四川省宜宾市兴文县2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷

2022-2023学年四川省宜宾市兴文县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.%4-y=1B.—1=0C.%2=5D.%（%+3）=X2

2.下列各式中是最简二次根式的是（）

A.B.C.V-0?7D.V-5

3.已知m是方程42-3刀—1=0的一个根，则代数式租2—3m的值等于（）

A.0B.1C.-1D.2

4.下列各式与E是同类二次根式的是（）

A.72B.y/3C.75D.-J6

5.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如图所示，老师

看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）

原方程甲乙丙丁

A.甲B.乙C.丙D.T

6.下列关于二次根式的计算，正确的是（）

A.二+门=CB.+「=6C.V_2D.=C

7.据统计，从2019年至2021年我国高铁的年运营总里程中3.5万千米增加到4万千米.设我国从2019年至

2021年高铁运营总里程的年平均增长率为X,则可列方程为（）

A.3.5（1+x）2=4B.3.5（1+2%）=4

C.3.5x2（1+x）=4D.3.5+3.5（1+x）+3.5（1+%）2=4

8.已知^^7—「=&<3-<3=匕>^3，则。+人=（）

A.1B.2C.3D.5

9.若关于x的一元二次方程（k+l）x2+2（/c+l）x+fc-2=0有实数根，贝腺的取值范围在数轴上表示正确

的是（）

A----*—»B:---------->

a-10D--10

C----1J—>DJ---------->

=-10j-10

10.已知，五+*=/写。>1）,则刀+：的值为（）

A.V-5B.3C.5D.7

11.已知关于％的一元二次方程a/+ft%+c=0（a。0）中的a,b,c满足a+b+c=0和9a—3b+c=0,

则2的值为（）

c

22

A.-2B.—3C.——D.——

12.如图，在甲、乙两个大小相同的6x6的正方形网格中，正方形48CD,E/GH分别在两个网格上，且各

顶点均在网格线的交点上.正方形4BC。与正方形EFGH的面积分别记为Si，S2,甲，乙两个正方形网格的面

积记为S,有下列结论：①Si=：S；②$2=歌③正方形4BCD与正方形EFGH的边长之比为2门：3。

其中，正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.③D.①②③

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.一元二次方程4x2-5x+1=o的一次项系数为.

14.比较大小：2c3/T（填”>、<、或="）

15.要使式子口+々有意义，则实数x的取值范围是

16.已知/+2%-3=0的解是1,-3,则方程（2工+3）2+2（2%+3）-3=0的解为.

17.如果式子J（X-1）2+|x-2|化简的结果为2x-3,贝反的取值范围是.

21

18.对于一切正整数71,关于x的一元二次方程％2一（九+3）X-3n=0的两个根记为an、bn,则南品国下+

1+…+

@-3）（62—3）（的-3）（比一3）

三、解答题(本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题12.0分)

按要求解方程：

(l)x2—4—x+2(因式分解法)；

(2)x2-2x-5=0(配方法)；

(3)2x2+6x-1=0(公式法).

20.(本小题10.0分)

(1)计算：++

(2)点在数轴上的位置如图所示，点P在两点之间，且其对应的数为x,化简：|x+，克

.A।।।।।»

-1012345

21.(本小题8.0分)

从一张边长为xcm的正方形纸片的四个角均剪去一个长为acm,宽为bcni的长方形(如图).

(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积为cm2；

(2)当a=9+2/1，b=9—2/2，x=11，亏时，求剩余部分的面积.

22.(本小题10.0分)

已知关于x的一元二次方程：2/+(m-2)x-m=0.

(1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根；

(2)当机=-7时，此方程的两个根分别是菱形4BCD两条对角线长，求菱形力BCD的面积.

23.(本小题12.0分)

安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出

2台.

(1)若该商场某天降价了5元，则当天可售出______台，当天共盈利元.

(2)在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？

(3)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由.

24.(本小题12.0分)

【阅读】我们将，+V"石与—V%称为一对"对偶式"，因为(，方+，石)(，々—V~F)=(/々y—

(门/=a-b,所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将(、厂W+C)和(，々-门)中的去掉,

于是二次根式的除法可以这样计算：如空=丫1综宴\=3+2/9像这样，通过分子、分母同乘一

2—V2(2—V2)(2+V2)

个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：

(1)对偶式2+C与2-，马之间的关系是;

A.互为相反数

8.互为倒数

C.绝对值相等

(2)已知x=号二?,y=寻+2,求/y+xy2的值；

(3)解方程：(24—x-78—%=2.(利用"对偶式”相关知识,提示：令724—X+A/8-x=t)

25.(本小题14.0分)

等腰A/IBC的直角边4B=BC=10cm,点P、Q分别从4、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线

运动，已知P沿射线运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为3△PCQ

的面积为S.

(1)求出S关于t的函数关系式；

(2)当点P运动几秒时，SgcQ=SdABC?

(3)当点P在边4B上运动时，作PE_L4c于点E,请问：线段DE的长度是否改变？如果不改变，请求出这个

定值，如果改变，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、方程x+y=1是二元一次方程，故本选项不符合题意；

B、方程盘-1=0是分式方程，故本选项不符合题意；

C、方程/=5是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、方程x(x+3)=/是一元一次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次

方程是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：A、E=3，1,该选项不符合题意；

B、苧，该选项不符合题意；

C、<07=^.该选项不符合题意；

D、，亏是最简二次根式，该选项符合题意；

故选：D.

先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果.

本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键.即被开方数中不含开方开

的尽的数或因式是最简二次根式.

3.【答案】B

【解析】解：把x-m代入方程/—3x—1=0得：m2—3m—1=0>

移项得：m2—3m-1,

故选：B.

把x=m代入方程产一3x-1=0得：m2-3m-l=0,经过移项即可得到答案

本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解决本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：/丽=4/百，

.•.与口是同类二次根式的是：，

故选：B.

根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做

同类二次根式，进行判断即可.

本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义，利用二次函数的性质，将二次根式化为最简二次

根式，是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：2x2+4x-l=0,

2x2+4x=1,

x2+2x=

x2+2x+l=1+l,

(x+I)2=I，

X+1=土竽，

X+1=竽或X+1=一竽，

所以，这位同学是乙，

故选：B.

利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法：当二次项系数化为1时，常数项

等于一次项系数一半的平方是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：4、+H无法合并，选项错误，故A不符合题意；

B、V12-T-V-2=V122=A/~~6,选项错误，故8不符合题意；

C、V-8-sTl=2/-2-V-2=选项正确，故C符合题意；

D、=选项错误，故。不符合题意；

故选：C.

根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可.

本题考查二次根式的运算.熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：•••从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x,

•••方程为3.5(1+为2=4,

故选：A.

根据“从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为X”即可列出方程.

本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：\T2rj-V_3=-O=2/3，

■■a=3,b=2,

a+b=3+2=5；

故选：D.

根据二次根式的减法法则进行运算，求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可.

本题考查二次根式的减法法则.熟练掌握二次根式的减法法则是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义

结合根的判别式，找出关于k的一元二次不等式组是解题的关键.

根据一元二次方程的定义，结合根的判别式，即可得出关于k的一元二次不等式组，解之即可得出k的取值

范围，将其表示在数轴上即可得出结论.

【解答】

解：•••关于x的一元二次方程(k+l)x2+2(k+l)x+k-2=0有实数根，

(k+1^0,

"b=[2(k+I)]2-4(fc+l)(fc-2)>0,

解得：k>-1.

故选：A.

10.【答案】B

【解析】解：+=

二(C+卷)2=(<T)2,

1

即：xH----F2=5,

x

,1Q

•'«Xd—=3,

X

故选：B.

根据C+吉=仁。>1),得至KC+a)2=x+[+2=5,即可得解.

本题考查L了分式的求值，将C+吉作为一个整体，利用平方法进行求解，是解题的关键.

11.【答案】D

【解析】解：a+b+c=0,

:,a=­b—c,

将其代入9a-3b+c=0中得，9(-b-c)-3b+c=0,

•••—9b—9c-3b+c=0,

—12b—8c=0,

•1•-12b=8c,

b2

"c=-3，

故选：D.

将a+b+c=0进行变形可得a=-b-c,并将其代入到a+b+c=。中即可得出答案.

本题考查了代入法进行求代数式的值，正确的计算是解决本题的关键.

12.【答案】B

【解析】解：根据题意可得，5=6X6=36,

根据甲网格可得，正方形4BCC的边长为，22+42=2，石,

•1•Si=2\/~5x2A/-5=20>

根据乙网格可得，正方形EFGH的边长为=3，9，

S2=3V-2x3V-2=18,

.=20

"S-36，

・•・Si=?s,故①错误；

..也=竺

•S36'

S2=|s,故②正确；

・••正方形4BCD与正方形EFGH的边长之比为2，石；3c,故③正确，

故选：B.

先根据题意将S求出来，再根据图象分别将正方形ABCD的边长、Si、正方形EFGH的边长和S2求出来，最后

进行判断即可.

本题考查了正方形与网格问题和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

13.【答案】-5

【解析】解：一元二次方程以2-5x+1=0一次项系数是：—5.

故答案为：—5.

根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解.

此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键.

14•【答案】<

【解析】解：：（20=12,（3。）2=18，

而12<18,

•••2-\/-3<3V~~2-

故答案为：<.

先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解.

此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方

法等.

15.【答案】xN1且x#2

【解析】解：•••要使式子+2有意义，

x—2

x—1之0且％—2W0,

解得：x>1且工丰2,

则实数》的取值范围是％>1且％H2.

故答案为：%之1且工看2.

直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键.

16.【答案】=—1,上=—3

【解析】解：令2%+3=y,

则：方程（2%+37+2（2%+3）-3=0转化为：/+2丫-3=0,

•・・/+2%—3=0的解是1,-3,

2

y+2y—3=0的解为：yt=1,%=-3,

即：2x+3=1或2x+3=-3,

解得：Xi=-1>x2=-3；

故答案为：xx=-1,x2=-3.

利用换元法，解一元二次方程即可.

本题考查解一元二次方程.熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键.

17.【答案】x>2

【解析】解：J(x-1尸+\x-2\=2x-3,

x>2,

故答案为：x>2.

根据算术平方根的被开方数是非负数，绝对值是非负数，化简结果，可得答案.

本题考查了二次根式的化筒，注意二次根式开方是非负数，绝对值是非负数.

18.【答案】一卷

【解析】解：由根与系数的关系得an+bn=九+3,。九,勾=一3九2,

2

所以九-3)(bn-3)=anbn-3(c1n+bn)+9=-3n-3(n+3)+9=-3n(n+1),

UH1=]=_lrl_1x

、(a九一3)(b〃-3)—3n(n+l)3nTI+1'

原式=_\(i…+A,)

ii

=~3X(1-10)

19

---x---

310

3

=一奇

故答案为：

2

由根与系数的美系得+bn=几+3,an-bn=-3n>所以(a九—3)(6n—3)=ctnbn—3(a八+bn)+9=

-3n2-3(n+3)+9=-3n(n+l),则(5)；…)=-3n(；+l)=Vd一系)，然后代入即可求解♦

本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值.

19.【答案】解：(1)/一4=%+2,

*,*(%+2)(%—2)—(%+2)=0,

(%+2)(%—2—1)=0,

x+2=0,x—3=0,

%】~i%2=3；

(2)x2-2%-5=0,

移项得/—2x=5,

配方得/-2x+1=5+1,即(x-I)2=6,

x—1=+V-6>

•••X1=1+V-6>x2=1—V-6:

(3)2/+6x-1=0,

"a=2,b=6,c=­1,

A—b2-4ac=62—4x2x(-1)=44>0»

-6+^44-3±<T1

"*=-2x2-=2'

-3+<Tl-3-VTl

"'I二-2一，&=-2-'

【解析】(1)移项，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于X的一元一次方程，再进一

步求解即可；

(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；

(3)利用公式法求解即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配

方法.

20.【答案】解：⑴友-(/与+2)+/9

=：x2xC+4V-2-(2^f^0+2)x击

=C+47-2-(2V-l0+2)x号

=V~~5+4A/-2—2A/-5—yT~2

=3>J~2—A/-5;

(2)・・•点尸在力，B两点之间，且其对应的数为工,

A—1<X<2,

A\x+yj~~2\—7(3—%)2=%+2—(3—%)=%4-V-2—3+%=2%+2—3.

【解析】(1)先将二次根式进行化简，再根据二次根式的混合运算求解即可；

(2)先根据题意求出x的取值范围了，再化简即可.

本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解决本题的关键.

21.【答案】x2-4a6

【解析】解：(1)根据图象可得，纸片剩余部分的面积为炉-4ab,

故答案为：x2—4abt

(2)•••a=9+2y/~2,b=9—2吃，x=ll/T.

•­.%2-4ab=(11C)2-4x(9+2，1)x(9-

=605-4x[92-(2<2)2]

=605-4x(81-8)

=605-292

=313(c?n2).

(1)根据图象可得，剩余纸片的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积；

(2)将a=9+2，N,6=9-2，工，x=11，万代入求解即可.

本题考查了平方差公式、正方形和长方形的面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

22.【答案】(1)证明：••,4=0—2/一4x2(-m)

=m2—4m+4+8m

=(m+2)2>0,

・•・不论m为何实数，方程总有实数根；

(2)解：当机=一7时，方程为2--9X+7=0,

设方程的两根分别为与，不，

由根与系数关系得x/2=*

01177

S菱形ABCD=2X1%2=2X2=4-

所以菱形48co的面积是:.

【解析】(1)先计算判别式的值，再利用配方法得到/=(爪+2)2,则ANO,然后根据判别式的意义得到结

论；

(2)当m=—7时，方程为2/-9x+7=0,设方程的两根分别为与，孙则根据根与系数关系可得/血=%，

然后根据菱形的面积公式求解.

本题考查了根与系数的关系：若％i，是一元二次方程ax?+bx+c=0(a。0)的两根，则%+亚二-，

与犯=?•也考查了根的判别式和菱形的性质.

23.【答案】401800

【解析】ft?：(1)30+2x5=30+10=40(台)，

(50-5)x40=45x40=1800(元).

故答案为：40；1800.

(2)设每台空气加湿器应降价％元，则每台盈利(50-x)元，每天可以售出(30+2x)台，

依题意得：(50-x)(30+2x)=2100,

整理得：X2-35%+300=0,

解得：X]=15,x2=20.

・•,尽快减少库存，

x的值应为20.

答：每台空气加湿器应降价20元.

(3)不能，理由如下：

设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利(50-y)元，每天可以售出(30+2y)台，

依题意得：(50-y)(30+2y)=2500,

整理得：y2-35y+500=0.

•••4=(-35产-4x1x500=1225-2000=-775<0,

该方程无实数根，

商场平均每天盈利不能达到2500元.

(1)利用销售数量=30+2x降低的价格，即可求出当天的销售量，再利用总利润=每台的利润x销售数量,

即可求出结论；

(2)设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利(50-x)元，每天可以售出(30+2x)台，利用总利润=每台的

利润X销售数量，即可得出关于％的一元二次方程，解之即可得出K的值，再结合要尽快减少库存，即可确定

x的值；

(3)设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利(50-y)元，每天可以售出(30+2y)台，利用总利润=每台的

利润x销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式4=-775<0可得出该方程无实数根，进

而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元.

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算;

(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当4<0时，方程无实数根”.

24.【答案】B

【解析】解：(1)(2+口)x(2-V3)=4—3=1，

・•・对偶数2+C与2-C之间的关系是互为倒数，

故选：B；

(2)由题意得％==资漆凫②=H+2,y==(？爱回+2)=H—2,

x+y=2V_5,xy=1，

x2y+xy2=xy(x+y)=2，"^；

(3)令、24-x+V8-x=t，则两边同乘以V24-x-78-％=2,得24-x-(8-x)=2