函数的极值与最大（小）值 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的极值与最大（小）值

苏轼在《题西林壁》中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是江西庐山的高低起伏，错落有致。在数学上，这种现象如何来刻画呢？你能抽象出函数图象吗？

群山之巅，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点情境导入

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?

对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？

如图，观察函数y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f

(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f

(x)的导数的符号有什么规律？xyOabcde探究2：P90探究：如图观察，函数y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f

(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f

(x)的导数的符号有什么规律？xyOabcdeo

a

x0

b

x

y

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)

o

a

x0

b

x

y

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0极大值减f

(x)<0f

(x)=0增减极小值f

(x)>0如何判断f

(x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小深度理解概念思考1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上不一定思考2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图,不一定注意:极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.

oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))思考4：一个函数的极小值一定小于极大值吗？不一定思考3：极值点可能是区间端点吗？深度理解不可能若寻找可导函数极值点,可否只由f

(x)=0求得即可?探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3

f

(x)=3x2

当f

(x)=0时，x

=0，而x

=0不是该函数的极值点.f

(x0)

=0x0

是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0

是函数f(x)的极值点f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考5：若f'(x0)=0，则x0一定是极值点吗？例1.

如图，根据图象回答问题:（1）若图是函数y=f(x)的图象，指出哪些是函数y=f(x)的极大值点，哪些是极小值点.xyax1x2x3x4x5x6b解：极小值点有：极大值点有：；x1，x5x3，x6.会识图变式:P92练习1:下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6会识图函数的图象如图．

解：当x变化时，的变化情况如下表：+0－0+极大值2(-2,2)-2yx极小值令，解得当时，y有极大值，并且当时，y有极小值，并且例2.

求函数的极值．

求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；方法总结1.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.注意2.函数的极值点还可能出现在不可导点处，如练习：求

的极值定义域优先意识例3：已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处