相关定理和公式的推导过程。能力目标能够运用所学知识解决简单的实际问题，具备初步的数学建模能力。素质目标培养学生的数学素养和创新能力，提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。教学目标与要求0302015第1章函数与极限：介绍函数的概念、性质、极限的定义及运算法则，包括无穷小量、无穷大量等概念。第2章导数与微分：讲解导数的定义、性质、计算法则及其在几何、经济等领域的应用，介绍微分的概念及计算方法。第3章中值定理与导数的应用：阐述中值定理的内容及其证明方法，探讨洛必达法则、泰勒公式等导数应用问题。第4章不定积分：研究不定积分的概念、性质、计算法则及其在几何、物理等领域的应用。第5章定积分及其应用：讲解定积分的概念、性质、计算法则及其在面积、体积等计算中的应用，介绍广义积分的概念及计算方法。章节内容与安排602极限与连续7描述当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的确定数值。极限的定义唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则等。极限的性质从左侧或右侧趋近时函数值的极限。左右极限极限概念及性质8ABDC无穷小量的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于0的量。无穷小量的性质有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界量的乘积是无穷小量。无穷大量的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无穷大的量。无穷大量与无穷小量的关系在同一变化过程中，如果f(x)是g(x)的无穷小量，那么g(x)就是f(x)的无穷大量。无穷小量与无穷大量9极限的四则运算法则在自变量的同一变化过程中，如果两个函数都有极限，那么它们的和、差、积、商（分母极限不为0）的极限等于各自极限的和、差、积、商。复合函数的极限运算法则如果内层函数和外层函数在相应的变化过程中都有极限，那么复合函数的极限等于外层函数在内层函数极限处的极限值。极限运算法则10连续函数的定义在自变量的某一区间内，如果函数在每一点都连续，则称该函数在该区间内连续。连续函数的性质局部有界性、保号性、四则运算法则、复合函数的连续性等。间断点的分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。连续函数概念及性质1103导数与微分12010203导数定义导数描述了函数值随自变量变化的速率，即函数在某一点处的切线斜率。导数计算方法通过求极限的方式计算导数，包括基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。导数的几何意义导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，可以反映函数的增减性和变化趋势。导数概念及计算方法13高阶导数定义函数的高阶导数是指对其多次求导后得到的导数，反映了函数更高层次的变化特征。高阶导数计算方法通过连续求导的方式计算高阶导数，需要掌握高阶导数的计算法则和公式。高阶导数的应用高阶导数在函数的极值、拐点、凹凸性等方面有重要应用，是数学分析中的重要工具。高阶导数计算与应用14微分计算方法通过求导数和乘以自变量的增量来计算微分，需要掌握微分的基本公式和运算法则。微分的几何意义微分在几何上表示曲线在某一点处的切线纵坐标的增量，可以反映函数在该点处的局部变化特征。微分定义微分是函数在某一点处的局部变化量，即函数值的增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于零时的极限。微分概念及计算方法15边际分析01导数在经济学中用于边际分析，即研究经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。通过求导数可以得到边际函数，进而分析经济行为的边际效应。弹性分析02微分在经济学中用于弹性分析，即研究经济变量之间的相对变化关系。通过求微分可以得到弹性系数，进而分析经济变量之间的敏感度和相互影响程度。最优化问题03导数和微分在经济学最优化问题中有广泛应用，如求解最大利润、最小成本等。通过求导数和微分可以找到函数的极值点和最值点，进而确定最优解。导数与微分在经济学中应用1604中值定理与导数应用17中值定理内容及证明费马引理阐述可导函数在极值点处的导数性质，即函数在极值点处的导数为零。罗尔定理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，且区间两端函数值相等，则至少存在一个点使得函数在该点的导数为零。拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，则至少存在一个点使得函数在该点的导数等于区间两端函数值之差与区间长度的比值。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，涉及两个函数的导数之间的关系。18洛必达法则及应用举例洛必达法则在求解不定式极限时，通过分子分母分别求导来简化计算的方法。适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。应用举例求解复杂函数极限、判断函数渐近线、求解含参变量的极限等。19用多项式逼近一个可导函数的方法，即一个可导函数可以表示为其在某点的各阶导数与对应的泰勒多项式的和。近似计算函数值、估计误差、证明不等式、求解微分方程等。泰勒公式及应用举例应用举例泰勒公式20函数单调性判断通过函数的导数来判断函数的单调性，即当导数大于零时函数单调增加，当导数小于零时函数单调减少。极值判断通过函数的二阶导数来判断函数的极值，即当二阶导数大于零时函数取得极小值，当二阶导数小于零时函数取得极大值。同时结合一阶导数来判断极值点的位置。函数单调性与极值判断2105不定积分与定积分2201不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，结果是一个函数族，每个函数之间相差一个常数。不定积分的定义02不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质。不定积分的性质03通过凑微分、换元法、分部积分法等方法求解不定积分。不定积分的计算方法不定积分概念及计算方法23定积分的定义定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，结果是一个数。定积分的计算方法通过牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分法等方法求解定积分。定积分的性质定积分具有可加性、保号性、绝对值不等式性质等。定积分概念及计算方法24广义积分是对定积分的扩展，允许积分区间包含无穷大或函数在区间内有瑕点。广义积分的定义无穷限广义积分和瑕点广义积分。广义积分的分类通过变量替换、分部积分等方法求解广义积分，注意验证积分的收敛性。广义积分的计算方法广义积分简介及计算举例25123计算平面图形的面积、旋转体的体积等。定积分在几何学中的应用计算变力做功、液体压力、引力等物理量。定积分在物理学中的应用通过具体实例分析定积分在几何学和物理学中的应用，如计算抛物线弓形面积、圆柱体体积等。举例分析定积分在几何学和物理学中应用2606常微分方程初步27常微分方程基本概念和分类常微分方程的解使得方程成立的函数。常微分方程的阶方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。常微分方程定义含有未知函数及其导数（或微分）的方程，且导数（或微分）的阶数是常数。常微分方程的通解与特解含有任意常数的解称为通解；不含任意常数的解称为特解。线性与非线性常微分方程未知函数及其各阶导数（或微分）的次数都为一次的方程称为线性方程；否则称为非线性方程。28齐次方程形如dy/dx=f(y/x)或dx/dy=f(x/y)的方程，可通过变量代换化为可分离变量的微分方程求解。伯努利方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n(n≠0,1)的方程，可通过变量代换化为一阶线性微分方程求解。一阶线性微分方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的方程，可通过常数变易法或公式法求解。可分离变量的微分方程形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可通过两边积分求解。一阶常微分方程解法举例29二阶线性微分方程形如y''+P(x)y'+Q(x)y=0的方程，可通过特征根法或常数变易法求解。二阶常系数线性微分方程形如y''+py'+qy=0(p,q为常数)的方程，可通过特征根法求解。可降阶的二阶微分方程形如y''=f(x,y')或y''=f(y,y')的方程，可通过降阶法求解。二阶常微分方程解法举例30ABCD