2023-2024学年山东省枣庄市某中学高二年级上册开学摸底考试数学试题（解析版）

2023-2024学年山东省枣庄市第八中学高二上学期开学摸底考试数学

试题

一、单选题

1.己知复数Z==（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A.—/B.—iC.gD.—

2222

【答案】C

【解析】利用复数的除法运算化简z,由此求得z的虚部.

iz（l+z）-l+z11I

【详解】z=LI[=丁=丁下,故虚部为J.

1-z+2222

故选：C

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.

2.在平行六面体ABCO-ABCQ中，M为4G与BQ的交点，若AB=〃，AD=b，=c,则下

列向量中与相等的向量是（）

11,11,11,-11,

A.—a+—b+cB.—a+—b+cC.—a—b+cD.—a—b+c

22222222

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.

【详解】在平行六面体A8CZJ-4耳G。中，M为AG与B自的交点,

故AM=g（AA+AA）=g“+；〃,

故BM=BA+A^+AM=-AB+AA]+=-o+c+g〃+；〃=-ga+gz?+c.

故选：B

3.点A（3,4,5）关于坐标平面。”对称的点5的坐标为（）

A.(3,4,-5)B.(-3,4,5)

C.(—3,4,—5)D.(—3,—4,—5)

【答案】B

【分析】利用空间直角坐标系中点的对称特征判定即可.

【详解】关于坐标平面0)2对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变.

即点A(3,4,5)关于坐标平面Qvz对称的点B的坐标为(-3,4,5).

故选：B

4.已知正四棱锥的侧棱长为石，高与斜高的夹角为30。，则该正四棱锥的体积为()

A.■B.毡C.473D.2G

33

【答案】A

【分析】画出图形，正四棱锥P-ABCD,高为尸O,斜高为PE,然后根据已知条件列方程可求出

高和底面边长，从而可求出体积.

【详解】如图，在正四棱锥高为PO,斜高为PE,

题意可得PA=PB=PC=尸。=6,NOPE=30°

设正方形ABC。的边长为。，则OE=BE=J。，

在RtPOE中，PE=2OE=a,

在RtZSPBE中，PE2+BE2=PB-，则/+9力=5,解得”=2,

4

所以PO=4PE2-OE2="^l=g，

所以正四棱锥的体积为乜82/0=上4义6=迪，

333

故选：A

5.若ae0,g,且tan2a=f^,则sine的值为()

I2)2—sina

【答案】D

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得.

■、上e、r-cosa「Li、12tanercosa

【详解】因为tan2a=；；~：—,所以;——=--：—，

2—sinal-tan-a2-sina

2sinacosacosa

R即n―2———=——，

cosa-sina2-sincr

因为a£(0，W),所以cosa>(),siner>0,

所以4sina-sin2a=cos2a，

因为sin?a+cos2a=1,所以4sina=l,解得sina=-7.

4

故选：D

6.若x,y,zcR,则

y/x2+y2+z2+Jx2+y2+(z-l)2+^(x-l)2+(y-l)2+z24-^(x-1)2+(y-l)2+(z-l)2的最小值为

()

A.272B.3c.2V3D.4

【答案】C

【分析】利用空间中两点之间的距离公式，将代数问题转化为几何问题，从而使得问题得以解决.

【详解】题干中代数式的几何意义是空间中任意一点4x,y,z)分别到点。(0,0,0)、3(0,0,1)、

C(l,l,0),D(1J1)的距离之和，如图所示，四边形O8OC是一个矩形，

ZA

易知|明+|442忸q,|AO|+|AD|2|O4

当点A(x,y,z)位于矩形OBDC的中心时，其距离之和最小，

且最小值为矩形OBDC的对角线长之和，而|oq=忸q=G,

所以代数式的最小值为2G.

故选：C

7.已知忖=1,6=(1,句，a_L(a+6),则向量”在向量6上的投影向量为()

【答案】D

【分析】先算W，再求与向量8同向的单位向量和a在b上的投影，然后由投影向量定义可得.

【详解】由题知W=«石=2,与向量匕同向的单位向量为启=g，V)

因为+所以G(a+/0=”-+”•〃=l+2cos〈a,6〉=0,得cos〈a,b〉=-1

所以向量a在向量。上的投影为卜上5〈“力〉=-；，

所以向量a在向量6上的投影向量为-另，#)=(-*¥).

故选：D

8.已知长方体ABCD-AB'CZ)'中，AB=3,BC=4,AA'=5,BP=ABC',若A'PJLBC',贝IJ2=()

1c16-25-25

AA.~B.—C.—D.—

2254134

【答案】c

【分析】以。为坐标原点，OA所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空

间直角坐标系，设P(a,4C),求出8尸,718c的坐标，利用BP=2BC；得p坐标，然后利用A'P_LBC'可

得2.

【详解】以。为坐标原点，D4所在直线为X轴，0c所在直线为y轴，所在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，则A'（4,0,5）,B（4,3,0）,C'（0,3,5）,设P（“也c）,

则BP=（a-42一3,c）,/IBC'=4（-4,0,5）=（-44,0,5义）.BP=ABC'，

a—4=—42«=4-42

解得卜

"3=0=3

c=52c=52

・・・P（4-4A,3,52）,

/.AP=（-443,54-5）,

..25

A'PLBC,...AP•8C'=164+254-25=0，解得4=.

41

故选：C.

二、多选题

9.已知|复数z=a+(a+l)i(awR),则()

A.若zeR,则a=-l

B.若z是纯虚数，则a=0

C.若a=1,则彳=1+2i

D.若a=3,则忖=5

【答案】ABD

【分析】根据复数的概念判断A、B,根据共轨复数判断C,根据复数的模判断D.

【详解】因为z=a+(a+l)i(aeR),

对于A：若ZGR,则a+l=0,解得a=-l,故A正确;

对于B：若z是纯虚数,则;解得故B正确:

对于C：若。=1,则z=l+2i,所以]=l-2i，故C错误；

对于D：若。=3,则z=3+4i,所以忖=，32+42=5,故D正确；

故选：ABD

10.已知空间单位向量PA，PB-PC两两夹角均为60,PA=2PE，BC=2BF，则下列说法中正

确的是（）

A.P、A、B、C四点可以共面

B.PA（BC+AC）=-^

c"叶孝

D.cos^AF,CF^=—

【答案】BC

【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A,根据数量积的运算律即可求解B,根据模

长的计算公式即可判断C,根据夹角公式即可求解D.

【详解】由于单位向量PA,PB，PC两两夹角均为60,

所以PAPB=PAPC=PCP8=lxlxcos60=-,

2

假设P、A、B、C四点可以共面，则共面，

所以存在x,y,使得PA=xPB+yPC,分别用以，PB，PC与必=xPB+yPC点乘，

11

1=-X+—V

22

则g=,由于该方程组无解，所以不存在孤儿使得PAPB/C共面，

11

—=—x+y

[22

故P、A、8、。四点不共面，故A错误，

对于B,PA（BC+AC）=PA（PC-PB+PC-PA）=PA（2PC-PB-PAj=l-^-1=-^MB正确,

对于C,由PA=2PE得

PC+PR

由BC=2BF得PC-PB=2PF-2PB=PF=-...........

b,、，PC+PB-PAI\pc+PB-pA1r-------

所以EF=PF-PE=-----------，则nil归l目='------------=；4PC+PB

-^PC2+Plf+P^+2PC-PB-2PC-PA-2PA-PB

='jl+l+l+1-1-1=也，故C正确;

22

,-X,1C1

对干DPC+PB-2PA(PC+PB-2PA\'PC[+丁2x,j

灯JD，"=PF-PA=--------------------』=——2——2.=--

2224

故cos（AF,CP）＜0,故D错误,

故选：BC.

11.一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.从袋中随机摸球两

次，每次摸出1个球，设事件A=”第一次摸出球的标号小于3"，事件8="第二次摸出球的标号小于

3”，则以下结论错误的有（）

A.若摸球方式为有放回摸球，则A与否互斥

B.若摸球方式为有放回摸球，则A与否相互独立

C.若摸球方式为不放回摸球，则A与百互斥

D.若摸球方式为不放回摸球，则A与否相互独立

【答案】ACD

【分析】以X、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以（x,y）为一个基本事件，列举出所有的基

本事件，以及事件A、豆、A豆所包含的基本事件，利用互斥事件以及独立事件的定义逐项判断，即

可得出合适的选项.

【详解】以X、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以（X,y）为一个基本事件.

对于AB选项，若摸球方式为有放回摸球，则所有的基本事件个数为42=16个，

事件A包含的基本事件有：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）,共8种,

事件后包含的基本事件有：（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,3）、（3,4）、（4,3）、（4,4）,共8种,

则事件A百包含的基本事件有：。，3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）,则4「豆.0,

即A与百不互斥，A错，

P（4）=P⑻=.=g,P（A同=\=P（4）P⑻，即A与互相互独立，B对；

对于CD选项，若摸球方式为不放回摸球，则所有的基本事件有：。,2）、（1,3）、（1,4）、

（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）,共12种，

事件A包含的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）,共6种，

事件后包含的基本事件有：（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）、（4,3）,共6种，

事件包含的基本事件有：。,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）,共4种，

则4B^0,即A与万不互斥，C错，

P（A）=P⑻=^1=g,网施）=W=P（A）P⑻，即A与否不相互独立，D错.

故选：ACD.

12.如图所示，棱长为1的正方体ABCO-AAGA中，点尸为线段A乃上的动点（不含端点），则

下列结论正确的是（）.

A.平面RAPJ■平面A4P

B.三棱锥用-RPC的体积为g

C.APDC,=1

D.DCtlDtP

【答案】ACD

【分析】以。为原点，OAOCDR所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标

运算，逐项判断即可.

【详解】如图，以。为原点，力人。。,。口所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),c(o,1,0),R(0,0,1),A(1,0,1),片(1,1,1)6(0,1,1)

对于A,连接£>G，因为力必，平面AABq,尸€平面4488_所以〃A=(1,0,0)是平面AAP的

一个法向量，

又0G=(O,I,I)，AA=(I，O,O)，AB=(O，I，T)，所以3=O,OC/AB=O,则

£>G_L£>A£)G"8,

又。4门48=4,44,48<2平面。4P，所以。G，平面D/P

则。G=（o」,i）是平面RA。的一个法向量，又QA-OG=0,

所以平面RAP，平面AMP,故A正确；

对于B,连接AC,因为AC=（0,l,-l）,A5=（0,l,-l）,所以。C=A8,则2C〃A8,又RCu平

面用。C,ABu平面4RC，所以AB//平面8QC,

点P在线段AB上的动点，，点P到平面BRC的距离即点A到平面BQC的距离d,

设平面ARC的法向量为〃=(x,y,z),又£>C=(0,l,-l),D]BI=(1,1,0)

n-D,C=y-z=0fy=zz

则,=,令z=l,所以〃=(—1,1,1)

n-DlBl=x+y=0[x=_y

又A4=(i,o,o),所以距离u=0客1=卜1+；+01=立,

\n\J33

在▲BQ。中BQI==RC=亚,所以-3QC为正三角形

=—XX

VponC—V.§口。=DC,—^2Xy/O,X^—X^—=—,故B不正确；

r~D\U^/ij_4>|1Z]C34iO|L/|C32236

对于c,点尸为线段AB上的动点（不含端点），则设AP=义4氏/1€（0,1）

所以AP=A4,+42=9+/143=（0,0,-1）+2（0,1,-1）=（0,41-2），DC,=（0,1,1）

则=0+/1+1-/1=1,故C正确；

对于D,因为£>G=（0,1,1）,AP=AA+AP=（I，O，°）+4（°，I，T）=（I，Z—2），所以

0GAp=0+4—2=0,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.某学校高一男生、女生的人数之比为4:5,现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若

样本中男生的平均身高为171cm,女生的平均身高为160.2cm,则该校高一学生平均身高的估计值

为(单位：cm).

【答案】165

【分析】利用平均数的求法即可得解.

【详解】依题意，设样本中高一男生人数为4x,则样本中高一女生的人数为5x,

故4x+5x=90,解得x=l(),则样本中高一男生人数为40,高一女生的人数为50,

所以样本中高一学生平均身图为---------------=165cm,

故而该校高一学生平均身高的估计值为165cm.

故答案为：165.

2

14.如图，在ABC中，已知A3=2,AC=3,ZBAC=60,"是BC的中点，AN=gAC,设4M

与BN相交于点P,则cos/MPN=.

【分析】用AB和AC表示AM和BN，根据cos/WW=cos<AA/,8N>以及AB=2,AC=3,

ABAC=60,可求出结果.

【详解】因为〃是8C的中点，所以AM=(AB+tAC,

22

\AM|=-|AB|2+-|4C|2+-|AB||AC|-cos60

442

1+2+L2x3」=晅

4222

22

因为AN=±AC,BN=AN-AB=-AC-AB,

33

|BN|=#AC-ABj=^|AC|2+|AB|2-||AC||AB|xi

h4r

=J-X9+4——x3x2x-=2,

V932

所以

AjBN=（〈AB+：Ac].佶AC-痴=:|AB『+JACTAB||AC忌

I，，，723o2

八

=——1x4.+-1x9——1x2cx3cx—1=—1,

23622

AM•BN5>/?9

所以cosNMPN=cos<AM,BN>=---------------=—f==.

\AM\-BN\川9”38

-----xz.

2

故答案为：Y叵

38

15.已知四棱锥P-ABC£＞的底面ABCD是矩形，侧面PAO为等边三角形，平面尸49,平面A8C£＞,

其中4)=2,A8=3,则四棱锥尸-A3CD的外接球表面积为.

【答案】节43兀

【分析】设二24。外接圆的圆心为Q,外接球球心为。，先分别求得外接圆的半径与0。，

再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解.

【详解】记4。的中点为连接尸£A8cS=E,连接EF,

设二皿＞外接圆的圆心为。一半径为「，所求外接球球心为。，半径为R，连接。O「OE,如图,

=3x2x2=迈,

233

因为.%£＞为等边三角形，尸是4。的中点，所以PFJ_AO,

因为平面P/W_L平面48CD,平面幺。c平面A8CD=A。/尸匚平面玄。,

所以「尸，平面ABC。，

因为底面ABC。是矩形，所以E是底面A2CQ外接圆的圆心,

故OE_L平面ABC。，所以PF0E,

同理。。1〃£尸，所以四边形。0尸£是矩形,

13

所以00I=EF=—AB=5,

所以球0的半径穴2=

所以外接球的表面积为s=4n六=羊.

故答案为：节437r.

四、双空题

16.已知空间直角坐标系O-xyz中，过点/%,为*。)，且一个法向量为〃=(4力,C)的平面a的方程

为4(万-/)+/，-%)+«2-2°)=0.用以上知识解决下面问题：已知平面a的方程为

x+2y—2z+l=0,直线/是两个平面x-y+3=0与x—2z—1=0的交线，试写出直线/的一个方向向

量为,直线/与平面a所成角的正弦值为.

【答案】(2,2,1)1

【分析】由题意可得平面a的法向量，同理可得平面x-y+3=0的法向量以及x-2z-1=0的法向量,

根据已知可知直线/与这两个法向量垂直，可设直线/的方向向量为机=(x,y,z),即得方程组求得直

线/的一个方向向量；继而利用向量的夹角公式可求得直线/与平面a所成角的余弦值.

【详解】平面a的方程为x+2y-2z+l=0,可得平面a的法向量为〃=(1,2,-2),

平面x-y+3=0的法向量为肛=(l,-l,0),x-2z-l=0的法向量为用=(1,0,-2),

m•网=0x-y=0

设直线/的方向向量为加=(x,y,z),贝।卜即

mm2=0x-2z=0

令z=l则取机=(2,2,1),

设直线/与平面a所成角6,0<0<90,

则sine=Jcos(w)=44

79x799

故答案为：(2,2,1)；

五、解答题

17.设x,yeR,向量”=b=c=(2,T,2),且°_1_匕，b//c-

⑴求卜+0;

(2)求向量〃+〃与2。+8-c夹角的大小.

【答案】⑴3

【分析】根据空间向量垂直和平行的性质，求出小y,进而求出向量〃和b,再进行相应运算即可.

【详解】(1)由题意，Q_L6，bile、

卜+y+i=°rx=i

可得L'_L,解得八一2'

12-42U

则a=(l,l/)，/>=(1,-2,1),所以。+8=(2,—1,2),

故卜+“衣+㈢八2?=3.

(2)因为2々+尻c=(1,4,1),

所以(。+»?(2。b・c)=2?1(-1)?42?10,

TT

故向量a+6与2a+6-c的夹角为万.

18.在平面直角坐标系xQy中，。为坐标原点，已知点4(3,4),8(-2,2),且四边形。4BC是平行四

边形.

⑴求点c的坐标及|AC|；

⑵若点P为直线。8上的动点，求PA•PC的最小值.

【答案】⑴c(—5,-2),kq=io.

(2)-25

【分析】Q)04BC是平行四边形，利用OC=AB求出点C的坐标，可得AC的坐标及卜。|

(2)设点P的坐标，表示出P4PC，结合函数思想求最小值.

设C点坐标为(x,y),则OC=(x,y),AB=(-5,-2),

因为四边形0U5C是平行四边形，0C=A8,则有［、二_2,所以“一5,-2),

可得AC=(-8,-6),,4=10.

(2)由题意直线OB的方程为〉=-x,设P(a,一«),

则PA=(3—a,4+a),PC=(-5-a,-2+«),

所以PA.PC=(3-a)(-5-a)+(4+a)(-2+a)=2/+4a-23=2(a+l)2-25,

故当。=一1,点P坐标为(-L1)时，尸A.PC取得最小值-25.

19.某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取了100名参保群众，

就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评

分值(百分制)按照［50,60),［60,70),,［90,100］分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

一频率

W

0.035-----------------1-

0.030----------------------------

X------------------------------1.

0.010---------------------------------

0.005-------I-I

-AA!~~~~------->

0506070809010°满意度评分值(分)

(1)求图中X的值；

(2)求这组数据的中位数；

⑶已知满意度评分值在［80,90)内的男生数与女生数的比为3:2,若在满意度评分值为［80,90)的人中

按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.

【答案】⑴0.02

【分析】(1)利用频率之和为1求解即可；

(2)先判断中位数所在区间，再利用中位数的定义列式求解即可；

(3)先利用分层抽样确定男女生人数，再利用列举法与古典概型的概率公式求解即可.

【详解】(1)依题意，W(O.OO5+x+0.035+0.030+0.01)x10=1,解得x=0.02；

(2)因为(0.(X)5+().()2)xl()=().25<().5,0.25+0.035*10=0.6>0.5,

所以中位数在［70,80)间，设为加，

,540

则0.25+(/n-70)x().035=0.5,解得m=—.

(3)依题意，因为满意度评分值在［80,90)的男生数与女生数的比为3:2,

按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人,依次分别记为A,4,A,,稣约,

对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：A4,A4,4与，入约，44,4片，\B2,A^,

4约，共件，

BIB2,IO

设“前2人均为男生”为事件A,其包含的基本事件有：A4,AA，&A，共3个，

所以尸(力=正.

20.图①是由矩形ADE8,RtzXMC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中A8=l,BE=BF=2,

/。86=60。.将其沿48,BC折起使得BE与BF重合，连接。G,如图②.

图①图②

(1)证明：平面ABC1平面BCGE；

⑵证明：£心〃平面4BC；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)通过证明431平面BCGE来证得平面A8C2平面5CGE.

(2)通过证明AC〃Z)G或平面OEG〃平面A6C来证得ZX7〃平面ABC.

【详解】(1)由题意知AB1BC,BEBC=B,BE,BCc^BCGE,

所以AB工平面BCGE,

又ABu平面ABC,所以平面43c2平面BCGE.

(2)法一：由题意可知"W3E,AD=EB,CGIIBE,CG=BE,

所以A£>〃CG,AD^CG,所以四边形ACGO为平行四边形，所以AC〃/)G,

又ACu平面ABC,Z)G<z平面ABC,所以Z)G〃平面ABC.

法二：因为ED//AB,43u平面ABC,即0平面4BC,所以E£>〃平面ABC,

EG!IBC,BCu平面43C,EG0平面ABC,所以EG//平面ABC,

EDEG=E,ED,EGu平面EDG,

所以平面DEG〃平面ABC,又。Gu平面。EG,所以。G〃平面ABC.

21.如图，在底面是矩形的四棱锥尸—ABCD中，尸A_L平面ABC£>,PA=AB=2,BC=4,E是P£)

的中点.

B'--------------------

(1)求证：C0_L平面PAO；

(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值;

(3)求B点到平面EAC的距离.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得C£>_L平面PAO；

(2)利用向量法求得平面E4C与平面AC。夹角的余弦值；

(3)利用向量法求得8点到平面E4C的距离.

【详解】(1)因为PAJ■平面ABC。，A8,A0u平面A8CD,所以叫，,

由于四边形A8CE>是矩形，所以

由此，以A为坐标原点，A8,AD,AP所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2)；

所以AB=(2,0,0),A。=(0,4,0),AP=(0,0,2),CO=(-2,0,0),

因为CO-AD=0，所以C0_LA。，

由于CO-AP=0，所以C£>_LAP,

由于AOAP=A,AP,APu平面PA。，

所以C£)_L平面PAO；

(2)设平面ACE的法向量”=(x,y,z),

n-AE=02y+l=0

则,即

n-AC=0|2x+2y=0n

不妨令x=l河得”=(L-g,D,

且AP=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量,

nAP2

于是cos(〃・AP

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