2018版高考数学(理)一轮复习第十一章统计与概率11.2

§11.2

用样本估计总体根底知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习1.作频率分布直方图的步骤知识梳理(1)求极差(即一组数据中

与

的差).(2)决定

与

.(3)将数据

.(4)列

.(5)画

.最大值最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的

，就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的

增加，

减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.中点组距组数3.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数.4.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种

.(2)标准差：平均距离1.频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示

，频率＝组距×.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比.(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观.知识拓展2.平均数、方差的公式推广(1)假设数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论.()(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.()思考辨析√×√(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.(

)(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.(

)(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(

)×√×

考点自测1.(教材改编)假设某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，那么这组数据的中位数和平均数分别是答案解析和91.5 和92C.91和91.5 D.92和92这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，

2.(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如下图，那么该校女教师的人数为答案解析A.93 B.123 C.137 D.167由题干扇形统计图可得该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.应选C.

3.(2016·四川宜宾模拟)假设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝5，方差s2＝2，那么数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为答案解析A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.4.(2016·江苏)一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，那么该组数据的方差是________.答案解析0.15.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如下图，那么在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.答案解析24底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，题型分类深度剖析题型一频率分布直方图的绘制与应用例1(2016·北京)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的局部按4元/立方米收费，超出w立方米的局部按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？解答如下图，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.解答当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据.思维升华跟踪训练1

(2015·课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106B地区用户满意度评分的频率分布直方图图②(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均数及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可).解答如下图通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均数高于A地区用户满意度评分的平均数；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散..(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.解答题型二茎叶图的应用例2(1)(2015·山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如下图的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为A.①③

B.①④

C.②③

D.②④答案解析甲地5天的气温为26,28,29,31,31，乙地5天的气温为28,29,30,31,32，

(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，那么x，y的值分别为A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8答案解析由茎叶图及得x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，引申探究1.本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好.解答由原题可知x＝5，而乙组平均数为16.8，所以甲组成绩较好.2.在本例(2)条件下：①求乙组数据的中位数、众数；

解答①由茎叶图知，乙组中五名学生的成绩为9,15,18,18,24.故中位数为18，众数为18.②求乙组数据的方差.

解答茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.思维升华

跟踪训练2(1)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如下图，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是由于频率分布直方图的组距为5，排除C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，排除B，应选A.答案解析

(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法识别，在图中以x表示：那么7个剩余分数的方差为答案解析题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3(1)抽样统计甲、乙两位射击运发动的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案解析运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892那么成绩较为稳定(方差较小)的那位运发动成绩的方差为________.2(2)甲、乙二人参加某体育工程训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.①分别求出两人得分的平均数与方差；解答由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.解答从折线图看，甲的成绩根本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩那么无明显提高.平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.思维升华跟踪训练3(2016·全国乙卷)某公司方案购置1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件缺乏再购置，那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以下柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购置易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购置的易损零件数.(1)假设n＝19，求y与x的函数解析式；解答当x≤19时，y＝3800；当x>19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y与x的函数解析式为(2)假设要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；解答由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购置19个易损零件，或每台都购置20个易损零件，分别计算这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购置1台机器的同时应购置19个还是20个易损零件？解答假设每台机器在购机的同时都购置19个易损零件，那么这100台机器中有70台在购置易损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数为假设每台机器在购机同时都购置20个易损零件，那么这100台机器中有90台在购置易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500元，因此这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数为比较两个平均数可知，购置1台机器的同时应购置19个易损零件.频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致.通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计.频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.

高考中频率分布直方图的应用审高频小考点9考点分析典例(12分)(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如下图的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；标准解答由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. [3分]由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30. [5分](2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；标准解答由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.[8分](3)估计居民月均用水量的中位数.标准解答设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. [12分]课时作业1.(2017·铁岭月考)在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，假设B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，那么A，B两样本的以下数字特征对应相同的是A.平均数 B.标准差C.众数 D.中位数123456789101112√答案解析由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，应选B.2.(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是答案解析123456789101112A.56 B.60 C.120 D.140设所求人数为N，那么N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，应选D.√3.(2017·北京西城区质检)以下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，那么数据落在区间[22,30)内的频率为答案解析123456789101112A.0.2√10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，4.(2016·西安模拟)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，假设从下月起每位员工的月工资增加100元，那么这10位员工下月工资的平均数和方差分别为答案解析123456789101112√A.n<m

B.n>m C.n＝m D.不能确定123456789101112√答案解析1234567891011121234567891011126.(2016·北京朝阳区期末)在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.假设该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有答案解析123456789101112A.30辆

B.300辆

C.170辆

D.1700辆以正常速度通过该处的汽车频率为1－(0.01＋0.005)×10＝0.85，所以以正常速度通过该处的汽车约有0.85×2000＝1700(辆).√7.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.假设该样本的平均数为1，那么样本方差为________.123456789101112答案解析2由题意可知样本的平均数为1，解得a＝－1，所以样本的方差为8.(2015·湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者在2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如下图.123456789101112(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.36000答案解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000.1234567891011129.假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________.答案解析12345678910111216假设x1，x2，…，xn的标准差为s，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为as.由题意s＝8，那么上述标准差为2×8＝16.10.某学校随机抽取局部新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].那么答案解析123456789101112(1)图中的x＝________；0.0125由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.0065＋0.003