河北省重点中学2023-2024学年九年级上册数学期末联考试题含解析

河北省重点中学2023-2024学年九上数学期末联考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若两个相似三角形的相似比是1：2,则它们的面积比等于（）

A.1：0B.1：2C.1：3D.1：4

2.如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，A为切点，BC与。。交于点D,连结OD.若NC=50°,则NAOD

的度数为（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

3.一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是自攀的概率为

（）

1317

A.—B.—C.-D.—

210510

4.如图，。。是AABC的外接圆，已知NACB=60°,则NA8。的大小为（）

5.如图，在AABC中，点O,E,尸分别在边AB,AC,8C上，且。E〃8C,砂//AB,若AB=38D,贝！15.爪：5立代

的值为（）

A.4:1B.3:2C.2:1D.3:1

6.如图，A,B,C,D是。O上的四个点，B是AC的中点，M是半径OD上任意一点.若NBDC=40。，则NAMB

A.45°B.60°C.75°D.85°

7.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.00()0025m的颗粒物，将().()000025用科学记数法表示为()

A.0.25x10sB.0.25x10-6C.2.5x105D.2.5xl0-6

8.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是()

©

A.4B.5C.673D.6

9.反比例函数二三的图象位于平面直角坐标系的()

■.

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限

10.如图，AB是。O的直径，CD是OO的弦.若NBAD=24。，则NC的度数为()

咨

A.24°B.56°C.66°D.76°

11.将二次函数y=2--4x+5的右边进行配方，正确的结果是()

A.y=2(x-1)2-3B.y=2(x-2)2--3

C.y=2(x-1)2+3D.y=2(x-2)2+-3

12.如图，在HABC中，ZC=90，BC=4,AC=3,则sinA的值是（）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，ZkABC绕点A逆时针旋转得到△ABX7,点C在AB，上，点C的对应点C，在BC的延长线上，若/BAC'

=80。，则NB=______度.

14.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，

那么取到字母e的概率为.

15.在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是

白球的概率是1,则黄球个数为.

3

16.已知：如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、8□相较于点。，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件（只添加一个即可），使平行四边形A8CD成为矩形.

17.如图，若抛物线,丫=加+/7与直线"h+，交于4（3,m），6（-2,〃）两点，则不等式以2一人〈厶—〃的解集是

18.抛物线_^=必-6*+5的顶点坐标为

三、解答题（共78分）

19.(8分)在平面直角坐标系中，将二次函数丁=侬2(。＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到

如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、8(点A在点8的左侧)，。4=1,经过点A的一次函数

〉=丘+。伏力0)的图象与丁轴正半轴交于点。，且与抛物线的另一个交点为。，AABZ)的面积为1.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

⑵抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

3

⑶若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求「石+二胡的最小值.

20.(8分)综合与探究

如图，抛物线产ai+Dx+c(a#0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,百).当x=-4和x=2时，

二次函数产"+必+c(存0)的函数值y相等，连接AC,BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断厶厶〃。的形状，并说明理由；

(3)若点M、N同时从8点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿氏4、BC边运动，其中一个点到达终点时，

另一点也随之停止运动，当运动时间为f秒时，连接MN,将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在4c边上的P处，贝卜

的值为,点尸的坐标为;

(4)抛物线对称轴上是否存在一点凡使得是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，

请直接写出点尸的坐标.

21.(8分).在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2,它们除了数字不同外，其他都完

全相同.

(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；

(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然

后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M

22.(10分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗

均匀.

(1)随机抽取一张卡片，则抽到数字“2"的概率是；

(2)从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率.

m

23.(10分)如图，一次函数〉=丘+。与反比例函数y=—的图象交于A(2,1),B(-1,两点.

(1)求m、k>b的值；

(2)连接OA、OB,计算三角形OAB的面积；

(3)结合图象直接写出不等式",看"安疝的解集.

24.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+3m-2=0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)当m为正整数时，求方程的根.

25.(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=如？-2〃优-2〃z+l与x轴交于点A,B.

(1)若AB=2,求团的值;

(2)过点P(0,2)作与x轴平行的直线，交抛物线于点M,N.当MNN2时,求加的取值范围.

26.解方程：3x(x-1)=x-1.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.

【详解】解：•••两个相似三角形的相似比是1：2,

这两个三角形们的面积比为1:4,

故选：D.

【点睛】

此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键.

2,C

【分析】由AC是。。的切线可得NCAB=90°,又由NC=50°,可得NABC=40。;再由OD=OB,贝!|NBDO=40。最后

由NAOD=NOBD+NOBD计算即可.

【详解】解：；AC是。。的切线

.,.NCAB=90°,

又；NC=50°

.•.ZABC=90°-50o=40°

XVOD=OB

.•.ZBDO=ZABC=40°

又ZAOD=ZOBD+ZOBD

.,.ZAOD=40°+40o=80°

故答案为C.

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.

3、A

【分析】根据概率公式解答即可.

【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：—

102

故选A.

【点睛】

本题考查了随机事件概率的求法.如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果,

那么事件A的概率P(A)=-.

n

4、A

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得

ZA0B=120",再根据三角形内角和定理可得答案.

【详解】VZACB=60",

.,.ZAOB=120",

VA0=B0,

/.ZAB0=(180°-120°)4-2=30°,

故选A.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.

5、A

【分析】根据AB=33D,OE〃3C得到AC=3EC,贝!|AE=2EC,再根据。石〃3C,砂//AB得到△ADEs/iEFC,

再根据面积之比等于相似比的平方即可求解.

【详解】VDEHBC,

AAB：BD=AC:EC,

又：AB=3BD

/.AC=3EC,

，AE=2EC,

VDE/IBC,EF//AB

.•.NAED=NC,ZADE=ZB=ZEFC,

/.△ADE^AEFC

又AE=2EC

:•SWE：SAEFC=(2：1)2=4：1

故选A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

6、D

【解析】解：•••/｝是弧AC的中点，.•.NAOB=2N30C=8O。.又是0。上一点，...NAM3SNAO5=80°.则不符

合条件的只有85。.故选D.

点睛：本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得NA0B的度数是关键.

7、D

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axion,其中iqa|V10,n为整数，表示时关键要正确确

定a的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位

数减1;当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）.

【详解】解：0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0）,从而0.0000（）25=2.5xKT6.

故选D.

8,D

【解析】试题解析：丄AB,OC过圆心。点，

BC=AC=-AB=-xl6^S,

22

在中，由勾股定理得：oc=庁-BC?=7IO?*=6.

故选D.

点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.

9、A

【解析】试题分析：•••k=2>0,.•.反比例函数二的图象在第一，三象限内，故选A.

考点：反比例函数的性质.

10、C

【分析】先求出NB的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可.

【详解】•••AB是0O的直径

；.NBDA=90°

vZBAD=24°

•••ZABD=180°-90°-24°=66°

又"AD=AD

•••NC=NBAD=66。

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推论:①在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；

②直径所对圆周角等于90°

11>C

【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式.

【详解】解：提出二次项系数得，y=2(x2-2x)+5,

配方得,y—2(x2-2x+l)+5-2,

即y=2(x-1)2+l.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2+bx+c,顶点式：y=a(x-h)2+k；两根式：y=。(工一七乂工一%).

12、C

【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解.

【详解】解：在直角AABC中，AB=7AC2+BC2=V32+42=5-

BC4

贝n!l]sinA=-----=—.

AB5

故选C.

【点睛】

本题考査锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边

比邻边.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：••・△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB，。，

...NC'AB'=NCAB,AC'=AC,

VZBAC'=80°,

:.NCAB，=NCAB=丄/CAB=40。，

2

...NACC，=70。，

.,.ZB=ZACC,-ZCAB=1°,

故答案为：L

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键.

14、-

7

【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就

是其发生的概率.因此，

,.•theorem中的7个字母中有2个字母e,...任取一张，那么取到字母e的概率为不.

15、24

【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.

【详解】12」=36（个）,

3

36-12=24（个），

答：黄球个数为24个.

故答案是：24.

【点睛】

本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.

16、AC=B£>或（46C=90°等，答案不唯一）

【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直

角；可针对这些特点来添加条件.

【详解】解：若使。ABCD变为矩形，可添加的条件是：

AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）

ZABC=90°等.（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

故答案为：AC=BD或（ZABC=90°等）

【点睛】

此题主要考查的是矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键.

17、-2<x<3

【分析】观察图象当-2<x<3时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当％<-2或x>3时，直

线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x的取值范围，即为不等式的解集.

【详解】解：设=kx+b,

,:ax2—b<kx-h

：•ax1+h<kx+b，

工,<%

即二次函数值小于一次函数值，

V抛物线与直线交点为A（3,m）,B（-2,n）,

,由图象可得，x的取值范围是—2<x<3.

【点睛】

本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.

18、（3,-4）

【解析】分析：利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标.

详解：Vy=x2-6x+5=（x-3）2-4,

抛物线顶点坐标为（3,-4）.

故答案为（3,-4）.

点睛：此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可以先配方化为顶点式，也可以利用顶点坐标公式

（_b_4ac-b-）来找抛物线的顶点坐标.

2a4。

三、解答题（共78分）

131175,315、3

19、（1）y=-x2—；y=-；（2）AACE1的面积最大值是—,此时E点坐标为；（2）PE+-PA

222216\2oJ5

的最小值是2.

【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，再把点4（-1,0）代入可求得。的值，由厶钻。的面积为1可求出点。的

纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A、。的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；

⑵作EMP），轴交厶。于"，如图，利用三角形面积公式，由SMCE=-SAC..构建关于E点横坐标的二次函

数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；

⑵作E关于x轴的对称点尸，过点尸作F"丄AE于点〃，交x轴于点P,则/BAE=/HAP=NHFE,利用锐角

3

三角函数的定义可得出EP+1AP=FP+HP,此时FH最小，求出最小值即可.

【详解】解：（1）将二次函数丁="2（。＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为

y=a（x-l）2-2,

=...点A的坐标为（一1,0），

代入抛物线的解析式得，4。一2=0,丄，

2

1,13

抛物线的解析式为卜=5（"-1）--2,即y=-

令y=0,解得X=T,马=3,8（3,0）,

:.AB=OA+OB=4,

•••△45£）的面积为1,；.5.8。=；厶8・%,=5,；.%,=3，

2

代入抛物线解析式得，（=1x-x-1,解得玉=-2,X2=4,

设直线AD的解析式为y=kx+h,

\A1,5k=L

4k+b=—?

2,解得：J:,

-k+b=0b=—

1I2

:.直线AD的解析式为y=；*+g.

⑵过点E作EMPy轴交AD于M,如图，设£■（&,（/—a—•1），则+

…11123123c

•e•EM——ciH-------ci+QH—=—aH—Q+2,

222222

'S^CE=SMME-SACME=]XEM4=51-5/+/a+2）xl=-公（。2_3a_4）,+%,

325（315、

・・・当。=7时，AACE的面积有最大值，最大值是u，此时E点坐标为三，-1・

216128丿

⑵作E关于入'轴的对称点尸，连接所交X轴于点G,过点F作FH丄AE于点H,交X轴于点

.•・呜兰,(24=1,

5

3515.AG24

，AG=l+±=±,£G=—

228"£0~y5~3

8

VZAGE=ZAHP=90°，

PHEG33

sinZEAG:.PH=-AP,

~APAE55

,:E、/关于x轴对称，•••PE=PF,

3

:.PE+1AP=FP+HP=FH，此时切最小,

V£F=—x2=—,ZAEG=ZHEF,

84

.•.sm•ZAEG-si■nZ/rHrErrF-=-A--G-=FH=—4,

AEEF5

3

:.PE+jPA的最小值是2.

【点睛】

主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函

数的有关计算和利用对称的性质求最值问题.解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）

题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解(2)题的关键是作E关于x轴的对称点F,灵活应用对称的性质和锐

3

角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求PE+-PA的最小值转化为求FH的长度.

20、(1)^=—立/一厶8方+6；(1)/\43。是直角三角形,理由见解析；(3)3,(-1,茎］；(4)存在,后(—1,2百)，

333I3丿

Fi(-1,-273).

【分析】(1)由对称性先求出点8的坐标，可设抛物线的解析式为广a(x+3)(x-1),将C坐标代入片a(x+3)(x-1)即可;

(1)先判断△A8C为直角三角形，分别求出A3,AC,5c的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；

(3)因为点M、N同时从8点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿84、8c边运动，所以BM=8N=f,证四边

形PM8N是菱形，设PM与y轴交于"，证△CPNs/\C45,由相似三角形的性质可求出，的值，C"的长，可得出点

P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点尸纵坐标代入即可；

(4)求出直线BC的解析式，如图1,当NACF=90。时，点B,C,尸在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点

即可；当NC4F=90。时，求出直线A尸的解析式，再求其与对称轴的交点即可.

【详解】(1)•・•在抛物线产。工1+加卄c中，当x=-4和工=1时，二次函数产。工1+取+。的函数值y相等，

・•・抛物线的对称轴为*=二==-1,

2

又•・,抛物线产“+bx+c与x轴交于4(-3,0)、B两点,

由对称性可知3(1,0),

，可设抛物线的解析式为尸a(x+3)(x-1),

将C(0，A/3)代入j=a(x+3)(x-1),

得：-3。=y/39

解得：。=一且，

3

•••此抛物线的解析式为y=-@(x+3)(x-1)=-B»一龙~x+囱；

333

(1)△ABC为直角三角形.理由如下：

VA(-3,0),B(L0),C(0,G),

：.OA=3,OB=1,OC=8,

：.AB=OA+OB=4,AC=S筋+QC2=1也,BC=^QB2+OC2=1-

"：ACl+BC'=\f>,4*=16,

：.AC'+BCl=ABl,

...△ABC是直角三角形；

(3)•.•点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、8c边运动,

：.BM=BN=t,

由翻折知，△BMNWAPMN,

:.BM=PM=BN=PN=t,

，四边形PM8N是菱形,

:.PN//AB,

...△CPNs/\C48,设PM与y轴交于H,

.PNCNCH

••耘一百一而‘

t2-tCH

即一=——

42

解得：f=3,CH=正，

33

:.OH=OC-CH=石一立=

33

.2月

•.”=------,

3

设直线AC的解析式为y=kx+月,

将点A(-3,0)代入y=fcr+G，

得：无=3,

3

二直线AC的解析式为y=^x+G，

将代入y=*x+省,

Ax=-1,

故答案为《j容

图1

(4)设直线5c的解析式为尸奴+百，

将点8(1,0)代入广h+百，

得：k=­j3，

...直线BC的解析式为y=—百x+G,

由(1)知△45C为直角三角形，ZACB=90°.

①如图1,当NAC尸=90°时，点3,C,尸在一条直线上，

在y=-6*+6中，当*=-1时，j=iV3>

/.FK-1,173);

②当NCAF=90°时，AF//BC,

.•.可设直线AF的解析式为y=x+n,

将点A(-3,0)代入y=一8x+〃，

得:n=-3y/3,

直线AF的解析式为y=-&x-3石，

在y=-&x-36中，当x=-l时，y=-ly/3>

.,.f1(-1,-1百).

综上所述：点尸的坐标为尸1(-1,173).Fi(-1,-173).

【点睛】

本题是二次函数综合题.考查了待定系数法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，

解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用.

21、（1）分（2）列表见解析，宗

【解析】试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数

字2的小球的概率为士（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包

括边界）的结果数，可求得结果.

试题解析：（1）P（摸出的球为标有数字2的小球）（2）列表如下：

0

小华-102

小丽

-1(-1,-1)(-1,0)(-1,2)

0(0,-1)(0,0)(0,2)

2(2,-1)(2,0)(2,2)

共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6,

考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.

22、(1)-；(2)P=-.

43

【解析】(1)根据概率公式直接解答；

(2)画出树状图，找到所有可能的结果，再找到抽到“数字和为5”的情况，即可求出其概率.

【详解】解：(1)•.•四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片，

,随机抽取一张卡片，抽到数字“2”的概率=丄；

4

(2)随机抽取第一张卡片有4种等可能结果，抽取第二张卡片有3种等可能结果，列树状图为：

1234

/N/K八

■>,41341?4123

所有可能结果：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,4),(4,1)(4,2),(4,3),

总的结果共12种，数字和为“5”的结果有4种：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

抽到数字和为“5”的概率P=J.

3

【点睛】

此题考査的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

3

23、(1)m=l,k=Lb=-l；(1)-；(3)-IVxVO或x>l.

2

m

【解析】试题分析：(D先由反比例函数>=一上的点A(L1)求出m,再由点B(-1,n)求出n,则由直线丫=履+人

X

经过点A、B,得二元一次方程组，求得m、k、b；

(1)AAOB的面积=△BOC的面积+△AOC的面积；

(3)由图象直接写出不等式的解集.

、,lk^b=\>=1

试题解析：(1)由题意得：：=—.m=l,当x=-l时，"=——=-£,/.B(-1,-1),,解得