第二十章-数据的分析小结与复习

英格教育文化有限公司全新课标理念，优质课程资源学习方法报社第10页共13页第二十章数据的分析小结与复习知识梳理1.平均数定义：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把＝(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的______，简称平均数.加权平均数：一般地，如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这时f1+f2+…+fk＝______），那么这n个数的加权平均数为＝.由此，平均数的计算方法有：（1）定义法：当所给数据比较______时，一般选用定义公式.（2）加权平均数法：当所给数据______时，一般选用加权平均数公式.（3）新数据法：当所给数据______时，一般选用简化公式：＝+a.其中，常数a通常取______的较“整”的数，x1′＝x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a.那么＝(x1′+x2′+…+xn′)是新数据的平均数（通常把x1，x2，…，xn叫做______，x1′，x2′，…，xn′叫做______）.2.中位数：将一组数据按______的顺序排列，把处在______位置的一个数据（或最中间______数据的______）叫做这组数据的中位数.3.众数：一组数据中出现______的数据，叫做这组数据的众数.4.极差：一组数据中的______与______的差，称做这组数据的极差.5.方差：有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的______的差的______的平均数称为这n个数据的方差.若方差用s2表示，平均数用表示，那么s2＝______.6.标准差：方差的______叫做这组数据的标准差.考点呈现考点1算术平均数例1（2011年浙江温州）某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是分．解析：把5位评委的打分加起来然后除以5即可得到该节目的平均得分．由题意得，==9，所以该节目的平均得分是9分．点评：本题考查的是算术平均数的求法，熟记公式是解题的关键．考点2加权平均数例2（2011年福建龙岩）数名射击运动员第一轮比赛成绩如下表所示：环数78910人数4231则他们本轮比赛的平均成绩是（）A．7.8环B．7.9环C.8.l环D．8.2环解析：考查加权平均数的算法.只要清楚平均成绩=总环数÷总人数，就可以解决.因为（7×4+8×2+9×3+10×1）=8.l（环）.故选C.点评：当所给数据重复数据较多时，应选择加权平均数公式计算这组数据的平均数.各个数据权的不同，体现了各个数据在这组数据中的重要程度不同.考点3中位数例3（2011年山东菏泽）在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩(单位：分)分别是7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的中位数是．解析：先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．按从小到大排列后为7，7，8，8，9，9，9，10．故这组数据的中位数是×（8+9）=8.5．点评：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据是奇数或偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则最中间的一个数即为所求；如果是偶数个，则中位数为最中间两个数的平均数．考点4众数例4（2011年贵州贵阳）某市甲、乙、丙、丁四支中学生足球队在市级联赛中进球数分别为7，7，6，5，则这组数据的众数是()A.5B.6C.7D.6.5解析：找出这组数据中出现次数最多的数即为所求.这组数据的众数是7，故选C．点评：本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数是众数.要注意众数可以不止一个．考点5有关数据的代表的综合考查例5（2011年湖南邵阳）某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了如下统计表：请根据图表中的信息回答以下问题．(1)求a的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱数额的众数和平均数．解：(1)因为总人数为50人，所以a=50-15-20-5=10（人）.(2)本周内有20人的零花钱是15元，出现次数最多，所以众数是15元；平均数为=12(元)．点评：解此类题目往往要先对已知条件和表格进行分析，然后用所学的知识解决.考点6用样本估算总体例6(2011年天津)在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：册数01234人数31316171（1）求这50个样本数据的平均救，众数和中位数；（2）根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数.解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数是；在这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，所以这组数据的中位数为2．（2）在50名学生中，读书多于2本的学生有18名，所以可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有（名）.点评：本题考查的知识点有：用样本估计总体、平均数、中位数及众数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．考点7极差例7（2011年福建泉州）一组数据：－3，5，9，12，6的极差是 .解析：根据极差的定义最大值与最小值的差来计算即可.这组数据的极差为12-(-3)=15.点评：根据极差的定义进行计算即可.考点8方差例8（2011年江苏宿迁）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩（单位：环）如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10898109乙107101098（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．解：（1）甲的平均成绩为（10+8+9+8+10+9）=9（环），乙的平均成绩为（10+7+10+10+9+8）=9（环）.（2）s2甲＝＝（环2），s2乙＝＝（环2）．（3）推荐甲参加全国比赛更合适.理由：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．点评：本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．误区点拨一、混淆算术平均数与加权平均数例1甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次.射击成绩统计如下：命中环数78910甲命中相应环数的次数2201乙命中相应环数的次数1211从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（）A.甲比乙高B.甲、乙一样C.乙比甲高D.不能确定错解：甲同学的射击成绩平均数为==8.5（环），乙同学的射击成绩平均数为==8.5（环）.故选B.剖析：错解中将加权平均数误算成算术平均数.应当将两同学命中环数的次数作为“权”，利用加权平均数求平均成绩.正解：甲同学射击成绩的平均数为==8（环），乙同学射击成绩的平均数为==8.4（环）.故选C.二、误将一个数出现的次数当做众数例2某校开展为地震灾区捐款活动，八年级（2）班第1组8名学生捐款（单位：元）如下：100，50，20，30，20，10，15，20，则这组数据的众数是_______.错解：在这组数据中，因为20出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是3.剖析：错解错在把数据出现的次数当成了众数，而众数实际上是一组数据中出现次数最多的那个数据.正解：在这组数据中，因为20出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是20.三、忽视众数的不唯一性例3在一次数学竞赛中，10名学生的成绩（单位：分）如下：75，80，70，80，85，70，95，60，70，80，则这次竞赛成绩的众数是多少？错解：因为这组数据中80出现了3次，所以这组数据的众数是80.剖析：根据众数的意义可知，一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数.而在这组数据中70也出现了3次，所以这组数据的众数有两个.正解：这次竞赛成绩的众数是70分和80分.四、求中位数时没有按顺序排列例4五名同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额（单位：元）为10，25，50，35，40，这组数据的中位数是_______元.错解：这组数据共5个，处于中间的数据是50，所以中位数是50.剖析：求中位数的前提条件是：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再求中位数.错解没有将数据按从顺序排列.正解：将这组数据按从小到大的顺序排列为10，25，35，40，50.因此，最中间的数为35，所以这组数据的中位数为35.五、求极差时漏解例5已知一组数据0，-1，x，1，2的极差是4，求x的值.错解：由题意得2-x=4，解得x=-2.剖析：错解错在受思维定势的影响，考虑问题不周密，事实上，这组数据中的x有两种取值情况，既有可能是这组数据中的最大值，也有可能是最小值，故应分类讨论.正解：当x为最大值时，有x-（-1）=4，解得x=3；当x为最小值时，有2-x=4，解得x=-2.故x=3或x=-2.六、题意理解不透彻例6甲、乙两工人生产直径为40mm的同一种零件，现各抽取两人加工的5个零件，量得尺寸（单位：mm）如下：甲：42，41，40，39，38；乙：40.5，30.1，40，39.9，39.5.请问：哪位工人的零件质量较好？错解：甲、乙两人生产零件尺寸的平均数分别为=×（42+41+40+39+38）=40（mm），=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40（mm）.所以两工人生产的零件质量一样好.剖析：错在没有真正理解题目的意思.本题考查的是波动大小问题，应该用方差来衡量，而平均数反映的是数据的平均水平.正解：=×（42+41+40+39+38）=40（mm），=×[（42-40）2+（41-40）2+···+（38-40）2]=2（mm2）.=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40（mm）.=×[（40.5-40）2+（40.1-40）2+···+（39.5-40）2]=0.104（mm2）.因为甲、乙的平均数相同，且乙的方差比甲小，所以工人乙生产的零件质量较好.七、方差概念认识不清例7一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得新数据的方差是（）A.2s2B.s2C.4s2D.s2错解：选A.剖析：错解显然是对方差的概念认识不清，方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数，而错解错误地认为只要把原数据的方差乘以2就可以得到新数据的方差.正解：设原数据为x1，x2，x3，…，xn，其平均数和方差分别为和s2，则新数据为2x1，2x2，2x3，…，2xn，其平均数为2，根据方差的意义可知=[（2x1-2）2+（2x2-2）2+…+（2xn-2）2]=4×[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=4s2.故选C.新题展示例1阅读并解答：甲、乙两同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两个人买糖方式不同，甲每次总是买1千克的糖，乙每次总是买一元钱白糖，而白糖的价格是变动的.若两人买2次白糖，试问这两位同学买白糖的方式谁比较合算？小明是这样解答的：设两次买白糖的价格分别是x1，x2，则甲的平均单价是，乙也是，所以两人买白糖的方式一样合算.亲爱的同学，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．解：小明的解答不正确.设两次买白糖的价格分别是x1，x2，则甲的平均每千克白糖单价为a=，乙的平均每千克白糖单价为b==.∵x1≠x2，∴a-b=-=>0，即a>b.∴乙买白糖的方式比较合算.例2规律与探究：（1）观察下列各组数据并填空：A.1，2，3，4，5，则=_______，s2A=_______；B.11，12，13，14，15，则=_______，s2B=_______；C.10，20，30，40，50，则=_______，s2C=_______；D.3，5，7，9，11，则=_______，s2D=_______．（2）分别比较A与B，C，D的结果，你能发现什么规律？（3）若已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，方差为5，那么3x1+4，3x2+4，3x3+4，…，3xn+4的平均数为_______，方差为_______．解：（1）由平均数的公式可知=3，s2A=2；=13，s2B=2；=30，s2C=200；=7，s2D=8．（2）比较A和B，C，D的关系，再比较它们的平均数，可以得到=+10，s2B=s2A；=10，s2C=100s2A；=2+1，s2D=4s2A.由此可以猜想：若已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，那么①x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均数为+a，方差为s2；②mx1，mx2，mx3，…，mxn的平均数为，方差为m2s2；③mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均数为，方差为m2s2．（3）由上可知，平均数是19，方差为45．点评：本题特别说明：当数据都加上（或减去）一个数时，数据的波动情况不变；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n2倍．跟踪训练1.8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，，81，这组成绩的平均数是77，则x的值为（）A．76 B．75 C．74 D．732.2012年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A.32，31B.31，32C.31，31D.32，353.某校四个科技兴趣小组在“科技活动周”上交的作品数分别为10，10，x，8，已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）A.8B.9C.10D.124.（2011年河南）在某次体育测试中，九年级（三）班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为1.71，1.85，1.85，1.96，2.10，2.31，则这组数据的极差是（）A．0.21B．0.46C．0.60D．2.315.数据2，3，2，3，5的方差是.6.（2011年广东省茂名)若一组数据1，1，2，3，x的平均数是3，则这组数据的众数是______.7.一组数据：-2，-1，0，x，1的平均数是0，则x=，方差s2=.8．阅读下列材料：为了在甲、乙两名学生中选拔一人参加数学竞赛，在相同条件下，对他们进行了10次测验，成绩（单位：分）如下：甲成绩76849086818786828583乙成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是_______分，乙学生成绩的中位数是_______分．（2）若甲学生成绩的平均数是甲，乙学生成绩的平均数是乙，则甲与乙的大小关系是________．（3）经计算知：s2甲=13.2，s2乙=26.36，这表明__________.（用简明的文字语言表述）（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为________，乙的优秀率为________．9．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：每周做家务的时间（小时）011.522.533.54人数（人）2268121343根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间应是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少？（3）请你根据（1）、（2）的结果，用一句话谈谈自己的感受．10.经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量（单位：kg）如下：A：4.14.85.44.9