状态空间分析

关于状态空间分析9.3.1

由系统机理建立状态空间表达式例9-2

力、弹簧、阻尼器组成的机械系统由牛顿定律其中，输入为F(t),输出为位移y(t).若已知初始位移和初始速度，则可唯一确定系统在输入作用下的解。第2页,共61页，2024年2月25日，星期天可选择位移和速度作为状态变量状态方程为输入系统的状态空间表达式为第3页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-3

机械系统如图所示，若不考虑重力的作用，试写出以拉力F为输入，质量m1和m2的位移y1和y2为输出的状态空间表达式。解根据牛顿定律，分别列写关于m1和m2的方程选择4个互相独立的状态变量。第4页,共61页，2024年2月25日，星期天第5页,共61页，2024年2月25日，星期天9.3.3由微分方程建立状态空间描述步骤：直接根据系统的物理机理建立相应的微分(连续系统）或差分（离散系统）方程组。针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的输出方程。状态变量的选取

1.状态变量的选取是非唯一的。

2.选取方法

（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。

（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc

、质量m

的速度v

等）第6页,共61页，2024年2月25日，星期天(1)

线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式

设单输入/单输出的控制系统的动态过程由下列n阶微分方程来描述输出信号及其各阶导数u系统的输入信号若已知初始条件及时刻的输入信号u(t)，则系统在任何时刻的行为便可完全确定。第7页,共61页，2024年2月25日，星期天状态变量可取为可写为第8页,共61页，2024年2月25日，星期天状态空间表达式C=[100…0]其中，各矩阵为,A=,B=第9页,共61页，2024年2月25日，星期天由微分方程求状态空间表达式的例题见书例9－3b根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图,也称状态变量图,如图所示，每个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态方程由积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出

：第10页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-4

设一控制系统的动态过程用微分方程表示为u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。解：选取状态变量为写成标准形式第11页,共61页，2024年2月25日，星期天(2)输入信号包含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述控制系统由下列n阶微分方程来描述若采用上述方法选取状态变量，则可化成一阶微分方程组方程组中，出现了u(t)的导数项，不能采用以上方法。第12页,共61页，2024年2月25日，星期天选择状态变量的原则：在包含状态变量的n个一阶微分方程构成的系统状态方程中，任何一个微分方程都不能含有作用函数/输入量的导数项。

若输入信号在时刻出现有限跳跃，如阶跃函数，则在t0时刻出现脉冲函数，在t0时刻将是更高阶的脉冲函数，状态轨迹则在t0时刻产生无穷大跳跃。故此时不能按照前面的方法将系统的输出量及其各阶导数直接选作系统的状态变量，因为这组状态变量已经不具备在已知系统输入和初始状态条件下完全确定系统未来运动状态的特性。第13页,共61页，2024年2月25日，星期天选取状态变量由此可得输出方程n-1个状态方程可写成第14页,共61页，2024年2月25日，星期天对xn求导将y(n)代入第15页,共61页，2024年2月25日，星期天将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数项表示有可写成可以保证系统有唯一解。第16页,共61页，2024年2月25日，星期天

A=

B=C=[100…0]，将微分方程组改写成矩阵向量形式第17页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-5

设一控制系统的动态方程用微分方程表示为

试求该控制系统的状态空间描述。解：与下式比较可得选取状态变量第18页,共61页，2024年2月25日，星期天状态方程为系统状态空间表达式为第19页,共61页，2024年2月25日，星期天一般形式：当式中b0=0时，还可以按如下规则选择另一组状态变量。设第20页,共61页，2024年2月25日，星期天则得到输出方程为第21页,共61页，2024年2月25日，星期天继续变换，则得到第22页,共61页，2024年2月25日，星期天对x1求导，并将y

(n)用代入后整理得第23页,共61页，2024年2月25日，星期天d=0第24页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-5（续）

设一控制系统的动态方程用微分方程表示为

试求该控制系统的状态空间描述。解：与下式比较可得选取状态变量第25页,共61页，2024年2月25日，星期天所以状态空间表达式为对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的。第26页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-6

设有双输入－双输出的二阶系统，其运动方程为

试写出系统的状态空间表达式解：按最高阶导数项求解y1、y2的方法，对以上两方程积分第27页,共61页，2024年2月25日，星期天选取状态变量由y1的表达式可得选取状态变量则有由y2的表达式，有综上第28页,共61页，2024年2月25日，星期天将上述方程写成矩阵方程形式，有系统输出矩阵方程为第29页,共61页，2024年2月25日，星期天9.3.3

由状态变量图求状态空间描述状态变量图描述系统状态变量之间关系的图，由积分环节、比例环节和相加符号组成。状态变量图的特点：每一个积分环节的输出都代表系统的一个状态变量第30页,共61页，2024年2月25日，星期天P276,例9-7：方框图（结构图）

状态变量图步骤：结构图由典型环节构成；将一阶惯性环节、二阶震荡环节分解成局部状态图；设定每一个积分环节的输出为一个状态变量，画出状态变量图。第31页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-7

系统的闭环传递函数为试绘制系统的状态变量图，并由图列写系统的状态空间描述。解将系统的闭环传递函数改写成令第32页,共61页，2024年2月25日，星期天第33页,共61页，2024年2月25日，星期天作业：P3489-3，9-6，9-9第34页,共61页，2024年2月25日，星期天将传递函数转换成状态空间描述将状态空间描述转换成传递函数9.3.4系统传递函数与状态空间描述（1）传递函数转换成状态空间描述第35页,共61页，2024年2月25日，星期天选取状态变量第36页,共61页，2024年2月25日，星期天若有，则输出方程的前两项为零。此法也可用来求取微分方程中含有输入信号的导数时系统的状态空间描述，注意与前面介绍的方法不同的是B和C不同。第37页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-8

设控制系统的传递函数为

试求该统的状态空间描述。解状态方程为输出方程为第38页,共61页，2024年2月25日，星期天

传递函数的串联实现传递函数为两多项式相除形式，分子多项式（Numerator）为分母多项式（Denominator）如果为G(s)的m个零点，为G（s）的n个极点，那么G(s)可以表示为：第39页,共61页，2024年2月25日，星期天所以系统的实现可以由共n个环节串联而成，如图（a）所示。其结构图可以是如图（b）中虚框表示。(a)对第一个环节，由于：第40页,共61页，2024年2月25日，星期天(b)m=n-1的情况我们令各个积分器的输出为系统状态变量，则得系统状态方程为：第41页,共61页，2024年2月25日，星期天第42页,共61页，2024年2月25日，星期天传递函数的并联实现系统传递函数为系统的特征方程。当Den(s)=0有n个不等的特征根（）G(s)可以分解为n个分式之和，即：，称作系统对应极点pi的留数。

其中其中，第43页,共61页，2024年2月25日，星期天上式可以用如图所示的并联方式实现。(a)(b)并联实现(无重根)第44页,共61页，2024年2月25日，星期天从图（b）我们可得系统的状态方程：输出方程为：写成矢量形式为：请注意，这里的系统矩阵A为一标准的对角型。第45页,共61页，2024年2月25日，星期天

如果状态变量选择为第46页,共61页，2024年2月25日，星期天那么系统输出则为同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有对角阵标准型

第47页,共61页，2024年2月25日，星期天当上述G(s)的分母Den(s)=0有重根时，不失一般性，假设：即为q重根，其它为单根。这时G(S)可以分解为：其中：

i=1,2,…,qj=q+1,q+2,…,n第48页,共61页，2024年2月25日，星期天并联实现（有重根）第49页,共61页，2024年2月25日，星期天取图中每个积分器输出为状态变量，则有：第50页,共61页，2024年2月25日，星期天注意这里的A为一约当标准型。第51页,共61页，2024年2月25日，星期天例

求下列传递函数的并联实现解：分母各项多项式分解可得系统并联实现的动态方程为：第52页,共61页，2024年2月25日，星期天系统动态方程和系统传递函数（阵）都是控制系统两种经常使用的数学模型。动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统内部状态变量的关系。传递函数只体现了系统输入与输出的关系。从传递函数到动态方程是个系统实现的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、比较简单的过程。(2)将状态空间描述转换成传递函数第53页,共61页，2024年2月25日，星期天单输入/单输出系统的状态空间描述转换成传递函数设一单输入/单输出系统的状态空间描述为D为标量设初始条件为零，对上式进行拉氏变换可得系统的传递函数为第54页,共61页，2024年2月25日，星期天例9-9

设系统的状态空间描述为

求系统的传递函数。解