2024指数函数与对数函数的交点个数问题

2024指数函数与对数函数的交点个数问题指数函数与对数函数交点个数问题论题：指数函数与对数函数交点个数问题．分及两种情况进行讨论．（一）：当时，过原点作的切线，设切点为∵∴又∵∴∴从而当，即，亦即时，P在上，∴这样就有，∴∴是与的公共点.当,即，亦即时，与相离,与没有公共点.当,即，亦即时，与有两个公共点,,同理可知,均是与的公共点.引理：当时，与不可能有不在上的公共点.证明：用反证法.假设与有公共点,,当时,①,②由②得③∵单增,又∵∴由此式结合①③可知,与矛盾.同理当时亦矛盾.从而假设不真.所以,引理得证.由上可知：当时,与有两个公共点,当时,与有唯一公共点,当时,与没有公共点.（二）：当时,作函数,易知,不妨设,则,过原点作的切线,则切线的斜率当,即时,恒成立.从而单增,∴有唯一的零点.当,即时,不妨设与交于两点,,()则当时,,当时,,当时,∴的单增区间为,,单减区间为在处取得极大值,且,在处取得极小值,且,再由零点存在定理可知,有三个零点,分别在区间,,之内.对上述及的结论,可证明如下：设（）与的交点为∵∴∴即当时，的函数值小于的函数值，数形结合可知∵（）与的交点为∴从而于是又∵∵，∴，又∵，∴，∴∴，又∵当时,,当时,,当时,∴又∵在区间单减及可知且由上可知：当即时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当即时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上.综合上述,我们可以得到如下结论：当时,与有两个公共点,且两个公共点均在直线上.当时,与有唯一公共点,且该公共点在直线上.当时,与没有公共点.当时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上.正交圆锥曲线的交点特性及相关的角度范围问题任意圆锥曲线的交点问题实质都是四次方程解的问题，通常较为复杂。但是对于正交的圆锥曲线的交点特性，我们却可以得到一些好的几何特性，并加以利用。本文意在利用圆锥曲线系的解析方法得到正交圆锥曲线交点的一个重要性质，并且利用这一性质分析圆锥曲线中任意弦所对角的取值范围。我们先看一个常规问题：问题1：椭圆上两端点A（-5,0）、B(5,0)，在椭圆上求一点P，使得∠APB最大。方法1：常规解析法，可以设P的参数坐标，然后利用两直线的夹角公式以及基本不等式的方法求出P点就在短轴顶点。方法2：可以设想过AB的圆，当圆与椭圆相切时，显然切点就是我们要找的P点。此法优点在于简结，但是有个缺陷，因为我们可以说圆与椭圆相切于椭圆对称的两侧而非短轴顶点（虽然实际并非如此）。另外，如果A，B两点是椭圆上的任意点，以上的方法1就比较繁琐，方法2虽然依旧得到过AB的圆与椭圆的切点即为所求的简洁结论，但是除了仍然面临上文的那条缺陷外，具体求P点也成为问题。利用本文得到的关于正交圆锥曲线交点的一个重要性质可以完善方法2，更为本质的认识这类问题。一、准备工作1、正交的定义：若平面上两条曲线都是轴对称图形，并且这两条曲线存在相互垂直的对称轴，则称这两条曲线相互正交。显然圆与所有圆锥曲线都正交。我们这里将对称轴垂直坐标轴的圆锥曲线称为标准圆锥曲线。所以标准圆锥曲线都不含交叉项。2、两圆锥曲线相切的定义：两条圆锥曲线C1、C2有公共点P，且过P点C1、C2有同一条切线，则称这两条圆锥曲线相切于P点。P称为C1,C2的切点。直观上，我们设想C1、C2原来相交于A，B两点，当我们适当移动C1，C2中的一条或两条，使得AB越来越接近，最终重合与P，根据切线的定义，割线AB最终同时成为C1，C2的过P的切线。这样C1，C2就相切于P点。所以，从方程解的角度看，AB本来是C1，C2联列得到的四次实系数方程的两个相异实根，而当他们重合于P后，就成为重根。即切点就是实重根点，对应两实数解。3、圆锥曲线交点、切点的个数：引理：任意两条圆锥曲线最多有4个不同的公共点，并且只有以下几种情况：（1）若共有4个不同的公共点，则其中不存在两曲线的切点。（2）若共有3个不同的公共点，则其中有且只有1个是切点。（3）若共有2个不同的公共点，则这两个点要么都是个切点，要么都不是。（4）若共有1个公共点，则这个点必是切点。（5）没有公共点。证明：根据代数基本定理，C1，C2联列得到的四次实系数方程在复数域内有且只有4个根，其中实根和虚根都是成对出现。所以根的所有情况是：Ⅰ4个相异实根，对应上文的（1）Ⅱ4个实根，其中两个相等，另外两个不等。对应（2）Ⅲ4个实根，两两相等对应（3）中的两个切点。Ⅳ2个相异实根，2个虚根，对应（3）中的都不是切点的情况。Ⅴ2个相等的实根，2个虚根，对应（4）。Ⅵ4个虚根，对应（5）。到这里我们已经可以解释问题1的方法2中为何圆与椭圆只能相切于椭圆短轴顶点了。根据圆与椭圆的对称性，假如切点不是短轴顶点，比如说切点在短轴左边，则右边对称位置也是切点。那么这样相当于圆与椭圆有六解，这与最多四解矛盾。二、正交圆锥曲线的交点特性定理1：若圆与其它圆锥曲线C相交于4个不同的点，则这4点两两连线所成的角的角平分线都垂直或平行于C的对称轴。（连线平行的情况除外）此定理等价于圆与标准的圆锥曲线的4交点，任意两两分组连线的斜率相反。（若两点连线斜率不存在，则另外两点连线斜率也不存在）证明：如图1我们先证C为椭圆时，不妨以C的中心为原点，对称轴为轴建立直角坐标系。设点E坐标为，椭圆为，直线AB为：，直线CD为：

利用曲线系方程：

这个方程代表一个圆方程。

此时的系数为，因此必须即斜率相反。若不存在，则也不存在。图1同理,AC的斜率与BD的斜率相反，AD的斜率与BC的斜率相反。从上面的证明过程我们看到，将椭圆换成其它的圆锥曲线我们同样可以证明这个结论。因为，其它标准的圆锥曲线同样不含交叉项。这就证明了定理1。推论1：两条正交的圆锥曲线相交于4点，则4点两两分组连线的角平分线垂直或平行于圆锥曲线的对称轴。（连线平行除外）此推论等价于两条正交的标准的圆锥曲线相交于4点，则4点两两分组连线的斜率相反。在定理1的证明中我们看到，只要①式表示一个不含项的曲线，就有。两条正交的圆锥曲线，以其中一条对称轴为坐标轴建立坐标系，另外一条也就是标准的。所以推论成立。推论2：两条正交的圆锥曲线相交于4点，则4点共圆。由推论1，因为相交成的四边对边斜率相反，所以根据到角公式，四边形的对角互补，即四点共圆。推论3：两条斜率相反的直线与标准的圆锥曲线C：相交于4点，则这4点共圆。利用过交点的曲线系方程：随着t的变化，上式表示所有过4交点的标准的圆锥曲线。当然其中也包括圆，也就是说4交点共圆。三、应用我们这里只对椭圆中的任意弦所对角的范围问题应用以上结论求解图2图3问题2:AB两点是椭圆上任意给定的两点，椭圆上动点P，求∠APB的取值范围。为了讨论方便，规定本文中提到的交点都是非切点。首先，根据圆锥曲线交点、切点个数的情况，我们知道当过A、B的圆C1与椭圆C2相切时，切点P只有一个，且除A、B外没有其它交点，如图2、图3所示。根据定理1，过切点P的切线的斜率与AB连线的斜率相反（切点P看成图1中D、C两点的重合）。A、B已知，过切点P的切线的斜率已确定。显然在椭圆上有且只有两个点满足斜率与AB的斜率相反，且它们关于椭圆中心对称。记作P1，P2。另外A、B也可以成为C1与C2的切点。而椭圆C2上其它点只能是C1与C2的交点。如图4所示。图4而交点都不可能成为角度的最值点，因为在P的两侧始终同时存在比∠APB大和比∠APB小的角。所以，我们最后只需要考察这四个点：P1、P2、A、B.P1、P2在椭圆上AB的同侧。当P在这一侧运动时，角度变化是连续变化，这四个点对应的角度最小值记为，最大值记为则当P在这一侧运动时角度的范围就是（，）。（A、B点得到的角度取不到.）而对于另一侧，因为都是在A、B点趋向于最值，且P在这侧运动过程中角度连续变化，所以只要考察A、B两点对应的较小和较大角度分别为，,则当P在这一侧运动时角度的范围就是（，）.所以最终角度范围：（，）（，）.P1、P2在椭圆上AB的异侧，当P在一侧运动时，角度变化是连续变化，A、P1、B对应角度最小值记为，最大值记为，则当P在这一侧运动时角度的范围就是（，）。（A、B点得到的角度取不到.）另一侧，A、P2、B对应角度最小值记为，最大值记为，当P在这一侧运动时角度的范围就是（，）。（A、B点得到的角度取不到.）最终角度范围：（，）（，）至此，我们圆满的解决椭圆中任意弦所对的角的范围问题。其它圆锥曲线中弦所对的角的范围问题可以类似解决。再谈等轴双曲线的典型性质江西师范大学《中学数学研究》月刊2000年第5期曾刊登了本人的拙作《等轴双曲线的几个典型性质及其证明》，文中给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质。经过本人的进一步研究，发现等轴双曲线还有另外几个典型性质。下面一一列出，并加以证明。性质一等轴双曲线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直。证明：如图1，设等轴双曲线方程为两顶点为、，双曲线上关于实轴对称的两点为、，则，且、、、诸直线的斜率分别为：，，，。∴,，即，。性质二等轴双曲线上一点张直角之弦平行于过此点的法线。证明：设等轴双曲线的参数方程为，点P的坐标为，在点P张直角之弦的两端点、的坐标分别为、，则的斜率为。同理，、的斜率分别为，。，∴，∴。而过点P的法线PN的斜率为过点P的切线斜率的负倒数，∴。故。性质三过等轴双曲线上任意一点的法线截实轴、虚轴所得线段中点的轨迹是此等轴双曲线本身。证明：如图2，设等轴双曲线上任意一点M的坐标为，则。过点M的切线方程为。由于双曲线在同一点上的切线与法线互相垂直，故可令过点M的法线方程为，将M点坐标代入，可得，∴此法线方程为。且此法线与实轴、虚轴都相交，故，。由此可得法线与实轴、虚轴的交点分别为、。设线段KL的中点坐标为，则，。∴，即线段KL的中点轨迹是等轴双曲线本身。性质四等轴双曲线中通过焦点且平行于一对共轭直径的两条弦彼此相等。证明：如图3，设等轴双曲曲线方程为，过焦点分别与两共轭直径平行的两弦、的倾角为、（其中不妨设为锐角），则两共轭直径的斜率之积为（见“注（2）”），即，从而。设的方程为①将①代入双曲线方程，得，∴的长度。同理可证的长度。所以的长度和的长度相等。注：（1）双曲线不与渐近线平行的平行弦系中点的轨迹称为双曲线的直径；（2）若双曲线的一条直径为，则其共轭直径为（限于篇幅，这里不作证明），故两条共轭直径的斜率之积为。性质五若等轴双曲线经过直角三角形的三个顶点，则直角顶点处的切线垂直于斜边。证明：如图4，设等轴双曲线方程为，直角三角形ABC的三顶点在等轴双曲线上，设直角顶点A的坐标为，其余两顶点为、，则直线AB、AC、BC的斜率分别为，，。∵，∴。过点A的切线为，此切线的斜率为，∴，