海南省定安县定安中学2023-2024学年度高二年级上册开学考试数学试题【解析版】

海南省定安县定安中学2023-2024学年度高二上学期开学考试数学试

题【解析版】

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.集合4={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则AB=()

A.{123,4,5,6}B.{3,4}C.{1,2,3,4,5}D.(2,3,4,5,6}

2-i

2.复数=在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，正六边形ABCDE尸中，BA+CD+EF=（）

D.CF

4.已知向量4=(2,4),Z>=(-1,1),则2d+〃=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

5.已知向量”,人满足|“|=1,出|=后,|a-26|=3,则”功=（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.在ABC中，角ARC的对边分别为a,"c,a=S-j3,b=6,A=60°,则sin8=()

7.某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况，调研组采用分层抽样的方法，从甲、乙、丙三

所不同的高中共抽取60名教师进行调查.已知甲、乙、丙三所高中分别有180名、270名、90名教师，则

从乙校中应抽取的人数为（）

A.10B.20C.30D.40

8.从1,2,3,4这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为（）.

A.-B.-C.-D.g

6392

二、多项选择题（每题均有多个选项正确，每题5分，没有选全对2分，选错0分，共计20

分）

9.己知民/是三个不重合的平面，/是直线，给出的下列命题中，正确的命题有（）

A.若/上两点到a的距离相等，则〃/a

B.若Ila,1邛,则C4

C.若a〃夕，lap,且〃/a,则〃0

D.若夕〃夕,a〃7,则#//?

10.下列关于复数Z=*的四个命题，其中为真命题的是（）

1-1

A.z的虚部为1B.z2=2i

C.z的共朝复数为-1+iD.|z|=2

11.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件A=取出的两球同

色，3=取出的2球中至少有一个黄球，C=取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，E=

取出的2球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（）

A.事件A与。为对立事件B.事件5与C是互斥事件

C.事件C与E为对立事件D.事件P（C_E）=1

12.下列统计量中，能度量样本大,々，，斗的离散程度的是（）

A.样本为,々，，x”的标准差B.样本为,々，，x”的中位数

C.样本内,々，的极差D.样本内,々，，%的平均数

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（a-26）_Lb,则/=.

14.AABC的内角A&C的对边分别为a也c.若AABC的面积为"一1）,则人=.

4

15.i是虚数单位，复数9+消2i=__________.

2+1

16.如图，在长方体ABCD-AIBICIDI中，AB=BC=2,AAi=l,则ACi与平面AIBICQI所成角的正弦

值为.

四、解答题(第17题10分，第18,19,20,21,22题12分，共计70分)

=asinB；③asin8=Z?cos(4-看)这三个条件中

17.在①(sinB-sinC)~usin,A-sinBsinC；②「sin台；。

任选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若®=b+c，—，求4和8.

注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.

18.某中学举行电脑知识竞赛，先将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布

(2)高一参赛学生的平均成绩;

(3)按分层抽样的方法从［70,80),［80,90),［90,100］中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人

都是在［70,80)的概率.

19.在四棱锥P-A8CD中，底面为矩形，平面ABCD,点E在线段PC上，PC_L平面BDE.

(1)证明：80/平面PAC；

(2)若E4=l,AD=2,求几何体E-BCD的体积.

20.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在

13s内(称为合格)的概率分别为2:，43,、1若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：

543

(I)三人都合格的概率；

(II)三人都不合格的概率；

(III)出现几人合格的概率最大.

21.如图所示，已知ABCD为梯形，AB〃CD,CD=2AB,M为线段PC上一点.

(1)设平面PABCI平面PDC=/,证明:AB〃/;

(2)在棱PC上是否存在点M,使得PA〃平面MBD,若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.

22.第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校

承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组［45,55),

第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95),绘制成如图所示的频率分布直方图.已知

第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%,请估算被录取至少需要多少分.

1.B

【分析】根据集合的交集运算即可.

［详解］因为集合A={1,2,3,4},5={3,4,5,6},

所以A8={3,4}.

故选：B.

2.A

【分析】利用复数的除法可化简制，从而可求对应的点的位置.

1-31

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i山2士后.，上斗.C1)

【详解】----——-------=-----=——，所以该复数对应的1V点为|

l-3i10102122)

该点在第一象限，

故选：A.

3.D

【详解】将,F平移到工j，/尸平移到乙:，，

BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF，

故选D.

本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算

考点：向量的加法.

4.D

【解析】由4与。的坐标，通过线性运算即可求得.

【详解】因为4=(2,4),故2。=(4,8),则：

2a+6=(3,9).

故选：D.

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属基础题.

5.C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：•••|"2w2=|4|24.万+4时，

又|&|=1,|6|=百a-2b\=3,

；・9=1-4。•。+4x3=13-4〃•b，

••ah=\

故选：c.

6.D

【分析】利用正弦定理求得正确答案.

b8736

【详解】由正弦定理得」一

sinAsinB'sin60°sinB

6xsin60°3G_3

sin3=

8出86一§

故选：D

7.C

【分析】利用分层抽样的定义求解即可

【详解】从乙校中应抽取的人数为180+；27；01+90-60=30.

故选：C.

8.B

【分析】从1，2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍

的只有1,2；2,4.两种选法.利用古典概型的概率计算公式即可得出.

【详解】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，可有C：种方法，其中一个数是另一个数的两倍

的只有1,2；2,4.两种选法.所以其中一个数是另一个数的两倍的概率为3=：.

63

故选B.

【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.

9.BCD

【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可得结论.

【详解】a,夕是三个不重合的平面，/是直线.

对于A,若/上两点到a的距离相等，则当两点在平面的同侧时，〃/a,

当两点在平面的异侧时，/与a相交，故A错误；

对于B,若〃啰，则存在直线4使得〃/加，又因为/_Le,所以加，a,又利u),所以故B

正确；

对于C,若a",SB，且〃/a,则由线面平行的判定定理得〃/，故C正确；

对于D,若a//p,a//y,则6///,故D正确.

故选：BCD.

10.AB

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.

【详解】z=j==]+故虚部为1，共轨复数为1—i，1zUVi7乔=&,

1-1+1I

22

z=（l+i）=2i,故AB正确，CD错误,

故选：AB

11.AD

【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案.

【详解】设。是样本空间，

A选项，由于Au"=Q,AcO=0,所以A与。是对立事件，A选项正确.

B选项，由于5cC=“取出的2球中，一个黄球一个白球”，

所以3与C不是互斥事件，B选项错误.

C选项，由于CcE="取出的2球中，恰好有1个白球”，

所以C与E不是对立事件，C选项错误.

D选项，由于CuE=C,所以P（。£）=1,所以D选项正确.

故选：AD

12.AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

13.

5

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为。—相=（1,3）—2（3,4）=（1—32,3—4为，所以由可得，

a

3（l-3A）+4（3-42）=0,解得4=晟.

3

故答案为：-.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设。=（x，x）力=（%，必），

a_Lb=a力=0o不W+y%=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

24

14.y（或120）

【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解.

【详解】解：由余弦定理可得"2-2-。2=-2/?CCOSA,

△ABC的面积为佻&二£1=-BbccosA,

42

又因为S4ABe=[bcsinA=--feecosA.

22

所以tanA=-G，

由AG（0,兀）可得

27r

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题.

15.4-i

【分析】利用复数的除法化简可得结果.

9+2i（9+2i）（2-i）20-5i

【详解】2+i-（2+i）（2-i）-5--1,

故答案为：4—i.

16.1

-

【详解】解：因为长方体ABCO-ABCa中,AB=BC=2,4A=1,

则AC=V22+22+l2=3,

则作出AC,与平面AB£R所成角NAGA,

结合直角三角形可知其正弦值为1.

3

B

17.选择见解析；A=［,B==或二

31212

【分析】若选择条件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A；

若选择条件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin/的值，进而得出角A；

若选择条件③，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可求出tanA,进而得出角A.

再利用正弦定理化简缶+/>=2c，把C=TI-(A+B)代入，化简求值即可；

【详解】解析：选择条件①，由(sin8-sinC),=sin?A-sin8sinC及正值定理知(b-c)?=a2-be，

整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA="=区=:

2bc2bc2

VAG(O,7T),A=y；

由yfla=b+c得应sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B),

整理得sin(嗯［=4,

即V2sin—=sinB+sinI—+B

•••8+巳兰或/解得B书或录

选择条件②，因为A+3+C=7r,所以字==-?；

由Z?sinB+C=asinB得,bcos—=asinB

22

AAA

由正弦定理知，sin3cos—=sinAsinB=2sin—cos—sinB；

222

4A1

XsinB>0,cosy>0,可得sin]=]；

又因为Ae(O,兀)，所以，9=2故A=g；

263

由y[la=b+c得6sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B),

整理得［嗯卜等,

即&sin]=sin8+sin仁+3),sin

...匹唱,...5+X需),...崎弋吟,解得崂瞪

选择条件③，由“sin8=/?cos(Aq)及正弦定理得sinAsin8=sin8cos(A

*/sinB>0,sinA=cosIA--|=——cosA+—sinA解得tanA=5/3,

I6)22

,/.A=y；

由y/2a=Z?+cWV2sinA=sin5+sinC=sinB+sin(A+B),

即小呜=5出8+5布K+可，整理得时8+e

2

吟）,•,•8+3信篇，，B+冷哼解得8弋唔

18.⑴众数为65,中位数为65

(2)67

⑶一

15

【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可；

（2）根据频率分布直方图估计平均数即可；

（3）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案.

【详解】（1）由题图可知众数为65,

因为[50,60）的频率为0.03x10=0.3；[60,70）的频率为0.04x10=0.4；

[70,80）的频率为0.015x10=0.15；[80,90）的频率为。01x10=0.1；

[90,100]的频率为0.005x!0=0.05；

所以设中位数为60+x,则0.3+xx0.04=0.5,解得x=5,所以中位数为60+5=65；

（2）由（1）可得，平均成绩为55x0.3+65x0.4+75x0.15+85x0.1+95x0.05=67,

所以平均成绩为67；

（3）按分层抽样的方法从[70,80）,[80,90）,[90,100]中抽取6名学生,则分别抽取了3人，2人，1人.

设这6人分别为AB,C,D,E,F.

再从其中抽取2人，这一共有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,总共15种情

况.

两人都在[70,80）有CD一种情况，

则求这两人都是在[7Q80）的概率为七.

19.（1）证明见解析

【分析】(1)先由线面垂直的性质证出必，BD与PC_L8。，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可;

(2)设AC与8。的交点为。，连接0E,利用力小=为<如•肛可求三棱锥E-88的体积.

【详解】(1)证明：1ft4_L平面43CD,Qu面ABC3,

:.PA1BD.

「。，平面也汨，8E>u平面跳圮，

:.PCLBD.

又PA\PC=P,PAPCU平面PAC

平面PAC

(2)如图，设AC与BO的交点为。，连接0E.

由(1)知，平面PAC,:.BDA.AC,

由题设条件知，四边形ABC。为正方形.

由40=2，得4c=8。=2夜，0C=也.

在Rt/SPAC中，PC=-JPA'+AC2=J12+(2V2)2=3.

易知RtPAC^RtOEC,

.OECE_OCOECE^72rF_4

PAACPC12V2333

V..„=-5BD=--OECEBD=----2>j2=—.

…fl8r3cCmb03263327

20.(1),；(II)'；(III)1人.

2

【分析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立，则P(A)=-,

P(B)=j3,P(C)=g1,从而根据不同事件的概率求法求得各小题.

【详解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,

231

显然事件A,B,C相互独立，贝1」尸(4)=),P(B)=：,P(C)=-

设恰有k人合格的概率为R(k=0,1,2,3).

2311

(I)三人都合格的概率：^=P(ABC)=P(A)P(B)-P(C)=-x-x-=—

______3121

(II)三人都不合格的概率：/?,=/>(ABC)=P(A)-P(B)P(C)=-x-xj=-.

(III)恰有两人合格的概率：^=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+-x-x-+-x^x-=—.

54354354360

1231255

恰有一人合格的概率：q=a—A=i--------.

1°231060106012

因为5231

126010

所以出现1人合格的概率最大.

PM1

21.(1)见解析；(2)存在，—=-

MC2

【详解】试题分析：(1)因为AB〃CD,根据线面平行的判定定理可得AB〃平面PCD,再根据线面平行的性