专题03 等式性质与不等式性质（3知识点+2题型+3考法）（解析版）

专题03等式性质与不等式性质（3知识点+2题型+3考法）等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质常考题型比较大小（证明不等式）不等式性质等式性质题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与证明不等式考法1：利用不等式性质比较大小考法2：利用不等式性质求取值范围考法3：不等式的实际应用知识点一：知识点一：等式性质1.等式的基本性质（1）如果a＝b，那么b＝a.（对称性）（2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.（传递性）（3）如果a＝b，那么a±c＝b±c.（同加（减）性）（4）如果a＝b，那么ac＝bc.（同乘性）（5）如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).（同除性）知识点二、知识点二、不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点三：知识点三：比较大小（证明不等式）（1）作差比较法①理论依据：②一般步骤：ⅰ）作差，ⅱ）变形，ⅲ）判号，ⅳ）作结论。③作差变形的常用方法：ⅰ）将差式因式分解；ⅱ）将差式根式有理化；ⅲ）将差式配方。（2）作商比较法①理论依据：设。②一般步骤：ⅰ）考查两个数是否为正；ⅱ）作商；ⅲ）变形；ⅳ）与1比较大小；ⅴ)作结论。③当时，也可以用作商比较法，但结论相反（3）介值比较法①理论依据：若，其中是的中介值②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个适当的中介值。（4）平方比较法①理论依据：若③平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差比较法连用即平法过后作差。题型一：不等式性质的应用考法1：利用不等式性质比较大小解题思路：利用不等式性质比较大小方法（1）判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．（2）充分利用基本初等函数性质进行判断．（3）小题可以用特殊值法做快速判断．例1．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质，即可判断选项.【详解】A.当，有，若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，则，故C正确；D.若，则，故D错误.故选：C例2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.【详解】对于A，若，则，即，正确；对于B，若，当时，；当时，，错误；对于C，若，则，所以，所以，所以，错误；对于D，若即，所以即，又，所以，所以，所以，错误.故选：A.例3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（

）A．若且，则B．若，则C．若且，则D．若，则【答案】C【分析】对A,B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.【详解】对A，当时，，故错误；对B，当，时，，故错误；对C，，，则，，则，故C正确；对D，当，满足前提，但此时，，，故错误.故选：C.例4．下列结论不正确的有（

）个①若，则

②若，则③若，，则

④若，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依据不等式的性质结合特值验证法，依次判断即可.【详解】.①当时，在不等式两边同除以,得，故①错误；②令，，满足，不成立，故②错误；③若，不等式两边同乘以负数，不等号方向改变，成立，故③正确；④由，则，故不成立，故④错误.故选：C.变式训练5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质，利用作差比较，即可求解，得到答案．【详解】解：由题意，因为，所以，对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，若，则，所以不正确；对于C中，，故，所以是正确的；对于D中，，则，所以不正确.故选：C．6．若a，b，c为实数，且，则下列命题中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可判断A，利用不等式的性质可判断BC，利用作差法可判断D.【详解】当时，，故A错误；因为，所以，，∴，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，所以，所以，故D错误.故选：B．7．对于实数，正确的命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则， D．若，，则【答案】AB【分析】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解.【详解】对于A，，，即，故A正确；对于B，，则，故B正确；对于C，令，满足，但，故C错误；对于D，，，即，故D错误.故选:AB.8．如果，则下列选项不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确.B选项，若，如，则，所以B选项不正确.C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.D选项，若，如，此时，所以D选项不正确.故选：ABD9．实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用不等式的性质、特殊值法和作差法判断可得解.【详解】解：因为，所以，故选项A正确；令、，，，满足，此时，故选项B错误；因为，所以，，所以，故选项C正确；因为，则，因为，，所以，所以，故选项D正确.故选：ACD.考法2：利用不等式性质求取值范围解题思路：利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．例1．已知，，则下列正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据不等式的性质逐项分析即得.【详解】由，可得，又，所以，故A正确；由，可得，又，所以，故B错误；由，可得，又，所以，故C正确；因为，又，所以，故D错误.故选：AC.例2．已知函数，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得，用和表示出后，结合不等式的性质可得．【详解】由得，，又，，，所以，故选：D．例3．已知，，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ACD【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；故选：ACD.变式训练4．已知，则（

）A．的取值范围为（－5，0） B．的取值范围为（4，7）C．的取值范围为（2，5） D．的取值范围为（－6，－1）【答案】ACD【分析】由不等式的性质，分别求出的范围，对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，则，故A正确；对于B，，则，故B不正确；对于C，，则，故C正确；对于D，由，所以，所以，，所以，所以，则D正确；故选：ACD.5．已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把所求用已知条件表示出来，再把其取值范围整体代入即可求解．【详解】设，则，所以解得所以．又，故选：B．6．已知，则的取值范围为_________【答案】【分析】根据不等式的性质计算可得；【详解】：因为，所以，因为，所以，所以，则的取值范围为故答案为：7．已知实数x，y满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接由不等式的性质依次判断4个选项即可.【详解】由，，知，，A、C正确；，故，B错误；，故，D错误.故选：AC.8．已知实数满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】解：因为，所以，所以.故选：A.考法3：不等式的实际应用解题思路：(1）根据实际情况列出不等式，注意各元的取值范围，在利用不等式性质求解例1．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论．【详解】解：依题意糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确．故选：．例2．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（

）A．妈妈 B．爸爸 C．一样 D．不确定【答案】B【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，且，，所以，即，所以爸爸的加油方式更合算.故选：B变式训练20．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．【答案】(1)30平方米(2)变好了【分析】（1）根据题意列出关于的等量关系和不等量关系，化简求解即可（2）分式的分子分母同时增加，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了【详解】（1）根据题意可得：，则，所以，解得：，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米（2）同时增加窗户面积和地板面积后，比值为，则，因为，所以，所以，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了21．一般的人，下半身长x与全身长y的比在0.57~0.6之间，这个比值越接近黄金分割值0.618就越美，为了追求这个比值，女土们穿高跟鞋，而芭蕾舞演员在表演时脚尖立起以美的享受，用来解释这种现象的数学关系式为.【答案】【分析】根据题意可得数学关系式为，由在0.57~0.6之间，得，再利用作差法即可证明，即可得出答案.【详解】解：，设穿高跟鞋或脚尖立起下半身增加，因为在0.57~0.6之间，所以，因为，所以，所以当穿高跟鞋或脚尖立起时下半身长与全身长的比越接近于黄金分割值0.618，所以用来解释这种现象的数学关系式为.故答案为：.22．甲乙两车主约定好同时到同一加油站为自己的小车加同一标号的汽油，受国际油价影响，汽油的价格是变化的（不是常数），而他们的加油方式又不一样，甲车主每次总是加200元的油，乙车主每次加30升汽油，则甲乙两种加油方式相比更合算的是（

）A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定【答案】A【分析】假设甲乙两车主同时去加油两次，x、y（x≠y）分别表示两次加油时的单价（单位：元/升），求出甲乙两次加油的平均单价，然后作差比较大小即可.【详解】假设甲乙两车主同时去加油两次，x、y（x≠y）分别表示两次加油时的单价（单位：元/升）则甲两次加油升，乙两次加油共需付款30（x＋y），所以甲两次加油的平均单价为元/升，乙两次加油的平均单价为元/升，则，故乙两次加油的平均单价更高，甲乙两种加油方式相比更合算的是甲.故选：A.题型二：比较数（式）的大小与证明不等式解题思路：比较或者证明两个数或代数式的大小的三种方法（1）作差比较法①理论依据：②一般步骤：ⅰ）作差，ⅱ）变形，ⅲ）判号，ⅳ）作结论。③作差变形的常用方法：ⅰ）将差式因式分解；ⅱ）将差式根式有理化；ⅲ）将差式配方。（2）作商比较法①理论依据：设。②一般步骤：ⅰ）考查两个数是否为正；ⅱ）作商；ⅲ）变形；ⅳ）与1比较大小；ⅴ)作结论。③当时，也可以用作商比较法，但结论相反（3）介值比较法①理论依据：若，其中是的中介值②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个适当的中介值。（4）平方比较法①理论依据：若③平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差比较法连用即平法过后作差。例1．设，，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据作差法判断两式大小.【详解】，∴.故选：A.例2．，，，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．的大小无法确定【答案】B【分析】（分子有理化）化简P，Q，比较分母大小.【详解】，，显然，则有，，两边同时乘以2，即得到，即，.故选：B.例3．（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．变式训练4．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较大小.【详解】因为，所以，，所以．故选:A.5．比较下列各组中两个代数式，满足的是（

）A．与B．与C．当时与D．与【答案】C【分析】依题意只需恒成立，作差即可判断.【详解】解：依题意恒成立，即恒成立，对于A：，故A错误；对于B：，当时，当时，当时，故B错误；对于C：，当时，所以，故C正确；对于D：，故D错误；故选：C6．（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用作差法即证；（2）利用作差法即证.【详解】（1）∵，∴；（2）∵，当且仅当时等号成立，∴一、单选题1．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】对于A，取代入判断；对于B，代入判断；对于C、D，根据不等式的性质运算分析判断．【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，若，取，则，B错误；对于C，∵，则，即，C正确；对于D，∵，则，∴，D错误；故选：C．2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】举反例，取，可判断,取可判断B；根据不等式性质可判断D.【详解】取，满足，但，A错误；当，若，则，B错误；取，满足，但，C错误；若，则，故，所以，故D正确，故选:D.3．为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（

）A．20 B．22 C．26 D．28【答案】B【分析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，由题意得到，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解.【详解】设教师人数为，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x、y、z、t∈Z，则，，则，又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得，当时，，此时总人数最少为22.故选:B.4．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令、得，利用不等式的性质进行运算即可得答案．【详解】令，，则，∵，，即，，∴，则，即.故选：C5．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B6．若，且a≠b，则中的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可判断，再根据基本不等式即可判断出四个式子的大小关系.【详解】因为，所以，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，因为，所以；同理，综上所述，上述四个式子中最大值为.故选：A7．已知实数x，y分别是方程的解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数x，y分别是方程的解可得，进而可得.【详解】因表示实数t的范围是，所以．所以，且当时，有最大值是3；当时，有最小值是0．故的取值范围是．故选:C．8．已知，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】解：因为，，所以，，所以，即故选：C9．已知，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定【答案】C【分析】由题意，采用作差法，可得答案.【详解】，故，所以.故选：C.二、多选题10．下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断【详解】对于，因为，，所以，故正确；对于，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D，当时，满足，但，此时，故D错误，故选：AB11．已知实数x，y满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用不等式的性质求解.【详解】实数x，y满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC选项正确；由，得，B选项错误；由，得，D选项正确.故选：ACD12．若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ABC【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，