2024高中数学教学论文-平面向量在解题中的应用-苏教版必修4

2024高中数学教学论文-平面向量在解题中的应用-苏教版必修4平面向量在解题中的应用向量作为一种重要的解题工具，一直是高考的热点和重点内容，向量的基础性和工具性一直备受关注．本文通过一些例子来谈谈平面向量在解题中的应用．一、用向量证明垂直例1．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为，求证：．证明：显然，同时设两点的纵坐标分别为，则．∵，，∴，∴·．∴．∴，即．说明：用向量垂直的充要条件处理解析几何中的垂直问题，可以化繁为简，使知识前后联系，融汇贯通，从而提高解题质量．二、用向量证明三点共线例2．在平行四边形中，是的中点，是上一点，．求证：、、三点共线．证明：设a，b，则babab．又∵baab，∴．∴∥，∴、、三点共线．说明：充分利用三点共线和两个向量共线（平行）的关系．三、用向量证明不等式例3．试证不等式：证明：设向量，，∴，，则．又∵，∴．说明：本题结论亦称柯西不等式．等号只有在向量、共线时成立．四、用向量证明等式例4．试证：．证明：设向量，，∴．设向量与的夹角为，则．由，即得．例5．已知，求证：．证明：设向量，，且设向量与的夹角为，∴．又∵，∴，即．∴，∴，即．说明：本题中可把已知条件看作两向量的数量积的坐标表示，由此构造出向量，是解决本题的关键，本题也可以利用恒等变形或三角代换等证法，但都不及引入向量，然后运用向量的数量积证明简便．五、用向量求最值例6．求函数的最大值及相应的的值．解：设向量a，b，则a·b|a|·|b|，当且仅当b=a时取等号，∴，∴时，有最大值为6．例7．求函数的最大值．解：∵，设向量a，b，则a·b|a|·|b|，∴函数的最大值为．说明：利用a·b=|a|·|b||a|·|b|，恰当设置向量，联想数量积的结构形式，求和式的最值较为方便．浅谈对同角三角函数关系的研究同角三角函数关系是学习三角函数的一个重要组成部分，理解它们内在的关系，这对于解决相关问题显得非常重要．下面本人谈谈对同角三角函数关系的研究：一、研究“”以及“”与“”之间的关系．上述关系为下面举例说明：已知，求的值．解：∵，又∵，∴．若，，求的值．解：∵，又∵，∴．∵，∴．∴的值为．已知角是第三象限角，且，求的值．解：∵角是第三象限角，∴．又∵，∴的值为．二、研究“”与“、”之间的关系——充分利用．例4．已知，求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）方法一：∵，∴．方法二：∵，∴．∴．（2）∵，∴．说明：本题关键想方设法运用“”这一条件；没有分母，则通过去创造分母来解决问题．三、研究“”这一关系式的变形．变形形式有：①；②等．例5．已知，求的值．解：∵，∴．四、研究“同角三角函数关系”的证明．证明思路：一般情况下是“化切为弦”，有时也可“化弦为切”．例6．求证：．证明：方法一：∵左边=右边，∴本题得证．方法二：∵右边=左边，∴本题得证．五、研究“、、”与“0”之间的关系．例7．若，且，则可化简为．解：∵，且，∴．∴．例8．若，且，则的值等于（）A．B．C．D．解：∵，且，∴，故此题选C．六、相关练习已知，则角是第象限角．当（Z），化简：的结果是（）A．B．C．D．已知，则，．已知，求证：．答案：1．二、三；2．Ｃ；3．；4．提示：“化切为弦”．浅谈对直线几个问题的处理直线的相关知识是解析几何的一个重要组成部分，为了掌握好直线的相关知识，下面谈谈对直线几个问题的处理，供大家参考．1．求直线斜率的常用方法 （1）利用定义求斜率例1．已知直线过点且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程．解：根据题意得，所求直线有两种情况：倾斜角为或，则所求直线的斜率为或，∴所求直线方程为：，或，即，或．点评：当已知直线的倾斜角为时，可直接利用定义求直线的斜率，即．（2）利用斜率公式求斜率例2．已知直线的倾斜角是连接和两点的倾斜角的2倍，求直线的斜率．解：∵，∴．即直线的斜率为．点评：如果已知直线过，那么可利用公式来求直线的斜率．（3）利用直线“斜截式”方程求斜率例3．直线的倾斜角是，则等于（）A．B．C．D．解：∵直线的倾斜角是，∴，∴．故选A．点评：如果直线的方程以一般形式给出，即，那么将的方程化为斜截式，即，就可以得到直线的斜率为．2．求截距的常用方法例4．求直线在轴和轴上的截距．解法1：将方程化为截距式方程：，∴直线在轴上截距为3，在轴上截距为-2．解法2：令，得；令，得．也就是说，直线与轴、轴分别交于．故直线在轴、轴上的截距分别为3，-2．点评：解法1是将直线方程化成“截距式”求截距，解法2是根据截距的定义求解．3．证明三点共线的方法例5．试判断点是否在同一直线上？解法1：，∴，故三点共线．解法2：直线的方程为：，即．（*）∵点满足方程（*），即点在直线上，∴三点共线．解法3：依两点间的距离公式，有．由知，三点共线．点评：解法1是由过同一点的两直线斜率相等来判定；解法2是证明第三点的坐标满足前两点所确定的直线的方程；解法3的思路最为特别，它是考察这三点是否能构成三角形，不能则共线．4．讨论思想的应用例6．直线经过点，求的斜率和倾斜角．分析：由于过的斜率表达式中分母为，故应进行讨论．解：（1）当时，直线与轴垂直，斜率不存在，倾斜角为．（2）当时，斜率为．当时，倾斜角；②当时，倾斜角．点评：求直线的斜率时，需对斜率是否存在的情况进行讨论，这一点大家比较注意；但当斜率的表达式中含有字母又需求直线的倾斜角时，应注意对斜率的正、负进行讨论．相关练习：1．直线的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．需视值而定2．直线的斜率为-3，那么它的倾斜角是（）A．B．C．D．3．直线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．2D．34．方程R)表示（）A．经过点的一切直线B．经过点且除外的一切直线C．经过点的一切直线D．经过点且除轴外的一切直线5．已知直线在两坐标轴上截距之和是2，并且经过点，则直线方程为（）A．B．C．或D．或6．直线在轴上的截距是，而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．7．若三点共线，则实数的值为．8．过点且在轴上截距是轴上截距的2倍的直线方程是．9．一条直线过点且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4，求此直线的方程．10．为何值时，直线在两坐标轴上的截距相等．上述练习答案：1．A，2．D，3．D，4．B，