广东省中山市永安中学2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试题（含答案）

中山市永安中学2023级高一下学期第一次段考数学试题时长：120分钟总分150分一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个正确选项.1．（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，则（

）A． B．C．6 D．3．已知，则（

）A． B． C． D．4．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（

）A．1 B． C． D．5．点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（

）A．6 B．8 C．12 D．156．如图，在中，已知是边上的一点，，则的长为（

）

A． B． C． D．107．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心8．已知函数（，）为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量是10．已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（

）A． B． C．0 D．11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（

）A．若，，则B．若，则是等腰直角三角形C．若是锐角三角形，则D．若为非直角三角形，则12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（

）A．外接圆的半径为B．若的平分线与交于，则的长为C．若为的中点，则的长为D．若为的外心，则三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．在锐角中，若，则的范围．14．已知Rt的面积为6，斜边长为6，设为在上的投影向量，.15．已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径．16．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为，若、分别是边、的中点，则的取值范围是．

四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)点D在线段BC上，，，求的值．18．已知向量与的夹角为，且.(1)求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)若与夹角为钝角，求实数k的取值范围.19．已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式和单调递增区间.(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.20．定理：如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点在内部，满足，求的值；(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；(3)用“奔驰定理”证明推论②.21．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B的值；(2)若，求的取值范围．22．如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记．(1)若点P是弧的中点，求三条街道的总长度；(2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化；(3)由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．参考答案：1．B【分析】根据正弦的差角公式即可化简求解.【详解】,故选：B2．D【分析】利用向量共线的坐标表示，列式计算作答.【详解】向量，且，则，所以.故选：D3．C【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可.【详解】因为，所以.故选：C.4．D【分析】由题意可知，，根据平面向量基本定理，将用线性表示，根据两个向量相等即可求出的值，即可得出答案.【详解】由题知点为线段上的一个三等分点，所以，所以，因为不共线，所以，故.故选：D.5．A【分析】根据向量关系可得，即可表示出面积关系.【详解】如图，设中点为，中点为，因为，即，则，即，则，所以的面积与的面积的比值是6.故选：A.6．B【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.【详解】在中，，因为，所以，在中，.故选：B.7．D【分析】计算的值，可得出结论.【详解】因为，，，因此，点的轨迹经过的垂心，故选：D.8．C【分析】由为奇函数，可得，，由函数在上单调递减，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式组求解即可.【详解】解:

因为为奇函数，，所以，所以.令，，，则，因为在上单调递减，所以，解得.故选：C.9．BCD【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断.【详解】对于A：，故A错误.对于B：，因为，所以，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：在上的投影向量是，故D正确.故选：BCD.10．AB【分析】设，然后分别将表示为的形式，再根据向量数量积的定义以及的取值范围求解出可取值.【详解】设，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：AB.【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算；本例中利用基底表示出，然后再进行计算.11．CD【分析】A由正弦定理有，代入目标式即可判断；B正弦边角关系及三角恒等变换得，结合三角形内角性质即可判断；C由题设且都为锐角即可判断；D利用商数关系、和差角正余弦公式化简判断是否与右侧相等.【详解】A：由，则，错；B：，而，所以或，即是等腰三角形或直角三角形，错；C：由锐角三角形知：，故，对；D：，对.故选：CD12．BD【分析】依题意由正弦定理可得，根据余弦定理和三角形面积公式可求得，再由正弦定理可得A错误；根据等面积法可得角平分线的长为，即B正确；由可求得，即C错误；利用外接圆以及投影向量的几何意义可得D正确.【详解】根据题意由，利用正弦定理可得，不妨设，利用余弦定理可得，又，可得；又面积为，解得，所以，对于选项A，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，即A错误；对于B，分别作垂直于，垂足为，如下图所示：

易知的面积为，可得，即B正确；对于C，若为的中点，易知，如下图所示：

所以可得，可得，即C错误；对于D，延长交外接圆于点，连接；如下图所示：

易知即为直径，所以可知，；利用投影向量的几何意义可得，即可得D正确.故选：BD．【点睛】方法点睛：在解三角形问题中遇到与角平分线或者中线相关的问题时，可根据题目信息采用等面积法求解角平分线长度，利用向量求解中线长度.13．【分析】根据正弦定理，边化角，然后利用锐角三角形角的范围即可求解.【详解】由正弦定理可知,而在锐角中，,,所以,从而有,故答案为:.14．【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】依题意.依题意，,所以.故答案为：15．2【分析】由余弦定理及三角形面积公式得出，再由正弦定理求外接圆直径即可.【详解】由，，即，由，所以，，.故答案为：16．20【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值.利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围.【详解】由余弦定理，，由于，所以.设是中点，则共线，如图，

，.，.因为的最大值为，所以的最大值为.，其中，即，所以，故.即的取值范围是.故答案为：；【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用向量数量积运算得到，从而转化为求的范围即可，同理得到，再代入相关数据转化为求的范围即可.17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）根据角之间的关系及正弦定理求出，即可得出答案.【详解】（1）由结合正弦定理可得，因为，所以，所以，即，因为，所以，因为，所以；（2）如图，

在中，，在中，，由正弦定理可得：，故，即，所以，故的值为．18．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据定义得出内积的值，并根据展开得到；（2）利用直接计算即可得到结果；（3）将条件转化为且，然后计算，解不等式即可得到结果.【详解】（1）由题目条件知，.（2）.（3）由于，，，而与夹角为钝角，这等价于且.从而且，即且.将方程变形为，整理得到，即.这在时一定不成立，故可直接去除该条件.从而的取值范围是.19．(1)，单调递增区间为(2)【分析】（1）根据二倍角的余弦以及辅助角公式化简，即可得出.然后由已知推得，即可得出，得出解析式；整体代换，即可得出函数的单调递增区间；（2）先根据图象平移得出的解析式，然后根据已知的范围得出，结合正弦函数的性质，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，.又图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，，即，所以，所以，.由可得，，所以，的单调递增区间为.（2）由（1）知，，将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.因为，所以.因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，当时，，所以，，所以，函数的值域为.20．(1)(2)，(3)证明见解析【分析】（1）根据奔驰定理可求得的值；（2）由奔驰定理得出，进而可得出，即可求得、的值；（3）设的外接圆半径为，，，，利用三角形的面积公式结合“奔驰定理”可证得推论②成立.【详解】（1）解：因为，根据奔驰定理可得，因此，.（2）解：根据奔驰定理，得，即，整理可得，因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，.（3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为，，，，故，同理，，根据奔驰定理，.即.所以.21．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；（2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；（2）由正弦定理，则，所以，，因为在锐角三角形中，得，所以，则，所以的取值范围为.22．(1)(2)，不会随的变化而变化.(3)