第6讲一元二次方程及其应用（讲义）（原卷版）-2024年浙江中考数学一轮复习

第二单元方程（组）与不等式（组）第6讲一元二次方程及其应用课标要求课标要求1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式；2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系；4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.备考指南备考指南考点分布考查频率命题趋势考点1一元二次方程的相关概念☆本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右.预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．考点2一元二次方程的解法☆☆考点3一元二次方程的根与系数的关系☆考点4一元二次方程的应用☆☆知识网络知识网络知识清单知识清单1．一元二次方程的定义：两边都是，只含有，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程．我们把称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．2．一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有，，，四种.(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用求出方程的解．(3)公式法：求根公式(其中)．(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．3．一元二次方程根与系数的关系：（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac①当Δ＞0时，方程实数根．②当Δ＝0时，方程实数根．③当Δ＜0时，方程实数根．（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，4．一元二次方程的实际应用：常见的等量问题：(1)平均增长率(下降率)问题：如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为．(2)利润问题：利润＝售价－，利润率＝，销售价＝(1＋)×进货价．(3)利息问题：利息＝本金××时间，本息和＝＋利息．(4)面积问题：如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求面积．设通道的宽为x，则S空白＝．深度讲练深度讲练■考点一一元二次方程的有关概念►

典例1：（2023•兰溪市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（）A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024◆变式训练1．（2021•永嘉县校级模拟）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．ax2+bx+c＝0 D．2．（2021•永嘉县模拟）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝03．（2023•长兴县二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值是2．■考点二一元二次方程的解法►

典例2：（2021•东阳市模拟）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．◆变式训练1．（2022•永康市模拟）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣402．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣13．（2021•滨江区二模）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．4．（2021•湖州模拟）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．■考点三一元二次方程根的判别式►

典例3：（2023•龙湾区模拟）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜◆变式训练1．（2022•龙泉市一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝02．（2023•瓯海区四模）已知关于x的方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（）A．10 B．25 C．﹣25 D．±253.（2021•长兴县模拟）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．■考点四一元二次方程根与系数的关系►

典例4：（2023•海曙区模拟）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1◆变式训练1．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（2022•宁波模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2＝2．■考点五一元二次方程的应用►

典例5：（2021•宁波模拟）某商场品牌经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（）A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000 C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝50002．（2021•宁波模拟）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份桔梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．◆变式训练1．（2022•衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000 C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝80002.（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝363．（2023•拱墅区三模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为64万，设新注册用户数的年平均下降率为x（x＞0），则x＝（用百分数表示）．4．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．真题演练真题演练1．（2022•婺城区模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．20232．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝33．（2023•浦江县模拟）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣14．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣95．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜46．（2023•黄岩区一模）神舟十五号载人飞船搭载3名宇航员于2022年11月29日进入太空，在中国空间站进行了很多空间实验，计划今年6月返回．太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，即将宇航员的汗液、尿液和太空水收集起来，经过特殊的净水器处理成可用水循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中的杂质x%，经过2次过滤可使水中的杂质减少到原来的64%，根据题意可列方程为（）A．1﹣2x＝64% B．（1﹣x）2＝64% C．2（1﹣x%）＝64% D．（1﹣x%）2＝64%7．（2022•婺城区模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝8648．（2022•浦江县模拟）如图，要设计一幅宽10cm，长15cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽度是3xcm，则可列方程为（）A．4x×10+6x×15＝×10×15 B．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×15 C．4x×10+6x×15＝×10×15﹣2x×3x×4 D．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×159．（2023•武义县一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则代数式x1+x2＝．10．（2022•金华模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一个根为x＝1，写出满足条件的实数a，b的值．11．（2021•嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为．12．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．13．（2022•仙居县二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），此方程的解为x1＝2，x2＝3．则关于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解为．14．（2021•南浔区模拟）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为．15．（2021•婺城区模拟）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．16．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．17．（2023•舟山一模）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一