特色题型专练05 最值问题-三角形-2024年中考数学考试易错题

1．如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AB=6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为() EG+FG的最小值等于()点E为AH上一点，连接BE,DE，如果m=BE+DE，BE=1，AE=3BE，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是.5．如图，在△ABC中，AB=13,BC=10,D是BC中点，EF垂直平分A点E，交AC边于点F，在EF上确定一点P，使PB—PD最大，则这个最大值为PAPB的最大值是()记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是10．如图所示，点P为7O内一定点，点A，B分别在7O的两边上，若ΔPAB的周长最小，则7O与<APB的关系为()A．27O=7APBB．7O=27APBC．7O+7APB=180OD．27O+7APB=180O在BC、DE上分别找到一点M，N，使得△AMN的周长最小，则7AMN+7ANM的度数12．如图，在四边形ABCD中，7B=7D=90O，AB=2，AD=3，点M，N分别在边BC，CD上，当7AMN+7ANM=120O时，△AMN的周长最小，则它的周长的最小值点，PE丄AC于点E，连接CP．若AD=6，则PC+PE的最小值是()P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()则AQ+PQ的最小值为.AB、AD上一动点，则BF+EF的最小值为.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(0,4)，直线l：y=kx(k>0)与x轴相交所成的锐角为75。．若P是y轴上的动点，M，N是l上的动点，则AM+MP+PN的最小值为() 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是()的坐标为(0,4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx(k>0)的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为.△NOQ△QOP△MOP.CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最小值为()22．如图，抛物线x2-1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，则线段OE最小值是()为圆心，1为半径的ΘC上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点（可与端点重合M，N分别是ED，EF的中点，则MN的最大值为.25．正方形ABCD，BEFG如图放置，AB=6，AG，CE相交于点P，Q为AD边上一点，且DQ:AQ=1:2，则PQ的最大值为()任意一点，且矩形BEFG的一边始终经过点C，连接AG，则AG的最大值为()30．如图，AB是ΘO的直径，CE切ΘO于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC 32．如图，等边三角形ABC中，AB=4，E、F分别是边AB、AC上的动点，且在边AC，BC上滑动，且DE=6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为()在边AC，BC上滑动，且DE=6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为()边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的能大的正方形，则能剪出的最大正方形的面积是()点B不重合连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则△BEC面积的最大值为()为圆心，半径为1作ΘD，P为ΘD上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最除外以BD为一边作正方形BDEF，连接CE，则△CDE面41．如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若五个结论中正确的个数是()①△AMB≌△ENB；②若菱形ABCD的边长为2，则AM＋CM的最小值2；③连接 AN，则AN⊥BE；④当AM＋BM＋CM的最小值为4·3时，菱形ABCD的面积也为 43.43．如图，点M是矩形ABCD内一点，且AB=5，AD=8，N为边BC上一点，连接点，F是边AC上的一个动点，DE=，则CD十EF的最小值为()2 【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF+EF的值最小，最小值为CE.【详解】解：连接CE交AD于点F，连接BF，:△ABC是等边三角形，:BF=CF，BE=AE=AB=3，:BF+EF=CF+EF=CE， :BF+EF的最小值为33，积求出CD的长即可.【详解】解：连接CD,CE，:点B,C关于AH对称，:BE=CE，:S△ABC=AB.CD=12，直角三角形ABC关于AC的对称直角三角形ADC，连接DE，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可.【详解】解：如图：作等腰直角三角形ABC关于AC的对称直角三角形ADC，连接DE，DP，∴当P、D、E三点共线时，PD+PE最小，即此时PB+PE最小，【分析】本题考查三角形三边关系．延长BC交直线EF于P，在EF上任取一点P/不与点P即可求解.【详解】解：如图，延长BC交直线EF于P，在EF上任取一点P/不与点P重合，连接:PB—PD>P’BP’D，:此时，PB—PD最大，最大值等于BD长，作A关于CD的对称点A，连接A'B交CD于P，则点P就是使PA—PB的值最大的点．此时PAPB=A'B，结合条件证明△A'BC是等边三角形，即可求得答案.【详解】解：作A关于CD的对称点A，连 AD+BE=AD+DF≥AF，则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长，延长BG至H使得BH=AB=5，连接HD，则ADBE=ADHD接DF，在△ABE,△BFD中，E,=AD+DF≥AF，则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF在Rt△ABG中，AG=3，如图所示，延长BG至H使得BH=AB=5，连接HD，则HD=DF=BE， 运动路线．过P作PH丄BC于H，由三角形的面积公式求得PH=1，则点P在平行于BC【详解】解：过P作PH丄BC于H，:点P在平行于BC且与BC的距离为1的直线l上运动，由题意，CMⅡBC，CDⅡAB， 故答案为：32.OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，得到△PMN的周长的最小值为FG，再证得△FOG为边长为4的等边三角形即可得出答案.【详解】解：作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，如图：∴△PMN的周长的最小值为FG，:FG=4，:△PMN的周长的最小值为4.【分析】作点P关于OM的对称点P/，点P关于ON的对称点P//，其中P/P/【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键.性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．根据要使△AMN'则A'A''【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键.于G,则A1A2即为△AMN周长的最小值，求出A1A2的长即可.【详解】解：如图：作A关于BC和CD的对称点A1，A2，连接A1A2，交BC于M1，交CDAA2D，A故答案为2.的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且BE丄AC时，PC+PE的值最小，:△ABC是等边三角形，:点C关于AD的对称点为点B，:PC=PB，:PC+PE=PB+PE，:当P、B、E在同一直线上且BE丄AC时，PC+PE的值最小，为BE’，:PC+PE的最小值是6，即可得到结果.点H，:AD是△ABC的角平分线，Q与Q关于AD对称，:点Q在AB上，PC+PQ=PC+PQ≥CH，:CH=2.4，:CP+PQ≥2.4，:PC+PQ的最小值为2.4.【分析】作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF丄AB于点F，由EB=4，由EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，得AQ+PQ≥4，即可得出答案.【详解】解：作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF丄AB于点F，∵BC垂直平分AE，:AQ+PQ≥EF，即AQ+PQ≥4，∴AQ+PQ的最小值为4.故答案为：4.线是解题的关键.【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平CF，CE，由等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，BD=CD=3，则BF=CF，故当C、E、F三点共线且CE丄AB时，BF+EF有最小值，最小值为CE的长，利用勾股定理求出AD的长，再运用等面积法求CE的长度即可.【详解】解：如图所示，连接CF，CE，∴AD垂直平分BC，BD=CD=3，∴BF+EF=CF+EF，∴当C、E、F三点共线，且CE丄AB时，CF+EF有最小值，即此时BF+EF有最小值，最∵S△ABC=BC.AD=AB.CE，【分析】如图所示，直线OA’、y轴关于直线y=kx对称，直线OE、直线y=kx关于y轴对），【详解】解：如图所示，直线OA’、y轴关于直线y=kx对称，直线OE、直线y=kx关于y线y=kx于M，作PN丄直线y=kx，垂足为N，:EO2+A ），【点睛】本题考查轴对称—最短问题、垂线段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置.N的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出<N′OM′=90°,由勾股定理求出M′N′即可.连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值.:△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，:<N′OM′=90°,:在Rt△M′ON′中，【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称边三角形是解题的关键. 利用轴对称性，找到正确的P的位置是解答本题的关键.作直线OC与y轴关于直线y=kx对称，直线OD与直线y=kx关于y轴对称，点A/是点A【详解】如图，直线OC与y轴关于直线y=kx对称，直线OD与直线y=kx关于y轴对称，作A/E丄OD，垂足为E，交y轴于点P，交直线y:PN=PE，AM=A/M，:AM+PM+PN=A/M+PM+PE=A/E，此时AM+MP+PN最小， :AM+MP+PN的最小值为2·3， 故答案为：23.【分析】作M关于OB的对称点M/，作N关于OA的对称点N/，连接MN//，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN,为等边三角形，△OM连接MN//，/△NOQ△QOP△MOP=S△MON的位置是解题的关键.【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN丄BC于N．首先证明LACD=90O，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=AG，求出AG的最小值即可解决问题.【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作ANTBC于N.:7DMC=7MCD=60O，CM=DM=AM，:LACD=90O，∵AE=EH，GF=FH，:当点G在点N时，AG的最小，即AG的最小值为AN的长，此时EF也最小，:AG最小值为，EF的最小值为.点是证明LACD=90O，属于中考选择题中的压轴题.先计算交点坐标，再确定点B、D、C共线时，OE就如图，连接BC交圆于点D,，【分析】连接BP，根据中位线定理可得BP长的最大值为=3，当理可得BC2=CD2+BD2，列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解.当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD丄x轴与D，:CP=1，:BC=3-1=2，B在直线y=2x上，设B(t,2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t,在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2:22=(t+2)2+(-2t)2, 是解题关键．连接DF，则MN是△DEF的中位线，MN=DF，当DF最大时，MN有最大值，求出即可.【详解】解：连接DF，如图：:M，N分别是ED，EF的中点，:MN是△DEF的中位线，MN=，当DF最大时，MN有最大值，:E，F分别是边AB，BC上的动点，当F与B重合时，DF最大为BD的长， :MN的最大值为2， 【分析】如图，连接AC，取AC的中点O，连接OQ，延长AD至E，使DE=2，连接CE，OP，利用等腰直角三角形性质可得AD=6，由DQ:AQ=1:2，可得DQ=2，AQ=4，利用勾股定理可得CE=2再由三角形中位线定△ABG≌△CBE(SAS)，进而得出OP是△ACE的中线，即OP=3·,由CE，OP，∵四边形ABCD、BEFG是正方形，AB=6， :OQ=，【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的键.轨迹为以BC为直径的半圆是解题的关键.根据矩形的性质结合圆周角定理得到点G的运动轨迹为以BC为直径的半圆，如图：取BC的中点O，点O即为圆心，连接AO并延长交于点G，此时AG最大，【详解】:四边形BEFG为矩形，且其中一边始终经过点C，:7BGC=90O，:点G的运动轨迹为以BC为直径的半圆，即（点B除外）.如图：取BC的中点O，点O即为圆心，连接AO并延长交于点G，此时AG最大， 27．2理等，过点G作GH丄EF于H，过点H作PQⅡAB与过点G作GQ丄PQGQ丄PQ的垂线相交于点Q,根据中位线定理设PE=x，则AE=BF=2x，根据推出再证明△HEP∽△GHQ得出HQ=2x，GQ=4-2x，过点G作GT⊥BC于T，利用勾股定理表示出CQ的长即可得出结果，正确作出辅助线构造相似三角形，根据勾股定理得出CG的长是解题的关键.【详解】解：如图，过点G作GH丄EF于H，过点H作PQⅡAB与过点G作GQ丄PQ的:H为EF的中点，:EH=FH，而PQⅡAB，:AE=2PE，AF=2PH，:AF=4-2x，:PH=2-x，,过点G作GT⊥BC于T， 28．26-2点，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键.定和性质求得点C的坐标，从而可求出AC的最大值.D，过点P作PE丄DC，垂足为E，延长EP ，:△ECP≌△FPB(AAS)， :EC=PF=y，FB=EP=23-x:C(x+y,y+2-x)， +2y2 :x2+y2=1，:-1≤y≤1， :当y=-1时，AC有最小值，AC的最大值为J26-8·=2·-·.故答案为:2-.【分析】由M为△ABC内一点，当MA+MB+MC最短时，得M为△ABC的费马点，以AC易求得<MBC=30°,以BF为边，B为顶点向<MBC的外侧作<FBG，使<FBG=30°,过EH'，由垂线段最短，知BE+CE=CE+EH≥CH'；因为易得BC=2，又<GBC=60°就容易求得CH'就是BE+CE的最小值.下面计算CH':AB=AC=2且AB丄AC:M为△ABC内一点，当MA+MB+MC最短时:M为△ABC的费马点:正三角形ACF:<CAF=60°又AB丄AC:∠BAF=150°:∠ABF=15°:∠FBC=30°:∠GBC=60°在RT△BCH'中:BE+CE的最小值为.质.【分析】作OF平分LAOC，交ΘO于F，连接AF、CF、DF，过点D作DH丄OC于性质可得AC平分上FAO，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质可得DF=DO，数可求得CD=2DH，推得CD+2OD=2(DH+FD)，根据垂线三点共线时，DH+FD的值最小，即FH 三角函数可求得FH=23，即可求解.【详解】解：作LAOC的角平分线OF，交ΘO于F，连接AF、CF、DF，过点D作DH丄OC于H，如图：∵OF平分LAOC，:OC=OE，即OE=2OC，:2OC=OC+4，:四边形AOCF是菱形，:AC平分上FAO，:△FAD≌△OAD(SAS)，:DH=DC.sin上DCH=DC.sin30o=DC，即CD=2DH，当F、D、H三点共线时，DH+FD=FH，此时DH+FD的值最小，边对等角，特殊角的锐角三角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当F、D、H三点共【分析】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及等腰三角形性质、勾股定理、正弦三角函数勾股定理求出BD及sin上ABD=，在Rt△PBE中，求出PEPB，从而得到当C、P、E三点共线，且CE丄AB时，BP+CP有最小值为CE，利用三角形等面积列方程求解即可:在等腰△ABC中，BD是AC边上的高，如图所示，当C、P、E三点共线，且CE丄AB时，BP+CP有最小值，为CE， 取FC中点G，BC中点H，GH=BF，在BE的外侧作△IBE≌△HCG，IH的长线和全等三角形，将BF+CE进行转化.延长线于点J，:点G是FC中点，点H是BC中点，:BE=CG，又:等边三角形ABC，又:BI=CH，:△IBE≌△HCG，BF+CE=IE+CE，当点E在线段IC上时IE+CE取最小值，长度为线段IC的长，【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间线段最短，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键.DE=3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值.【详解】解：如图，连接CM、CN，:DE=6，点M、N分别是DE、AB的中点，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，两点之间线段最短，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键.DE=3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值.【详解】解：如图，连接CM、CN，:DE=6，点M、N分别是DE、AB的中点，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，-和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF丄AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE=PC，则当BE有最小值时，PC【详解】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF丄AP于F，:点A的坐标为(0,8)，:OA=8,:点P为OA的中点，:AP=4,:△AEP是等边三角形，EF丄AP，:AF=PF=2,AE=AP，:上BAE=上CAP，在△ABE和△ACP中，:△ABE≌△ACP(SAS)，:BE=PC,:当BE有最小值时，PC有最小值，即BE⊥x轴时，BE有最小值，:PC的最小值为6，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得利用勾股定理列式求出DE，【详解】解：如图：取线段AB的中点E，连接OD、OE、DE， 顶点为正方形四个顶点，设正方形EAFG的边长是a，则B可.则EFⅡBC，BC=10，:能剪出的最大正方形的面积25.【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、勾股定理，根据轴对称时△BEC面积的最大，如图，过A作AE/丄BC于【详解】解：连接AE，∵B关于直线AD的对称点E，AB=4，∵点E在BC的下方，:当AE丄BC时，点A到BC的距离最小，则E到BC的距离最大，此时△BEC面积的最大，=AB.AC=BC.AH，:△BEC面积的最大值为，【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与ΘD相切时，△AOP面积的最大，由于过点P的直线是ΘD的切线，得出DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM丄AC，进而得出DM丄AC，根据勾股定理先求得AC的长，易得OA的长，利用面积法解得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得答案.【详解】解：当P点移动到过点P的直线平行:DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM丄AC，:△AOP的最大面积OA×PM==14.5.故答案为：14.5.【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，判断出点P处于什么位置时面积最大是解题关键.的最大值.【详解】解：过点A作AM丄BC于点M，过点E作EH丄CA:△AMC∽△BGC， :7BDG+7DBG=90°,【分析】分别以CP、CB为边在下方构造等边三角形△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD中点E、F，连接EF、QD、PE，先证得△BPC@△DQC，可得PB=QD，由中位线可得由等边三角形性质可得PC，当A、P、F三点共线时即可求得AF=AP+PE+EF=PA+的最小值.【详解】分别以CP、CB为边在下方构造等边三角形△PCQ、△DBC，分别取CQ、CD中点E、F，连接EF、QD、PE，如图所示，∵取CQ、CD中点E、F，∵等边三角形△PCQ，∴PE=PC，PC=QC∵等边三角形△DBC，∴ÐPCB=ÐQCD=60°-ÐQCB，∴当A、P、F三点共线时4PA+2PB+2PC222 用手拉手模型构造辅助线.【分析】①根据菱形的性质，运用“SAS”证明即可；②根据菱形性质可得A与C线BD对称，可知AM+CM最小为AC长；③先假设AN⊥BE，而后逆推即可判断；④根据的面积即可判断④.【详解】解①:△ABE是等边三角形，:BA=BE，<ABE=60°.:<MBN=60°,又:MB=NB，:△AMB≥△ENB（SAS故①正确；:四边形ABCD是菱形，:点A和点C关于直线BD对称，:<ABC=60°,:△ABC是等边三角形，:AC=2.:AN是BE的垂直平分线，:EN=BN=BM=MA，:条件没有确定M点与O点重合，故③错误；④如图，连接MN，由（1）知，△AMB≥△ENB，:AM=EN，:△BMN是等边三角形，:BM=MN，:AM+BM+CM=EN+MN+CM，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，:BC=2,EF=2，故④正确.的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键.【分析】将△ADM绕点A逆时针旋转60。得到△AD/M/，连接DD/、MM/，然后【详解】如图所示，将△ADM绕点A逆时针旋转60。得到△AD/M/，连接DD/、MM/，:AM=AM/=MM/，AD=AD/=DD/=8，:当线段MD//、MM/、MN三条线段在同一直线上，且该直线与BC垂直时，:MA+MD+MN最小值为：D/E，即AB=EF=5，: