湘教版初中数学七年级下册第3章因式分解习题课件

3.1多项式的因式分解12021/10/10星期日一、因式因为21=3×7，所以把3和7分别叫做21的一个_____同理：对于两个多项式f与g，如果多项式h使得f=gh，那么，把__和__分别叫做__的一个因式.因数ghf22021/10/10星期日二、因式分解1.计算下列各式：(1)3x(x-1)=______；(2)(m+4)(m-4)=_____；(3)(y-3)2=_______；(4)a(a+1)(a-1)=____.3x2-3xm2-16y2-6y+9a3-a32021/10/10星期日2.根据上面的算式填空：(1)3x2-3x=________；(2)m2-16=___________；(3)y2-6y+9=______；(4)a3-a=____________.3x(x-1)(m+4)(m-4)(y-3)2a(a+1)(a-1)42021/10/10星期日【归纳】把一个多项式表示成若干个多项式_____的形式，称为把这个多项式因式分解.乘积52021/10/10星期日【预习思考】因式分解和整式乘法有什么关系？提示：是相反的过程.62021/10/10星期日

因式分解的概念【例1】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)36a2b=3a·12ab；(2)x2－2xy+y2=(x－y)2；(3)(a－1)(a+2)=a2+a－2；(4)ax+bx=x(a+b)；(5)4a2－8a－1=4a(a－2)－1.72021/10/10星期日【解题探究】(1)36a2b=3a·12ab等号的左侧是单项式，所以该变形不是因式分解.(2)x2－2xy+y2=(x－y)2等号的左侧是多项式，右侧是几个整式的积的形式，所以该变形是因式分解.(3)(a－1)(a+2)=a2+a－2等号的左侧是几个整式的积的形式，不是多项式，所以该变形不是因式分解.82021/10/10星期日(4)ax+bx=x(a+b)等号的左侧是多项式，右侧是几个整式的积的形式，所以该变形是因式分解.(5)4a2－8a－1=4a(a－2)－1等号的左侧是多项式，但等号的右侧不是几个整式的积的形式，所以该变形不是因式分解.92021/10/10星期日【规律总结】因式分解的两个要求1.分解的结果要以积的形式表示.2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数.102021/10/10星期日【跟踪训练】1.下列各式由左边到右边的变形中是因式分解的为()(A)a(x+y)=ax+ay(B)x2-4x+4=x(x-4)+4(C)10x2-5x=5x(2x-1)(D)x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x【解析】选C.A是单项式与多项式的乘法，错误；B等号右边不是积的形式，错误；C为因式分解，正确；D等号右边不是积的形式，错误.112021/10/10星期日2.下列各式由左边到右边的变形不是因式分解的为()(A)x2+3x+2=x(x+3)+2(B)x2-x+=(x-)2(C)a2-25=(a+5)(a-5)(D)3ax-3ay+3a=3a(x-y+1)【解析】选A.选项A的右边不是积的形式，而是和的形式，而其他三个选项均符合因式分解的定义.122021/10/10星期日3.7，21和42的最大公约数为_______.【解析】因为21=3×7，42=2×3×7，所以7，21和42的最大公约数为7.答案：7132021/10/10星期日4.若4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b);4a2-6ab=2a(2a-3b);8a3-27b3=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2).则多项式4a2-9b2,4a2-6ab和8a3-27b3都含有的因式为_________.【解析】2a+3b和2a-3b是4a2-9b2的因式，2a和2a-3b是4a2-6ab的因式，2a-3b和4a2+6ab+9b2是8a3-27b3的因式，故这三个多项式都含有的因式为2a-3b.答案：2a-3b142021/10/10星期日

因式分解与整式乘法的关系【例2】(6分)若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，试求a，b的值.【规范解答】由题意，得x2+ax+b=(x+1)(x-2)，而(x+1)(x-2)=x2-x-2，………2分所以x2+ax+b=x2-x-2.比较两边系数，得a=-1，b=-2.………………6分特别提醒:注意多项式与多项式相等，是指各项的系数对应相等.152021/10/10星期日【互动探究】如何检验因式分解的结果是否正确？提示：把右边的整式相乘，若等于左边的多项式则分解正确，否则分解错误.162021/10/10星期日【规律总结】因式分解与整式乘法的关系1.如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程.2.如果把多项式的因式分解看做一个变形过程，那么整式乘法又是因式分解的逆过程.3.多项式的因式分解与整式乘法互为逆过程，这种互逆联系，一方面说明了两者之间的密切联系，另一方面又说明了两者的根本区别.172021/10/10星期日【跟踪训练】5.(2012·西宁中考)下列因式分解正确的是()(A)3x2-6x=x(x-6)(B)-a2+b2=(b+a)(b-a)(C)4x2-y2=(4x-y)(4x+y)(D)4x2-2xy+y2=(2x-y)2182021/10/10星期日【解析】选B.x(x-6)=x2-6x≠3x2-6x,故选项A错误;(b+a)(b-a)=b2-a2=-a2+b2,故选项B正确;(4x-y)(4x+y)=(4x)2-y2=16x2-y2≠4x2-y2,故选项C错误;(2x-y)2=4x2-4xy+y2≠4x2-2xy+y2,故选项D错误.192021/10/10星期日6.(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果()(A)9a2+y2(B)-9a2+y2(C)9a2-y2(D)-9a2-y2【解析】选C.(3a-y)(3a+y)=9a2-y2.202021/10/10星期日7.若x2+x+m=(x+n)2，求m，n的值.【解析】因为(x+n)2=x2+2nx+n2=x2+x+m，所以2n=1，n2=m，解得：m=，n=.212021/10/10星期日【变式备选】已知二次三项式2x2+3x-k=(2x-5)(x+a)，求a和k的值.【解析】由2x2+3x-k=(2x-5)(x+a)得2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a，所以2a－5=3，－5a=－k，解得：a=4，k=20.222021/10/10星期日1.(2012·济宁中考)下列式子变形是因式分解的是()(A)x2-5x+6=x(x-5)+6(B)x2-5x+6=(x-2)(x-3)(C)(x-2)(x-3)=x2-5x+6(D)x2-5x+6=(x+2)(x+3)232021/10/10星期日【解析】选B.x2-5x+6=x(x-5)+6的右边最终还是和的形式，所以不是因式分解，所以A选项错误；x2-5x+6=(x-2)(x-3)满足多项式由和差形式化为乘积形式，且右边(x-2)(x-3)=x2-3x-2x+6=x2-5x+6，等号的左边和右边相等，所以B选项正确；(x-2)(x-3)=x2-5x+6是将乘积的形式化成和差的形式，是多项式乘法而不是因式分解，所以C选项错误；x2-5x+6=(x+2)(x+3)“看起来”满足多项式由和差形式化为乘积形式，但是(x+2)(x+3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6,与等号的左边x2-5x+6不相等，所以D选项错误.242021/10/10星期日2.一个多项式因式分解的结果是(b3+2)(2-b3)，那么这个多项式是()(A)b6-4(B)4-b6(C)b6+4(D)-b6-4【解析】选B.(b3+2)(2-b3)=4-b6.252021/10/10星期日3.(2x+a)(2x-a)是多项式________因式分解的结果.【解析】(2x+a)(2x-a)=4x2-a2.答案：4x2-a2262021/10/10星期日4.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)·_______=(x+2)2,故x2-4和(x+2)2都含有的因式为_______.【解析】因为(x+2)2=(x+2)(x+2),故x2-4和(x+2)2都含有的因式为x+2.答案：(x+2)x+2272021/10/10星期日5.已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5)，且m+n=17，试求m，n的值.【解析】设另一个因式是x+a，则有(x+5)·(x+a)=x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，所以5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组解得所以m，n的值分别是7，10.282021/10/10星期日3.2提公因式法292021/10/10星期日一、公因式(1)多项式abc+a各项公共的因式是__.(2)多项式4x2-2xy各项公共的因式是___.(3)6x3y2z-3xy3各项公共的因式是____.【归纳】几个多项式的_____的因式称为它们的公因式.a2x3xy2公共302021/10/10星期日二、提公因式法根据一的结果填空：(1)abc+a=________.(2)4x2-2xy=_________.(3)6x3y2z-3xy3=____________.a(bc+1)2x(2x-y)3xy2(2x2z-y)312021/10/10星期日【归纳】如果一个多项式各项有公因式，可以把这个_______提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.公因式322021/10/10星期日【预习思考】用提公因式法因式分解时，提取公因式后另一个多项式的项数与原多项式的项数有什么关系？提示：相等.332021/10/10星期日

用提公因式法因式分解【例1】(8分)(1)7x2-21x;(2)8a3b2-12ab3c+ab;(3)-24x3+12x2-28x;(4)6(x-2)+x(2-x).342021/10/10星期日【规范解答】(1)原式=7x·x-7x·3……………1分=7x(x-3).………2分(2)原式=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1

…………3分=ab(8a2b-12b2c+1).……………4分特别提醒:找公因式时不要有遗漏.352021/10/10星期日(3)原式=-4x·6x2+(-4x)·(-3x)-4x·7

……5分=-4x(6x2-3x+7).………………6分(4)原式=6(x-2)-x(x-2)………7分=(x-2)(6-x).…………………8分362021/10/10星期日【互动探究】怎样确定公因式？提示：(1)确定系数：各项系数的最大公约数；(2)确定字母：每一项都含有的字母；(3)确定指数：相同字母指数的最小值.372021/10/10星期日【规律总结】用提公因式法因式分解的步骤定化提查确定公因式；把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式；把公因式提到括号前，把每一项除公因式外的因式放到括号内，并进行合并同类项；检查提公因式后的因式里面是否还有公因式，是否存在漏项的情况.382021/10/10星期日【跟踪训练】1.多项式36a2bc-48ab2c+24abc2的公因式是()(A)12a2b2c2(B)6abc(C)12abc(D)36a2b2c2【解析】选C.系数的最大公约数是12，相同字母的最低指数次幂是abc，所以公因式为12abc.392021/10/10星期日2.下列各式中，没有公因式的是()(A)2a-2b与b-a(B)mx+y与x+my(C)(m-1)3与-(1-m)2(D)a+b与-(b+a)【解析】选B.A选项的公因式为a-b,C选项的公因式为(m-1)2，D选项的公因式为a+b.402021/10/10星期日3.(2012·温州中考)把多项式a2-4a因式分解，结果正确的是()(A)a(a-4)(B)(a+2)(a-2)(C)a(a+2)(a-2)(D)(a-2)2-4【解析】选A.原式=a·a-4·a=a(a-4).412021/10/10星期日4.把下列各式因式分解:(1)4kx-8ky;(2)5y3+20y2;(3)a2b-2ab2+ab;(4)x(x-y)2+2(x-y)3.【解析】(1)原式=4k·x-4k·2y=4k(x-2y)；(2)原式=5y2·y+5y2·4=5y2(y+4)；(3)原式=ab·a-ab·2b+ab·1=ab(a-2b+1)；(4)原式=(x-y)2·x+(x-y)2·2(x-y)=(x-y)2(x+2x-2y)=(x-y)2(3x-2y).422021/10/10星期日

利用提公因式法进行简便计算【例2】(5分)已知电学公式U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9，R2=18.5，R3=18.6，I=1.5时，求电压U.【规范解答】U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)……………………3分=1.5×(12.9+18.5+18.6)………4分=1.5×50=75.…………………5分432021/10/10星期日【规律总结】提公因式法简便计算的技巧在用提公因式法进行化简计算时，往往涉及多个量，直接计算则过程繁杂，这时可将表示数量关系的式子进行适当变形再代入数值进行计算，尤其是运用包括提公因式法在内的因式分解进行变形，可起到事半功倍的效果.442021/10/10星期日【跟踪训练】5.计算(-2)2

012+(-2)2

013的结果是()(A)22

012(B)22

013(C)-2(D)-22

012【解析】选D.(-2)2

012+(-2)2

013=(-2)2

012+(-2)2

012×(-2)=(-2)2

012×(1-2)=22

012×(-1)=-22

012.452021/10/10星期日6.已知a-2b=-2，则4-2a+4b的值是()(A)0(B)2(C)4(D)8【解析】选D.4-2a+4b=4-2(a-2b)=4-2×(-2)=8.462021/10/10星期日7.已知a+b=13，ab=40，求a2b+ab2的值.【解析】因为a+b=13，ab=40，所以a2b+ab2=ab(a+b)=40×13=520.472021/10/10星期日1.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是()(A)xmyn(B)xmyn-1(C)4xmyn(D)4xmyn-1【解析】选D.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是4xmyn-1.482021/10/10星期日2.(2012·邵阳中考)把2a2-4a因式分解的最终结果是()(A)2a(a-2)(B)2(a2-2a)(C)a(2a-4)(D)(a-2)(a+2)【解析】选A.2a2-4a=2a(a-2).492021/10/10星期日3.利用因式分解计算：20132-2013×2012=_______.【解析】原式=2013×(2013-2012)=2013×1=2013.答案：2013502021/10/10星期日4.a，b互为相反数，则a(x-2y)-b(2y-x)的值为_______.【解析】因为a，b互为相反数，所以a+b=0，所以a(x-2y)-b(2y-x)=a(x-2y)+b(x-2y)=(a+b)(x-2y)=0·(x-2y)=0.答案：0512021/10/10星期日5.先化简，再求值：(2x+1)2-(2x+1)(-1+2x)，其中x=-12.【解析】(2x+1)2-(2x+1)(-1+2x)=(2x+1)［(2x+1)-(-1+2x)］=(2x+1)(2x+1+1-2x)=2(2x+1)=4x+2,当x=-12时，原式=4×(-12)+2=-46.522021/10/10星期日【变式备选】如果x2+3x-3=0,则代数式x3+3x2-3x+3的值是多少?【解析】因为x3+3x2-3x+3=x(x2+3x-3)+3,所以当x2+3x-3=0时,原式=x(x2+3x-3)+3=x×0+3=3.532021/10/10星期日第1课时542021/10/10星期日一、公式法把乘法公式从___到___地使用.就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.二、平方差公式1.计算：(1)(a+b)(a-b)=_____；(2)(m+2)(m-2)=____；(3)(2x+1)(2x-1)=_____.右左a2-b2m2-44x2-1552021/10/10星期日2.利用以上结果填空：(1)_____=(a+b)(a-b)；(2)____=(m+2)(m-2)；(3)_____=(2x+1)(2x-1).3.根据上式的规律试把16a2-25b2因式分解：16a2-25b2=(___)2-(___)2=(___+___)(___－___)a2-b2m2-44x2-14a5b4a5b4a5b562021/10/10星期日【归纳】公式：a2-b2=(____)(____).用语言叙述：两个数的_______，等于这两个数的___与这两个数的___的积.【点拨】因式分解的平方差公式与整式乘法的平方差公式是方向相反的变形.a+ba-b平方差和差572021/10/10星期日【预习思考】利用平方差公式因式分解可以分解几项多项式？提示：两项.582021/10/10星期日

用平方差公式因式分解【例】(16分)因式分解:(1)a2-25.(2)(2012·扬州中考)m3n-9mn.(3)a4b4-81.(4)9(x-y)2-4(2x+y)2.592021/10/10星期日【规范解答】(1)a2-25=a2-52…………………1分=(a+5)(a-5).…………………3分(2)m3n-9mn=mn(m2-9)…………4分=mn(m+3)(m-3).………………6分(3)a4b4-81=(a2b2)2-92…………7分=(a2b2+9)(a2b2-9)……………9分=(a2b2+9)(ab+3)(ab-3).……11分602021/10/10星期日(4)9(x-y)2-4(2x+y)2=［3(x-y)］2-［2(2x+y)］2…………………12分=［3(x-y)+2(2x+y)］［3(x-y)-2(2x+y)］

…………………14分=(7x-y)(-x-5y)=-(7x-y)(x+5y).…………16分612021/10/10星期日【规律总结】运用平方差公式所必须具备的三个条件1.所给的多项式有两项；2.两项符号相反；3.这两项分别可以化为一个数(或整式)的平方形式.622021/10/10星期日【跟踪训练】1.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是()(A)x2+4y2(B)x2-y(C)-x2+4y2(D)-x2-4y2【解析】选C.选项A只能看成和的形式；选项B，D虽能看成差的形式，但y与-x2都不能变为平方的形式，因此A，B，D都不符合平方差公式的特点.632021/10/10星期日2.多项式1-x4进行因式分解后的结果是()(A)(1-x2)(1+x2)(B)(1-x)2(1+x2)(C)(1-x)(1+x)(1+x2)(D)(1-x)2(1+x)2【解析】选C.1-x4=12-(x2)2=(1+x2)(1-x2)=(1+x2)(1+x)(1-x).642021/10/10星期日3.(2012·义乌中考)因式分解：x2-9=______.【解析】x2-9=(x+3)(x-3).答案：(x+3)(x-3)652021/10/10星期日4.(2012·黔西南州中考)因式分解：a4-16a2=_______.【解析】a4-16a2=a2(a2-16)=a2(a+4)(a-4).答案：a2(a+4)(a-4)662021/10/10星期日5.(2012·北海中考)因式分解：-m2+n2=_______.【解析】-m2+n2=n2-m2=(n+m)(n-m).答案：(n+m)(n-m)672021/10/10星期日6.把下列各式因式分解：(1)36(a+b)2-25.(2)16(a-2b)2-(a+b)2.【解析】(1)36(a+b)2-25=［6(a+b)］2-52=(6a+6b+5)(6a+6b-5).(2)16(a-2b)2-(a+b)2=［4(a-2b)］2-(a+b)2=(4a-8b+a+b)(4a-8b-a-b)=(5a-7b)(3a-9b)=3(5a-7b)(a-3b).682021/10/10星期日【高手支招】1.分解后的因式若有同类项一定要合并同类项.2.合并后的因式若还有公因式要再提公因式，做到分解彻底.692021/10/10星期日7.若a为整数，求证:(2a+1)2-1能被4整除.【证明】(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1-1)=(2a+2)·2a=4a(a+1).因为a为整数，所以a+1也为整数.所以4a(a+1)能被4整除.所以(2a+1)2-1能被4整除.702021/10/10星期日1.下列因式分解正确的个数是()(1)-x2-y2=(x+y)(x-y)(2)-4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b)(3)25-4a2=(5+4a)(5-4a)(4)a8-81=(a4+9)(a4-9)(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个【解析】选A.(1)不是平方差的形式；(2)的结果应是(3b-2a)(3b+2a)；(3)的结果应是(5+2a)(5-2a)；(4)分解不彻底.712021/10/10星期日2.下列多项式：(1)x2+y2;(2)-2a2-4b2;(3)(-m)2-(-n)2;(4)-144x2+169y2;(5)(3a)2-4(2b)2中，能用平方差公式因式分解的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选C.(3)，(4)，(5)可以用平方差公式因式分解，能用平方差公式分解的多项式应是两项的平方差.722021/10/10星期日3.因式分解：(1)(2012·丽水中考)2x2-8=________.(2)(2012·内江中考)ab3-4ab=_________.(3)(2012·朝阳中考)x3-9xy2=_________.【解析】(1)2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).(2)ab3-4ab=ab(b2-4)=ab(b+2)(b-2).(3)x3-9xy2=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y).答案：(1)2(x+2)(x-2)(2)ab(b+2)(b-2)(3)x(x+3y)(x-3y)732021/10/10星期日4.在边长为18.2cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为0.9cm的正方形，则余下的纸片的面积为_______.【解析】18.22-4×0.92=(18.2+2×0.9)(18.2-2×0.9)=20×16.4=328(cm2).答案：328cm2742021/10/10星期日5.把下列各式因式分解:(1)2x3-8x;(2)(x-y+1)2-(x+y-3)2.【解析】(1)原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).(2)(x-y+1)2-(x+y-3)2=［(x-y+1)+(x+y-3)］［(x-y+1)-(x+y-3)］=(2x-2)(-2y+4)=2(x-1)·［-2(y-2)］=-4(x-1)(y-2).752021/10/10星期日第2课时762021/10/10星期日运用完全平方公式因式分解探究：(1)因为(x+2)2=_______,所以_______=(x+2)2;(2)因为(x-5)2=_________,所以_________=(x-5)2;x2+4x+4x2+4x+4x2-10x+25x2-10x+25772021/10/10星期日(3)因为(2x+3y)2=____________,所以____________=(2x+3y)2.(4)因为(a+b)2=_________，(a-b)2=_________，所以_________=(a+b)2,_________=(a-b)2.4x2+12xy+9y24x2+12xy+9y2a2+2ab+b2a2-2ab+b2a2+2ab+b2a2-2ab+b2782021/10/10星期日【归纳】两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的____,等于这两个数的_________的平方.2倍和(或差)792021/10/10星期日【预习思考】多项式-a2+2ab-b2能用完全平方公式进行因式分解吗?为什么?提示：能.理由：多项式-a2+2ab-b2变形为-(a2-2ab+b2),应用完全平方公式可得,-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2.802021/10/10星期日

用完全平方公式进行因式分解【例1】(12分)因式分解：(1)(2012·泰州中考)a2-6a+9；(2)x2y2+10xy+25；(3)(a+b)2-4(a+b)+4.812021/10/10星期日【规范解答】(1)a2-6a+9=a2-2·a·3+32

……2分=(a-3)2.………4分(2)x2y2+10xy+25=(xy)2+2·xy·5+52…………6分=(xy+5)2.………8分(3)(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b)2-2(a+b)×2+22………………10分=(a+b-2)2.……………………12分822021/10/10星期日【互动探究】利用完全平方公式分解成两数和的平方还是两数差的平方取决于什么？提示：取决于乘积项的符号.832021/10/10星期日【规律总结】运用完全平方公式因式分解所必须具备的三个条件1.所给的多项式为三项；2.其中有两项符号相同，并且这两项可化为两数(或整式)的平方；3.另一项为这两个数(或整式)的乘积(或其乘积相反数)的2倍.842021/10/10星期日【跟踪训练】1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是()(A)x2+1(B)x2+2x-1(C)x2+x+1(D)x2+4x+4【解析】选D.根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，选项A，B，C都不能用完全平方公式进行因式分解，D项可以，即x2+4x+4=(x+2)2.852021/10/10星期日2.下列各式因式分解正确的是()(A)x2+x+1=(x+1)2(B)x2y2-xy+=(xy+)2(C)x4+2x2+1=(x2+1)2(D)m2+n2=(m+n)2862021/10/10星期日【解析】选C.x2+x+1不是完全平方式，故选项A错误；x2y2-xy+=(xy)2-2·xy·+()2=(xy-)2,故选项B错误；x4+2x2+1=(x2)2+2·x2·1+12=(x2+1)2,故选项C正确；m2+n2不是完全平方式，故选项D错误.872021/10/10星期日3.(2012·无锡中考)因式分解(x-1)2-2(x-1)+1的结果是()(A)(x-1)(x-2)(B)x2(C)(x+1)2(D)(x-2)2【解析】选D.因为a2-2ab+b2=(a-b)2，所以(x-1)2-2(x-1)+1=［(x-1)-1］2=(x-2)2.882021/10/10星期日4.(2012·淮安中考)因式分解：a2+2a+1=________.【解析】a2+2a+1=a2+2×a×1+12=(a+1)2.答案：(a+1)2892021/10/10星期日5.对下列多项式进行因式分解：(1)a2-a+.(2)9-12t+4t2.(3)m2n2-6mn+9.(4)9(x+1)2+6(x+1)+1.902021/10/10星期日【解析】(1)a2-a+=a2-2·a·+()2=(a-)2.(2)9-12t+4t2=32-2×3·2t+(2t)2=(3-2t)2.(3)m2n2-6mn+9=(mn)2-2mn·3+32=(mn-3)2.(4)9(x+1)2+6(x+1)+1=［3(x+1)］2+2×3(x+1)·1+12=［3(x+1)+1］2=(3x+4)2.912021/10/10星期日

综合运用各种方法进行因式分解【例2】因式分解：(1)(2012·临沂中考)a-6ab+9ab2.(2)(2012·黔东南中考)x3-4x.(3)(x+y)2-4xy.(4)(x2+1)2-4x2.922021/10/10星期日【解题探究】(1)①多项式a-6ab+9ab2的各项是否有公因式？如何分解？答：有,公因式为a,先提公因式，a-6ab+9ab2=a(1-6b+9b2).②提公因式后的另一个因式是否还可以分解？如何分解？答：可以分解，1-6b+9b2=(1-3b)2,所以a-6ab+9ab2=a(1-3b)2.932021/10/10星期日(2)①多项式x3-4x的各项是否有公因式？如何分解？答：有，公因式为x,先提公因式，x3-4x=x(x2-4).②提公因式后的另一个因式是否还可以分解？如何分解？答：可以分解，x2-4=(x+2)(x-2)，所以x3-4x=x(x+2)(x-2).(3)(x+y)2-4xy无法直接分解，应展开(x+y)2,并合并同类项，再分解.合并后得x2-2xy+y2,故(x+y)2-4xy=(x-y)2.942021/10/10星期日(4)(x2+1)2-4x2共有两项，可考虑利用平方差公式分解，故把(x2+1)2-4x2写成(x2+1)2-(2x)2的形式，分解后为(x2+1+2x)(x2+1-2x),括号里的每个因式均为完全平方式，故继续分解为(x+1)2(x-1)2.952021/10/10星期日【互动探究】若提取公因式后的另一个因式有两项或三项，请考虑应分别如何分解？提示：两项的考虑是否可用平方差公式分解.三项的考虑是否可用完全平方公式分解.962021/10/10星期日【规律总结】因式分解的三步法提看查有公因式的先提公因式看提公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式检查每个因式是否分解彻底972021/10/10星期日【跟踪训练】6.(2012·安徽中考)下面的多项式中，能因式分解的是()(A)m2+n(B)m2-m+1(C)m2-n(D)m2-2m+1982021/10/10星期日【解析】选D.选项A中的两项没有公因式，更不符合公式法的形式，不能因式分解；选项B虽然有三项，但一次项系数缺少了2倍，不能用完全平方公式进行因式分解，也不能用其他方法进行因式分解，选项C没有公因式，用平方差公式而第二项缺少平方，因此不能因式分解，只有选项D能用完全平方公式进行因式分解.992021/10/10星期日7.(2012·崇左中考)一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏同学做得不够完整的题是()(A)x2-y2=(x+y)(x-y)(B)x2-2xy+y2=(x-y)2(C)x2y-xy2=xy(x-y)(D)x3-x=x(x2-1)【解析】选D.D中x2-1还可以分解为(x+1)(x-1),则D选项：x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).1002021/10/10星期日8.(2012·怀化中考)因式分解:x2-xy+xz-yz=__________.【解析】原式=(x2-xy)+(xz-yz)=x(x-y)+z(x-y)=(x-y)(x+z).答案：(x-y)(x+z)1012021/10/10星期日9.(2012·南充中考)因式分解:x2-4x-12=________.【解析】x2-4x-12=x2-4x+4-16=(x-2)2-42=(x-2+4)(x-2-4)=(x+2)(x-6).答案：(x+2)(x-6)1022021/10/10星期日1.(2012·凉山州中考)下列多项式能因式分解的是()(A)x2+y2(B)-x2-y2(C)-x2+2xy-y2(D)x2-xy+y2【解析】选C.选项A,B中的多项式有两项，每一项都是某一个数平方的形式，但两项符号相同，不能用平方差公式分解，也不含有公因式，故选项A,B中的多项式不能分解.-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,故选项C中的多项式可以分解，而选项D中的多项式不含有公因式，也不是完全平方式，故不能分解.1032021/10/10星期日2.下列因式分解中错误的是()(A)(54a2-6b4)=6(3a+b2)(3a-b2)(B)1-4x2=(1+2x)(1-2x)(C)81x2-64y2=(9x+8y)(9x-8y)(D)(-2y)2-x2=(-2y+x)(2y+x)【解析】选D.(-2y)2-x2=(2y)2-x2=(2y+x)(2y-x).1042021/10/10星期日3.(1)(2012·泰安中考)因式分解：x3-6x2+9x=_________.(2)(2012·威海中考)因式分解：3x2y+12xy2+12y3=________.【解析】(1)x3-6x2+9x=x(x2-6x+9)=x(x-3)2.(2)3x2y+12xy2+12y3=3y(x2+4xy+4y2)=3y(x+2y)2.答案：(1)x(x-3)2(2)3y(x+2y)21052021/10/10星期日4.若|m-5|+(n-25)2=0,将x2-2mxy+ny2因式分解得_______.【解析】因为|m-5|+(n-25)2=0,|m-5|≥0,(n-25)2≥0,所以m-5=0,n-25=0,解得m=5,n=25;又因为x2-2mxy+ny2=x2-2×5×xy+25y2=(x-5y)2.答案：(x-5y)21062021/10/10星期日5.将下列各式因式分解：(1)m2+mn+n2;(2)3x3-12x2y+12xy2;(3)y4-8y2+16.【解析】(1)原式=(m+n)2.(2)原式=3x(x2-4xy+4y2)=3x(x-2y)2.(3)原式=(y2-4)2=(y+2)2(y-2)2.1072021/10/10星期日第3章单元复习课1082021/10/10星期日一、因式分解的定义把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.(1)因式分解的结果必须是整式的乘积的形式；(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.1092021/10/10星期日二、因式分解的方法1.方法选择1102021/10/10星期日注：提公因式法因式分解的关键是确定公因式，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑：对于系数，取各项系数的最大公约数；对于字母，考虑两条：一是取各项的相同字母，二是取相同字母的最低次幂.1112021/10/10星期日2.因式分解的步骤多项式因式分解的步骤可以简单地归纳为：一提二套三查，即先考虑各项有无公因式可提，再考虑能否套用公式来分解，最后还要检查每个因式是否还可以再分解(对因式分解的结果要求是不能再分解为止)以及分解的结果是否正确.1122021/10/10星期日注：1.对因式分解的意义认识不到位，造成局部变成积的形式，而整体还是和差的形式.2.提公因式时易出现的错误:提后丢项：与公因式相同的项提后变成0；提而不“净”：提取的不是最大公因式，造成因式分解不彻底；“过度”提取：提公因式后造成余下的部分出现分式;只提不变：忽视首项为负数时,负号提出后其余各项应该变号.1132021/10/10星期日3.公式应用混乱，特别是当公式中的字母代表的是多项式时，忽视了整体思想的应用，造成解题思路出现错误.4.对整式的乘法与因式分解的关系理解不清，分解完成后又走“回头路”，变成和差的形式.1142021/10/10星期日因式分解定义方法步骤提公因式法运用公式法平方差公式完全平方公式1.提：提公因式2.套：套用公式3.查：检查结果是否分解彻底1152021/10/10星期日

用提公因式法进行因式分解【相关链接】

用提公因式法进行因式分解时，最关键的一步是确定公因式.寻找公因式时,对于数字因数找各项数字的最大公约数，对于相同的字母，找相同字母的最低次幂.1162021/10/10星期日【例1】(2012·汕头中考)因式分解：2x2-10x=________.【思路点拨】找公因式→提公因式→结果【自主解答】2x2-10x=2x(x-5)答案：2x(x-5)1172021/10/10星期日

用公式法进行因式分解【相关链接】符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点1.有两项；2.两项都能写成平方的形式；3.符号相反.1182021/10/10星期日符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点1.有三项；2.其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方的形式；3.另一项是这两数(或两式)的乘积（或乘积相反数）的2倍.1192021/10/10星期日【例2】因式分解：(1)(2012·绥化中考)a3b-2a2b2+ab3=______.(2)(2012·抚顺中考)4x2y-y3=_______.【教你解题】(1)提公因式a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)运用完全平方公式答案ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2ab(a-b)21202021/10/10星期日(2)提公因式4x2y-y3=y(4x2-y2)运用平方差公式答案y(4x2-y2)=y(2x+y)(2x-y)y(2x+y)(2x-y)1212021/10/10星期日

因式分解的简单应用【相关链接】

因式分解是代数运算中的一种重要的恒等变形，其应用非常广泛，特别是对于含有条件限制的多项式求值，如果考虑利用因式分解将所求多项式进行适当变形，转化为已知条件，往往能收到事半功倍的效果.1222021/10/10星期日【例3】在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式