2024高中数学教学论文-例谈三角函数中的最值问题

2024高中数学教学论文-例谈三角函数中的最值问题例谈三角函数中的最值问题 三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。近几年高考题中，此类问题及经常出现，其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。下面就其类型与解法举例说明。1y=asinx+bcosx+c型例1已知函数f(x)=2asin2x-2asinx·cosx+a+b(a0)的定义域为[0，]，值域为[-5，1]，求常数a、b的值。解：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x)+2a+b=-a(cos2x+sin2x)+2a+b=-2asin(2x+)+2a+b.x[0,],2x+[,].-sin(2x+)1.因此，由f(x)的值域为[-5，1]可得,或或点评：本题将函数化为一个角的一种函数的形式。本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c型的函数，再应用函数的有界性求解。2.y=asinx2+bsinx+c型例3求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.设sinx=t,则-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.(1)当a<-1时，有ymax=g(1)=3-4a,ymin=g(-1)=3+4a.(2)当-1a1时,有ymin=g(a)=1-2a2,ymax为g(-1)和g(1)中的较大者,即ymax=3-4a(-1a0),(3)当a>1时,有ymax=g(-1)=3+4a,ymin=g(1)=3-4a.本题可以化为以sinx为自变量的二次函数，定义域为[-1,1],利用二次函数在闭曲间上的最值求法。对于正弦函数、余弦函数的有界性，应引起充分的重视。3.y=asinx+b型已知f(x)=sin(2x+)-sin2x+sinxcosx+求f(x)的最小值及此时x的值。解：f(x)=sin(2x+)-(1-cos2x)+sin2x+=sin(2x+)+sin2x+cos2x=sin(2x+)+sin(2x+)=2sin(2x+).当x=k-(kZ)时,f(x)的最小值-2.点评：化为一个角三角函数形式，再利用有界性求解。4．（xR）型例4．求函数的最大值与最小值。方法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=,故1解得y,ymax=,ymin=方法二：将函数问题可转化为求两点A(2,2)和B(cosx,sinx)间连线斜率的范围。而点（cosx,sinx）的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆。通过点(2,2)的直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2(1-k)=0.原点到此直线的距离应为1.故=1,即得k=,ymax=,ymin=.点评：法一是利用三角函数的有界性；法二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；学习中应重视数形结合法处理最值的问题。5.综合型例5：当0<x<时，函数f(x)=的最小值为（）A.2B.2C.4D.4解法一：f(x)===4（“=”cosx=2sinxtanx=）故选C解法二：f(x)==,f/(x)==0对0<x<成立，故cos2x=，sin2x=时,f(x)min==4.故选C.点评：法一利用倍角公式及均值不等式求解；法二利用倍角公式及求导方法求解。例6:若函数的最大值为2，试确定常数a的值。解：其中角满足，解之得，.点评：本题利用了三角函数公式恒等变形的技能和运算能力，达到了求三角函数最值的目的。在解答有关三角函数最值问题的题目时，应注意正弦、余弦的有界性及函数的定义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内的最大值、最小值的方法，以及利用重要不等式或求导的方法来求解。例谈用一元三次函数培养解题能力新的数学课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想，因此近年来高考以及各地模拟试题中，对函数的考查并不仅仅局限在一些常用的函数上，出现了不少以三次函数为背景的好试题，比较成功地培养和考查了学生各方面能力。以三次函数为蓝本，培养学生分析运用函数性质的能力考查函数的奇偶性和单调性例1已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函数，且在R上是增函数，则（）A、p=0,q=0B、p∈R,q=0C、p≤0,q=0D、p≥0,q=0解析由奇函数以及增函数的定义易知选D考查函数图象的对称性例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（）对称A、直线x=1B、直线y=xC、点(1,-2)D、原点解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于成中心对称知选C运用函数的性质和数形结合思想解题例3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）A、b∈(-∞,0)B、b∈(0,1)C、b∈(1,2)D、b∈(2,+∞)论数学学法指导

数学学习方法指导，简称数学学法指导，是“学会学习”的一个重要组成部分．目前，数学学法指导问题是数学教学理论研究和实践中的一个重要课题．因此，我想就此问题从四个方面做些探讨，以抛砖引玉．一、数学学法指导的意义１．数学教学方法改革的需要

长期以来，数学教学改革偏重于对教的研究，但是对于学生是如何学的，学的活动是如何安排的，往往较少问津．现代教学理论认为，教学方法包括教的方法和学的方法，正如前苏联教学论专家巴班斯基指出的那样：“教学方法是由学习方式和教学方式运用的协调一致的效果决定的．”即教学方法是受教与学相互依存的教学规律所制约的．

当前，教学方法改革中的一个新的发展趋向，就是教法改革与学法改革相结合，以研究学生科学的学习方法作为创建现代化教学方法的前提，寓学法于教法之中，把学法研究的着眼点放在纵向的教法改革与横向的学法改革的交汇处．从这个意义上讲，学法指导应该是教学方法改革的一个重要方面．２．培养学生学习能力的需要

埃德加·富尔在《学会生存》一书中指出：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人．”“教会学生学习”已成为当今世界流行的口号．前苏联教育家赞可夫在他的教学经验新体系中，把“使学生理解学习过程”作为五大原则之一．就是说，学生不能只掌握学习内容，还要检查、分析自己的学习过程，要学生对如何学、如何巩固，进行自我检查、自我校正、自我评价．学法指导的目的，就是最大限度地调动学生学习的主动性和积极性，激发学生的思维，帮助学生掌握学习方法，培养学生学习能力，为学生发挥自己的聪明才智提供和创造必要的条件．３．更好地体现学生为主体的需要

我国著名教育家陶行知先生早就指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学．”美国心理学家罗斯也说过：“每个教师应当忘记他是一个教师，而应具有一个学习促进者的态度和技巧．”专家学者精辟地阐述了学生在整个教学过程中始终是认识的主体和发展的主体思想，强调了学法指导中以学生为主体的重要性．教师在教学过程中的作用，只是为学生的认识的发展提供种种有利的条件，即帮助、指导学生学习，培养学生自学的能力和习惯．二、数学学法指导的内容１．形成良好的非智力因素的指导

主要包括学习需要、动机、兴趣、毅力、情绪等良好的非智力因素形成的指导．２．学习方法体系的指导（１）指导学生形成拟定自学计划的能力．（２）指导学生学会预习的能力．要求学生边读边思边做好预习笔记，从而能带着问题听课．（３）指导学生读书的方法．（４）指导学生做笔记、写心得、绘图表的方法，使他们能够把自己的思想表达出来．（５）指导学生有效的记忆方法和温习教材的方法．３．学习能力的指导

包括观察力、记忆力、思维力、想象力、注意力以及自学、表达等能力的培养．４．应考方法的指导

教育学生树立信心，克服怯场心理，端正考试观．要把题目先看一遍，然后按先易后难的次序作答；要审清题意，明确要求，不漏做、多做；要仔细检查修改．５．良好学习心理的指导

教育学生学习时要专注，不受外界的干扰；要耐心仔细，独立思考，不抄袭他人作业；要学会分析学习的困难，克服自卑感和骄傲情绪．三、数学学法指导的原则

数学学法指导的原则是根据学生的学习任务、学习规律和学习经验，对学生数学学习提出的基本法则．它是用来指导和改进学生学习，提高学习效率、质量的准则．

就目前数学教学研究情况和学生学习经验来看，我以为有以下几条原则．１．系统化原则

要求学生将所学的知识在头脑中形成一定的体系，成为他们知识总体中的有机组成部分．在教和学中，要把概念的形成与知识系统化有机联系起来，加强各部分学习基础知识内部和相互之间，以及数学与物理、化学、生物之间的逻辑联系；注意从宏观到微观揭示其变化的内在本质．并在平时就要十分重视和做好从已知到未知，新旧联系的系统化工作，使所学知识先成为小系统、大结构，达到系统化的要求．２．针对性原则

就是针对数学学科的特征及学生的实际特点进行指导，这是学法指导的最根本原则．首先，要针对学生的年龄特征进行指导．一般来说，初中生知识面较窄，思维能力较差，注意力不持久，学习技能不很熟练，因此，对初中生的指导要具体、生动、形象，多举典型事例，侧重于具体学习技能的培养，使学生养成良好的学习习惯．高中生则不同，知识面较广，理解力较强，因此，可向学生介绍一些学习数学知识的方法，侧重于学习能力的培养，开设学法课．其次，要针对学生的类型差异进行指导．学生的类型大致有四种：第一种，优秀型．双基扎实，学习有法，智力较高，成绩稳定在优秀水平．第二种，松散型．学习能力强，但不能主动发挥，学习不够踏实，双基不够扎实，学习成绩不稳定．第三种，认真型．学习很刻苦认真，但方法较死，能力较差，基础不够扎实，成绩上不去．第四种，低劣型．学无兴趣，不下功夫，底子差，方法死，能力弱，学习成绩差，处于“学习脱轨”和“恶性循环”状态．对不同类型的学生，指导方法和重点要不同．对第一种侧重于帮助优生进行总结并自觉运用学习方法；对第二种主要解决学习态度问题；对第三种主要解决方法问题；对第四种主要解决兴趣、自信心和具体方法问题．解析显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又yf(x)=ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a<0，故选A引申试确定的a,b,c,d符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）o12以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力考查集合、映射等知识例4设f(x)=x3-x,M=｛x|1-k<x<k｝N=｛x|f(x)<0｝，若MN，求k的取值范围解析由f(x)<0解得x<-1或a<x<1，则N=｛x|x<-1或a<x<1｝，又MN，得0<k<1,0<1-k<1或k<-1,1-k<-1解得0<k<1或k∈故k的取值范围是（0，1）（2）、考查函数不等式等知识例5设函数f(x)=x3(x∈R)，若时,恒成立，则实数m的取值范围是（）A、(0,1)B、(-∞,0)C、D、(-∞,1)解析由函数f(x)=x3在R上为奇函数知，又f(x)=x3在R上为增函数，得即设，由知,故选D（3）、考查二项式定理及函数知识例6设f(x)=x3-3x2+3x+1，则f(x)的反函数f-1(x)=解析结合二项式定理知f(x)=(x-1)3+2，令f(x)=y有y-2=(x-1)3得x-1=,x=+1故f-1(x)=+1以三次函数为核心，培养学生分析问题、解决问题的能力以三次函数为核心，与不等式、数列、解析几何等知识结合综合考查学生分析问题、解决问题的能力。例7设f(x)=x3，等差数列｛an｝中a3=7,a1+a2+a3=12，记Sn=,令bn=anSn，数列｛｝的前项和为Tn。求｛an｝的通项公式和Sn求的值解析（1）设数列｛an｝的公差为d，由a3=a1+d=7,,a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1,d=3∴an=3n-2,∵f(x)=x3∴Sn==an+1(2)bn=anSn=(3n-2)(3n+1),∴故设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴，y轴的正向分别平行移动t,s单位长度后得到曲线C1。写出曲线C1的方程；证明曲线C与C1关于点对称;如果曲线