大学高等数学(同济)下册期末考试题及答案(3套)

大学高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、z=Jlog/x?+j/）（a>0）的定义域为D=。

2、二重积分0111（，+丁2）山⑦的符号为。

W+ly|<l

3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+l,y=1所围图形的面积用二重积分表示为,其值

为。

4、设曲线L的参数方程表示为彳。4》44）,则弧长元素为=。

J="⑺

5、设曲面£为1+丁=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则“（，+y2+l）ds=。

6、微分方程@=2+tan）的通解为______________。

dxxx

7、方程y⑷_4）=0的通解为o

“1

8、级数£——的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数2=/（乂丁）在（%,打）处可微的充分条件是（）

（A）/0,丁）在（须）,为）处连续；

（B）£（x,y）,4（x,y）在（演），%）的某邻域内存在；

（C）—f；（Xo，yo）Ay当。Ar）?+（均）2—0时,是无穷小；

（D）丽丝3型竺且辿丝=。。

22

：：o7（Ax）+（Ay）

分2分2

2、设〃=#（-）+0X2）,其中f具有二阶连续导数，则x二+y=等于（）

yxdxdy

（A）x+y；（B）x；（C）y；（D）0。

3、设O：/+/+224]/20,则三重积分/=0]23/等于（）

Q

工工】-n1

（A）d0^d（p^Psin^9cos^¥/r；（B）jjdej0d夕sin^r；

(C)J。I。［02d可()/sin°cos西广；(D)J(dOj。〃时(/sin9cos幽尸。

4、球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2以所围成的立体体积V=()

7C_________________

f—(•2acos。//r—p2acos。/

2

(A)2d0\一广dr；(B)4(d0\rj4a2-/公；

JoJoJoJ0

7C__________元

「一r2acost//ZT2acosGIZZ"

(C)^\2d0\nj4a“一Ldr；⑴心可Z4a-rdro

J0J0o

2

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线4所围成,L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,

则［Pdx+Qdy=()

(A)”管一部如

<c)ug-?)dxdy；

oxoy

6、下列说法中错误的是()

(A)方程孙M+2y"+x2y=0是三阶微分方程；

(B)方程y包+x电=ysinx是一阶微分方程：

dxdx

2

(C)方程(X+2孙3)办+(y2+3/y2)办=0是全微分方程;

(D)方程您+'x=幺是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x+y+6=0平行，而y(x)满足微分方程

y"-2y'+5y=Q,则曲线的方程为丁=()

(A)-exsin2x；(B)e”(sin2x-cos2x)；

(C)e"(cos2x-sin2x)；(D)exsin2xo

00

8、设hm〃〃“=0,则()

w—x»

n=l

(A)收敛；(B)发散;(C)不一定；(D)绝对收敛。

三、求解下列问题(共计15分)

1、(7分)设7,g均为连续可微函数。u=/(x,乙y),u=g(x+灯)，

„dudu

求k，丁。

dxdy

Cx+t„dudu

2>（8分）设/（z）dz,求一，——O

Jx-tdxdt

四、求解下列问题（共计15分）。

y

1、计算/=/卢Je~dyo(7分)

2、计算/="J（x2+y2MV,其中。是由X2+y2=2z,Z=l及Z=2所围成的空间闭区域（8分）

五、（13分）计算/=・叱-吁，其中L是X”面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点0（0,0）的封

z%'+y

闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f（x）满足方程f（x+y）=J（/+/⑶）.,且尸（0）存在，求/（X）。

七、（8分）求级数g（T）八2；；］的收敛区间。

高等数学（下册）考试试卷（二）

1、设2sin(x+2y—3z)=x+2y—3z,则---1----____0

dxdy

3-J9+盯

2、lim---------=o

xy

yf0

3、设/=，：%「'f(x,y)办，交换积分次序后，1=

4、设/（〃）为可微函数，且/（0）=0,则lim—“/(正+y2)db=

571Vx2+y2<f2

5、设L为取正向的圆周％2+y2=4,则曲线积分

x

心+i)dx+(2ye—x)dy=

6、设A=(X?+yz)i+(y2+xz)/+(z2+—)&,则d»A=。

7、通解为y=c©,+je-2*的微分方程是0

—1,-

8、设/'(x)=4，则它的Fourier展开式中的。〃=_________

1,0<x<

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

xy2，2八

1、设函数/（乂丁）={/+y4，则在点（0,0）处（）

0,X?+＞2=0

（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在：

（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。

2、设〃（x,y）在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

d2u.nd'Ud'Uc

----00及-+—有=0，

dxdydx7~dy~

贝（）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；

（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；

（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。

3、设平面区域D:（X-2）2+（＞-1）2W1,若L="（x+y）2db,12="（尤+y）3db

。D

则有（）

(A)/(</2；(B)/|=，2；(C)/,>/2；(D)不能比较。

4、设。是由曲面z=肛,丁==1及z=0所围成的空间区域，贝!J孙仪/z=)

1（C）1

(A)(B)—；七(D)

361362364

x—（p（t）

5、设/在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为＜（。＜，＜尸），其中奴。,“（。在

y=y/（t）

上具有一阶连续导数，且夕'2«）+“'2。）70,则曲线积分j/（x,y）ds=（)

（A）（B）J；/（夕⑺“（/）"夕'2«）+〃'2«）力；

（C）J：/（8（f）,”（f））Jq）'2（t）+H（t）dt；（D）J；f（（p（t）w（t））dto

6、设E是取外侧的单位球面/+y2+z2=1,则曲面积分

JJxdydz+ydzdx+zdxdy=()

z

(A)0；(B)27；(C))(D)44o

7、下列方程中，设y”为是它的解，可以推知必+为也是它的解的方程是（）

(A)V+p(x)y+<7*)=0；(B)y"+p(x)y'+9(x)y=0；

(C)y*+p(x)y'+q(x)y=f(x)；(D)y"+p(x)y'+q(x)=0.

8、设级数为一交错级数，则()

〃=1

(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若为f0(〃f0),则必收敛。

三、求解下列问题(共计15分)

1、(8分)求函数〃=ln(x++Z?)在点A(o,1,0)沿A指向点B(3,-2,2)

的方向的方向导数。

2、(7分)求函数/(乂田=/武4一工一)，)在由直线工+丁=6,丁=0,%=0所围成的闭区域口上的最大

值和最小值。

四、求解下列问题(共计15分)

1、(7分)计算/=JJJ-----———其中。是由x=O,y=O,z=O及x+y+z=l所围成的立体

Q(1+无+y+z)、

域。

2、(8分)设/(X)为连续函数，定义F(f)=J,[z2+/(x2+y2)mn,

C

其中。={(x,y,z)10<z<h,x2+y2<产}，求空■。

dt

五、求解下列问题(15分)

1、(8分)求/=((e'siny-肛y)dx+(e'cosy-加)dy,其中L是从A(a,0)经y=Jox-x'到O

(0,0)的弧。

2^(7^)I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中£是/+y?=z2(0<z<的外侧。

六、(15分)设函数仪幻具有连续的二阶导数，并使曲线积分

Jj30'(x)-2e(x)+xe21ydx+d(x)dy与路径无关，求函数*(无)。

高等数学(下册)考试试卷(三)

一、填空题(每小题3分，共计24分)

、n「*2,n,SU

1、设〃=edt,则——=______o

Jxzdz

2、函数/(x,y)=Ay+sin(x+2y)在点(0,0)处沿，=(1,2)的方向导数

3、设。为曲面2=1-/一丁2,2=0所围成的立体，如果将三重积分/=*/(乂、2)外化为先对2再对

C

y最后对x三次积分，则1=。

4、设/(x,y)为连续函数，则/=1里,其中£>:/+产<产。

DmD

5、fjx2+y2)ds=,其中L：》2+y2=〃2。

6、设Q是一空间有界区域，其边界曲面SQ是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数尸(x,y,z),

Q(x,y,z),R(x,y,z)在。上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系

式：,该关系式称为公式。

7、微分方程y一6丁'+9/=/一6》+9的特解可设为：/=。

8、若级数£上山二发散，则p

〃=1九"

二、选择题(每小题2分，共计16分)

1、设/：31)存在，则lim+-=()

XT°X

(A)(B)0；(C)2f'.(a,b)；(D)；0

2>设2=%"，结论正确的是()

d2zd2zd2zd2z.

(A)------>(J；(B)------=();

dxdydydxdxdydydx

d2zd2zd2zd2z

(C)------——-<0；(D)------w0。

dxdydydxdxdydydx

3、若/(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为口，。2，/O，y)在D上连续，则

JJf(x,y)da=()

D

(A)0；(B)f(x,y)da；(C)4jjf(x,y)dor；(D)2y)d(yo

£)iD|D2

4、设Q：x2+y2+z2</?2,则JJJ*?+y2)dxdydz=()

c

(A)-TTR'；(B)—TTR，；(C)—TUR，；(D)—TTR'。

331515

5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L在点(x,y)处的线密度为夕(x,y),则曲线弧£的重心的x坐标嚏

为)

—ir-ir

(A)x=—xp(x.y)ds；(B)x=——xp(x,y)dx；

(C)x=y)ds\(D)x=—fxds,其中M为曲线弧上的质量。

M久

6、设E为柱面/+y2=1和元=o,y=o,z=l在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分

22

分yzdxdy+xzdydz+xydxdz=)

z

71、5〃71

(A)0；(B)---；(zC)—；(D)

424~4

7、方程2y'=/(x)的特解可设为()

(A)A,若/(x)=l；(B)Aex,若/(x)=e\

(C)Ax44-Bx3+Cx2+E,若/(不)=12-2工；

(D)x(Asin5x+Bcos5x),若/(x)=sin5x。

—1—万4天<0

8、设/(幻=4'",则它的Fourier展开式中的％等于()

10<X<ZF

214

(A)—[l-(-l)n]；(B)0；(C)J_；(D)—o

rurn九〃兀

三、(12分)设y=，为由方程F(x,y,Z)=0确定的的函数，其中了,尸具有一阶连续偏导

数,求%。

四、(8分)在椭圆，+4/=4上求一点，使其到直线2x+3y—6=0的距离最短。

五、(8分)求圆柱面/+y=2y被锥面2=而行■和平面z=0割下部分的面积A。

六、(12分)计算/=jj■肛其中2为球面x2+y2+z2=\的xN0,yN0部分

的外侧。

七、(10分)设.(c°s±)=]+s1n2一求八X)。

d(cosx)

八、(10分)将函数/(乃=111(1+》+，+》3)展开成尢的累级数。

高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案

22

一、1、当0<4<1时，0<%2+>241；当。>1时，x+y>\;

2、负号；3、JJdcr=dr;%；4、个d3+y(t)dt；

D

5、1804；6>sin—=Cx；

x

v2vlv

7、y=C}cosV2x+C2sinV2x+C3e+C4e~^；8>1；

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

_,du4adu,,.

二、1、丁=<+/；—=xgu+xy)；

dxdy

2、_^_=/(x+/)-/(xT)；—=f(x+/)+f(x-t)；

oxot

四、1、J；dx^2^-vdy-j；eydx=J；”'dy=^(l-e~4)；

2、/=J。dej()力-"z+Jodej,drj]、/dz=—7i；

°°।°2/3

则新寻啜

五、令尸=yQ=-(X,y)*(0,0)；

x2+y2，上x2+y2

于是①当L所围成的区域D中不含O(0,0)时，竺,冬在D内连续。所以由Green公式得：1=0；②当L

dydx

所围成的区域D中含O(0,0)时，变，丝在D内除O(0,0)外都连续，此时作曲线广为

dydx

x2+y2=£2{0<£<\),逆时针方向，并假设。”为C及厂所围成区域，则

G百公式J［管噌)—+f=2万

D了x2+y2=c2

六、由所给条件易得：

/•(())=-2//―/(0)=0

1-/2(0)

一+3)一/⑺

又广(x)=lim―—~~~~~■—lim~~)'(-

A—。AXAI。A%

/(A。-/(0)

=/，(0)[l+/2U)]

\x

即।=、二八。)

/.arctan/(x)=/'(O)•x+c即f(x)=tan[/r(O)x+c]

又/(O)=0即c=k/c,keZf(x)=tan(/'(O)%)

七、令X—2=r,考虑级数>(—1)"」一

£2〃+1

产〃+3

,/lim2丁3二'

“T8产+1

2〃+1

.♦.当一<1即1|<1时，亦即l<x<3时所给级数绝对收敛；

当上|<1即x>3或x<l时，原级数发散：

81

当/=—1即X=1时，级数五w收敛；

81

当，=1即尤=3时，级数£(—1)"-----收敛；

„=12〃+1

.・•级数的半径为R=l,收敛区间为[1,3]。

高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案

一、1、1；2>-1/6；3、dy^/(X,y)dx+dy^f(x^y)dx；4、g/'(0);

5、—8zr；6、2(%+y+z)；7y"+y'—2y=0；8、0；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；

三、1、函数〃=ln(x+Jy)+z?)在点A(1,0,1)处可微，且

♦.■。221♦.

而1=A3=(2,-2,1),所以/=故在A点沿/=A3方向导数为:

duI_duduIduI

前人二晟cosa+-|A.cos^+-|4•cos/

f'=2xy(4-x-y)+^(-1)=0

2、由，个、八得D内的驻点为M°(2,1),且/(2,1)=4,

fy=x(4-x-2y)=0

又/(0,y)=0"(x,0)=0

而当x+y=6,x20,y20时，f(,x,y)=2x3-12x2(0<x<6)

令(2站一12炉)=0得X]=0,x2=4

于是相应弘=6,力=2且/(0,6)=0,/(4,2)=-64.

.•./(%,y)在D上的最大值为/(2,1)=4,最小值为f(4,2)=-64.

0<x<l

四、1、。的联立不等式组为Q:<0KyWx—1

0<z<i-x-y

CIr1Tfl-x-ydz

所以/=Jo可。吼

(l++x+y+z),

T；1T力

(l+x+y)2

Li3-x..1._5

(----------------)dx=—In2------

2。x+14216

2、在柱面坐标系中

F(r)=£T[z2+/(r2)]rt/z=产)r+

所以

半=aw")—!//]=2成仃(产)+)]

at33

五、1、连接办,由Gwe〃公式得:

I=\L+4=忆示一篇

Gree,公式

—JJ(excosy-excosy+ih)dxdy-^-0

x2+y2<ax,y>0

1

=—mm2

8

z=a

2、作辅助曲面999,上侧，则由Gauss公式得:

[x+y<a

“JJ+JI--JJ

£EiZ,E+E)E1

j112(x+y+z)dxdydz-JJa~dxdy

x2+y2^z2,O^z^ax2+y2^a2

=2jdzj|zdxdy-Tia4

x2+y2<z2

Ca3.414

=27izaz-7ia=——71a

Jo2

六、由题意得：3”(x)-2弓(幻+加2*=e"(x)

即e"(x)-3(p'(x)+20(x)=xe2x

特征方程/-3r+2=0,特征根4=1,々=2

对应齐次方程的通解为：y=

又因为2=2是特征根。故其特解可设为：y^x[Ax+B)e2x

代入方程并整理得：A=-,B=~]

2

即y*=；x(x-2)e"

x2

故所求函数为：(p(x)=cxe+c2e'+；x(x-2)e"

高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案

一、1、yey2：2-xexz2；2、亚;3、X，f(x,y,z)dz；

4、/(0,0);5、2加3；6,f[f(—+^+^)Jv=HPdydz+Qdzdx+Rdxdy,

nSx外8z

公式；7、Ax2+Bx+