重市庆南开中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末经典试题含解析

重市庆南开中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末经典试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6机的半圆，粮堆母线4C的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此

时，小猫正在5处，它要沿圆锥侧面到达尸处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）

A.3mB.3^3mC.3亚mD.4m

2.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

已知：如图，NBEC=NB+/C.

求证：ABIICD.

证明：延长BE交派于点E

则NBEC=_^_+NC（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之

和）.

又NBEC=NB+NC,得NB=▲.

故ABUCIX@相等,两直线平行）.

则回答正确的是（）

A.◎代表rrrB.@代表同位角

C.▲代表/EFf*D.※代表T=

3.如图，OO的弦AB垂直平分半径OC,若AB=a,则。。的半径为（）

V6

A.V2B.20rD.史

27

4.二次函数y=x2+4x+3,当0夂3时，y的最大值为（）

1921

A.3B.7C.—D.—

44

5.如图，所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（）

A.第一象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第一、四象限

6.一元二次方程x2-2x-1=0的根是（）

A.xi=l,X2=2B.XI=-1,X2=-2

C.X1=1+72»X2=l-V2D.X1=1+75,X2=l-V3

7.下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为（）

2

A.1234B.4312C.3421D.4231

8.如图，点。是AABC内一点，AD=11,BC=10,点E、F>G、”分别是A3、AC、CD、BD的中点,

则四边形EFGH的周长是（）

A.24B.21C.18D.14

9.如图，一人站在两等高的路灯之间走动，G8为人AB在路灯所照射下的影子，8〃为人在路灯CO照射下

的影子.当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是（）

A.先变长后变短B.先变短后变长

C.不变D.先变短后变长再变短

10.在平面直角坐标系中，二次函数y=2龙的图象可能是（）

y.

B.C.D.

11.如图所示的几何体的左视图为（

12.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则：将倡议书发

表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推.已知经

过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）

A.9B.10C.11D.12

二、填空题（每题4分，共24分）

13.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个。.

O

O

OOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1个第2个第3个第1个

14.一元二次方程x（x-2）=x—2的一个根为X=2,另一个根为.

15.已知反比例函数广2丄-」k的图象在第一、三象限内，则k的值可以是_,（写出满足条件的一个k的值即可）

X

16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的图象如图，有下列6个结论：①abcVO；②bVa+c；③4a+2b+cV0；（4）2a+b+c

>0；⑤〃一4双>0;®2a+b=0；其中正确的结论的有

17.某商场在“元旦”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个.顾客摸奖时，

一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖.那么顾客摸奖一次，得奖的概率是.

18.如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=丘,点。、E分别在此、AC上（点O不与点8、C重合），且N4OE

=45。，若AAOE是等腰三角形，贝！|CE=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线>="*+括与x轴交于点A,与y轴交于点8,点尸是点8

3

关于x轴的对称点，抛物线>=且好+权+’经过点A和点F,与直线43交于点C.

3

（1）求6和c的值；

（2）点尸是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结勿，PB.求△RIB的最大面积及点尸到直线AC的最大距离；

（3）点。是抛物线上一点，点。在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A,P,D,。为顶点且4尸为边的平行

21.（8分）如图，某农户计划用长12机的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙,

且墙的可利用长度最长为7m.

墙

（1）若生物园的面积为9”产，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？

（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？

22.（10分）如图，在ABC中，/是内心，AB=AC,。是AB边上一点，以点。为圆心，OB为半径的。经

过点/,交AB于点F.

（1）求证：A/是的切线；

（2）连接IF,若IF=2,Z/BC=30°,求圆心。到的距离及//的长.

23.（10分）解方程：X2+4X-3=1.

24.（10分）甲、乙、丙三位同学在知识竞赛问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序.求甲比乙先出场的概率.

25.（12分）某商场试销一种成本为每件6（）元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%,

经试销发现，销售量（件）与销售单价x（元）符合一次函数y="+b,且x=65时，y=55；x=75时，y=45.

（1）求一次函数y^kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大

利润，最大利润是多少元？

26.如图，已知。是坐标原点，B、。两点的坐标分别为（3,-1）,（2,1）,将A80C绕点。逆时针旋转90度，得到

岫。孰,画出△8QG，并写出3、C两点的对应点用、G的坐标，

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1,C

【详解】如图，由题意得：AP=3,AB=6,N84P=90.

在圆锥侧面展开图中BP=732+62=36m.

故小猫经过的最短距离是3亚m.

故选C.

【解析】根据图形可知※代表C。，即可判断根据三角形外角的性质可得◎代表NEFC,即可判断A；利用等量代

换得出▲代表NE尸C,即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角.

【详解】延长8E交。于点F,则N8EC=NEFC+NC（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）.

又NBEC=NB+NC,得N5=NEFC.

故A5〃CD（内错角相等，两直线平行）.

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单.

3、A

【解析】试题分析：连接OA,设。O的半径为r,由于AB垂直平分半径OC,AB=",贝||AD=&丄=並，OD=-

222

在RtAAOD中，OA2=OD2+AD2,即产=(—)2+()2,解得r=J5.

22

考点：(1)垂径定理；(2)勾股定理.

4、D

【解析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答.

【详解】解:j=x2+4x+3

=炉+43+4-1

=(x+2)2-1,

则当x>-2时，)随x的增大而增大，

...当x=丄时，y的最大值为(?)2+4X1+3=3，

2224

故选：D.

【点睛】

本题考查配方法把二次函数解析式化为顶点式根据二次函数性质解答的运用

5、C

【分析】根据输入程序，求得y与x之间的函数关系是y=-2,由其性质判断所在的象限.

X

【详解】解：X的倒数乘以-5为-2,即y=-3,则函数过第二、四象限，故选C.

XX

【点睛】

对于反比例函数y=&(k#)),(1)k>0,反比例函数图象在一、三象限；(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象

X

限内.

6、C

【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得.

【详解】解：,.,a=Lb=-2,c=-1,

(-2)2-4XlX(-1)=8>0,

则x=2也=1土近，

2

即X1=1+V2,X2=l-5/2，

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征，灵活选择解法是解题的关键.

7、B

【解析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四

个时刻的时间顺序.

【详解】解：时间由早到晚的顺序为1.

故选B.

【点睛】

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.

8、B

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出=EF=GH=LBC,然

22

后代入数据进行计算即可得解.

【详解】VE>F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

:.EH=FG=>AD,EF=GH」BC,

22

二四边形EFGH的周长=+EG+防=AQ+BC,

又•••AD=n,BC=10,

:.四边形EFGH的周长=11+10=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.

9、C

n/7AnAHAU

【分析】连接DF,由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF〃GH,可得k=——.又AB〃CD,得出—=——，

GHAHCDDH

ABAH,丄皿3、一•“，,DH1AD+AH,AD3.AD...DFAD

设----....=a,DF=b（a,b为常数），可得出....————1H------,从而可以得出»结合

CDDHAHaAHAHAHGH

可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.

【详解】解：连接DF,已知CD=EF,CD丄EG,EF丄EG,

•••四边形CDFE为矩形.

.,.DF/7GH,

.DFAD

r“ABAH

又AB//CD,:.-------------

CDDH

aABAH

设---=----=a,DF=b,

CDDH

DH1AD+AH1+处,

AHaAHAH

AD=丄-1,

AHa

DFAD

--1,

GHAHa

_a・DFab

Va,b的长是定值不变,

...当人从点C走向点£时两段影子之和GH不变.

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视

点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.

10、A

【分析】根据二次函数y=f-2x图像的特点可得.

【详解】解：二次函数y=/-2x与x轴有两个不同的交点，开口方向向上.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是二次函数的开口方向和与x轴的交点.

11、D

【解析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的左视图为长方形，据此观察选

项即可得.

【详解】观察实物，可知这个几何体的左视图为长方形，

只有D选项符合题意，

故选D.

【详解】本题考查了几何体的左视图，明确几何体的左视图是从几何体的左面看得到的图形是解题的关键.注意错误的

选项B、C.

12、B

【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了M个人，根据两轮传播共有111人参与

列出方程求解即可.

【详解】由题意，得

n+n2+l=lll,

解得：m=-ll（舍去），n2=10,

故选B.

【点睛】

本题考査了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两

轮总人数为111人建立方程是关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【解析】根据题目中的图形，可以发现O的变化规律，从而可以得到第2019个图形中。的个数.

【详解】由图可得，

第1个图象中O的个数为：l+3xl=4,

第2个图象中。的个数为：l+3x2=7,

第3个图象中。的个数为：1+3x3=10,

第4个图象中O的个数为：1+3x4=13,

...第2019个图形中共有：1+3x2019=1+6057=6058个O,

故答案为：1.

【点睛】

本题考査图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中。的变化规律，利用数形结合的思想解答.

14、x=\

【分析】利用因式分解法解得方程的两个根，即可得出另一个根的值.

【详解】x(x—2)=x—2,变形为：(x—2)(x-l)=0,

.,•X-2=0或1=0,

解得：玉=1；马=2,

二一元二次方程x(x—2)=x-2的另一个根为：x=l.

故答案为：x=l.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法.

15、1

2-k

【解析】在本题中已知“反比例函数y=——的图像在第一、三象限内，”从而得到2-k>o,顺利求解k的值.

x

【详解】反比例函数的图像在第一、三象限内可得，2-k>0

解得:kV2

不妨取k=l,可得已知反比例函数y=丄，即可满足的图像在第一、三象限内.

x

【点睛】

熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键.

16、①©⑤⑥

【分析】①由抛物线的开口方向判断。与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴位置

确定5的符号，可对①作判断；

②令x=-l,则丫=a-b+c,根据图像可得：a-b+c<l,进而可对②作判断；

③根据对称性可得：当x=2时，y>l,可对③对作判断；

④根据2a+b=l和c>l可对④作判断；

⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断；

⑥根据对称轴为：x=l可得：。=一；儿进而可对⑥判作断.

【详解】解：①•••该抛物线开口方向向下，

•.•抛物线对称轴在y轴右侧，

:・a、8异号，

•••抛物线与y轴交于正半轴，

Ac>l,

:・abcVl；

故①正确；

②：令x=-L则丫=a-b+c<l,

J.a+c<b,

故②错误；

③根据抛物线的对称性知，当x=2时，J>1,

即4a+2〃+c>l；

故③错误；

④•••对称轴方程x=~—=1,

2a

:・b=-2a,

:.2〃+。=19

Vc>l,

：.2a+b+c>l9

故④正确；

⑤•••抛物线与X轴有两个交点，

.".ax2+bx+c=l由两个不相等的实数根，

:.b1-4ac>1，

故⑤正确.

⑥由④可知：2a+b=l,

故⑥正确.

综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥.

故答案为：①④⑤⑥.

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与分的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函

数最值的熟练运用.

1

17、-

3

【分析】根据题意列举出所有情况，并得出两球颜色相同的情况，运用概率公式进行求解.

【详解】解：一次摸出两个球的所有情况有（红1,红2）,（红1,白1）,（红1,白2）,（红2,白1）,（红2,白2）,

（白1,白2）6种，其中两球颜色相同的有2种.

21

所以得奖的概率是：=

63

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查概率的概念和求法，熟练掌握概率的概念即概率=所求情况数与总情况数之比和求法是解题的关键.

18、2-6或叵.

2

【分析】当时，可能是ZM=OE,也可能是EO=E4,所以要分两种情况求出CE长.

【详解】解：VZBAC=90°,AB=AC=2,

：.ZB=ZC=45°.

:NADE=45。,

：.ZB=ZC=ZADE.

VZADB=NC+NDAC,Z.DEC=ZADE+ZDAC,

：.AADB=NDEC.

'：ZADC+ZB+ZBAD=1SO,NZ）EC+NC+NCQE=180°,

ZADC+ZB+ZBAD=ZDEC+ZC+ZCDE,

:.NEDC=NBAD,

:.△ABDS^DCE

VZDAE<ZBAC=90°,ZADE=45°,

...当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AO=OE.

：.4ABD沿厶DCE.

:.CD=AB=V2.

：.BD=2-夜=但

当4ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA.

:NADE=45。,

,此时有NOEA=90。.

即△ADE为等腰直角三角形.

：.AE=DE=-AC=—.

22

1V2

.,.CE=-AC=—

22

当AO=EA时，点。与点8重合，不合题意，所以舍去，

因此CE的长为2-五或叵.

2

故答案为:2-0或也.

2

【点睛】

此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质.

三、解答题（共78分）

z<X>2V3/r/〜、25>/325上,-s/JT5-\/3、_p.,355/3、

19、（1）b=—!—,c=-J3;（2）——,一；（3）点。的坐标为：（-1---,-^―）或（-一，--）

3882424

、而56、一，511石、-57®

（-1+--,^―）或（一，-------）或（—，-

2424212

【分析】（1）直线丫=且％+百与x轴交于点A,与>轴交于点8,则点A、8的坐标分别为：（-3,0）,（0,73）,

3

则点尸（0,-石），抛物线了=［》2+笈+（.经过点厶和点；7,贝員=一指，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：

,2也

b--------s

3

（2）过点P作）'轴的平行线交AB于点〃，设出点P,H的坐标，将aPAB的面积表示成aAPH和△BPH的面积之

和，可得函数表达式，可求aPAB的面积最大值，此时设点P到AB的距离为d,当APAB的面积最大值时d最大，

利用面积公式求出d.

（3）若存在以A,P,D,。为顶点且AP为边的平行四边形时，平移AP,得出所有可能的情形，利用平行四边形

的对称性得到坐标的关系，即可求解.

【详解】解：（1）直线y=与x轴交于点A,与丁轴交于点8,

3

令x=0,贝ijy=6,令y=0,则x=-3,

则点A、8的坐标分别为：（—3,0）、（0,0），

,:点F是点B关于x轴的对称点,

.,.点F(0,-®

V抛物线y=^-x2+bx+c经过点A和点P,贝！Ic=一百，

将点A(-3,0)代入抛物线表达式得：0=?(一3)2+8X(—3)—G,

2G

解得:

2

故抛物线的表达式为：y=^-x+^-x-y/3,

33

,2百厂

b=------，c=-V3;

3

则AR48的面积:

S=；x(xp-xjXPH+gx-xPH=gPHxAO

=3(旦+必旦2—亚x+6)=3(—立――旦+2.

2333233

当、=+三1十丁2丿=-/

岭+争3手

，s的最大值为生叵，此时点P(-<,

82

设：P到直线AC的最大距离为d,AB=26

_1.,_25>/3版殂,_25

Sc=—xABDxd=-------9：d—;

288

（3）存在，理由：

点A（-3,0）,点尸（一］,一雪，设点。（皿〃），〃=立,二+亚〃?一栃，

2433

①当点。在x轴上时，

若存在以A,P,D,。为顶点且A尸为边的平行四边形时，如图，

三种情形都可以构成平行四边形，

由于平行四边形的对称性可得图中点Q到x轴的距离和点P到x轴的距离相等,

.丄5G

••H=±-----,

4

即立府+33m-6=土更,

334

解得：加=_丄（舍去）或一2或t土画；

222

②当点。在）'轴上时，如图：

当点Q在y轴右侧时，由平行四边形的性质可得:

和一4=々一/=3,

（°

:.m-——=3

I2丿

：.m=-,代入二次函数表达式得：y=lbm

24

当点Q在y轴左侧时，由平行四边形的性质可得：

1

XQ—XA~~XD—Xp=万，

m-(-3)=p

代入二次函数表达式得：丫=一迪

212

故点°(|,苧)或(-|,-笔)；

故点。的坐标为：(-1-孚，苧)或(|，-坐或(-1+孚，哈或((，苧)或《-哈•

【点睛】

本题考査的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中(3),要注意分类求

解，避免遗漏.

20、21

【解析】试题分析:先乘方,再乘除，最后再计算加减.

试题解析：4+(-2)2X2-(-36)4-4,

=4+4X2-(-36)4-4,

=4+8-(-9),

=12+9,

=21.

21、(1)3m；(1)生物园垂直于墙的一边长为平行于墙的一边长为6小时，围成生物园的面积最大，且为U/M

【分析】(1)设垂直于墙的一边长为X米，则平行于墙的一边长为(11-3幻米，根据长方形的面积公式结合生物园

的面积为9平方米，列出方程，解方程即可；

(1)设围成生物园的面积为y,由题意可得：y=x(H-3x)且|<x<4,从而求出y的最大值即可.

【详解】设这个生物园垂直于墙的一边长为丫机，

(1)由题意，得x(11-3x)=9,

解得，xi=l(不符合题意，舍去)，xi=3,

答：这个生物园垂直于墙的一边长为3m；

(1)设围成生物园的面积为yM.

由题意，得y=x(12-3x)=-3(x-2y+i2,

.fl2-3x<7

'|12-3x>0

x<4

3

二当x=l时,y最大值=11,11-3x=6,

答：生物园垂直于墙的一边长为平行于墙的一边长为6,"时，围成生物园的面积最大，且为11,/.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是正确解读题意，根据题目给出的条件，准确列出

方程和二次函数解析式.

22、(1)见解析；(2)点。到W的距离是1,//的长度手

【分析】(1)连接OL延长AI交BC于点D,根据内心的概念及圆的性质可证明OI〃BD,再根据等腰三角形的性质

及平行线的性质可证明NAIO=90。，从而得到结论；

(2)过点O作OE丄BL利用垂径定理可得到OE平分BI,再根据圆的性质及中位线的性质即可求出O到BI的距离;

根据角平分线及圆周角定理可求出NFOI=60。，从而证明aFOI为等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可.

【详解】解：(1)证明：延长AI交BC于D,连接OL

•••I是△ABC的内心，

.♦.BI平分NABC,AI平分NBAC,

.•.N1=N3,

XVOB=OL

:.N3=N2,

.•.Z1=Z2,

，OI〃BD,

又；AB=AC,

，AD丄BC,即NADB=90°,

.,.ZAIO=ZADB=90o,

.•.AI为0。的切线；

(2)作OE丄BL由垂径定理可知，OE平分BL

又,.,OB=OF,

...OE是△FBI的中位线，

VIF=2,

11c

.,.OE=