2023届黑龙江省哈尔滨市某中学校高三年级上册期中数学试题

2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三上学期期中数学试题

一、单选题

3r

1.设xeR,则“设+4x—12<0”是"—"<1"的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要

【答案】A

3r

【分析】解不等式》2+4》-12<0和吕<1,判断它们的解集之间的包含关系，由此可得答案.

x+6

【详解】解不等式》2+4》一12<0可得-6<x<2,

l<0,.-.2(V-3)<0,即(x-3)(x+6)<0,r.-6<x<3,

x+6x+6x+6

由于(-6,2)(-6,3),故"+4x_i2<0”是“二<「’的充分不必要条件，

x+6

故选:A.

2.已知复数2=,一立i,5表示z的共拆复数，则z?+2=()

22

A.1B.0C.框iD.-Gi

【答案】B

【分析】根据共钝复数的概念及复数代数形式的运算法则计算即可.

【详解】解：由z」-3i得

22

13

Z+

22i,

1避

=16八

2-2

22

故

运B.

3.在直三棱柱ABC-ABC中，AB=6,8c=8,AC=1O,M=3,则该三棱柱内能放置的最大

球的表面积为()

A.25TIB.24KC.16KD.9兀

【答案】D

【分析】先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径/，易得r=2,又r>回，可得该三

2

棱柱内能放置的最大球半径为T,最后由球的表面积计算公式计算即可.

【详解】先不考虑棱柱的高将球放入棱柱内，则球的半径为底面三角形内切圆的半径，

•.•底面三角形的边长分别为6、8、10,

底面三角形为直角三角形，

_|AB|+|BC|-|AC|_6+8-10_o

r—--------------=--------=2,

22

3

又•.•|A4j=3,2>-,

；•该三棱柱内能放置的最大球半径为g,

此时球的表面积S=4n:x(g)=9兀.

故选：D.

4.已知A,B,C,。在同一平面上，其中8C=，BO=6,若点B,C,。均在面积为36万的圆上，

2

则(AB_AC〉(B4_£)A)=()

A.36B.-36C.18D.-18

【答案】B

【分析】根据圆的面积得到圆的半径，结合BC,3D的长度求出BC,8。所成的角为60。，进而利用向

量的减法及数量积公式进行求解.

【详解】依题意可知：圆的半径为6,设圆心为O,

因为8c=:8。=6,所以8。为圆的直径，

2

因为8C=6,则一8co为等边三角形，所以BC,B。所成的角为60。,

则CaBD所成的角为120。,

所以(48-AC)^BA-DA)=CB.BD=口耳卜4cos120°=-36,

故选：B.

71(。>0)在区间(-g,oj上恰有唯一对称轴，则。的取值范围为()

5.若函数y=cosCDX-\--

6

JL1]_7J_7

A.B.C.D.JZ

2523,63,3292

【答案】D

【分析】根据COSX的对称轴对应函数值为±1,表示出X,一?，oj上只有一个X即可.

71

【详解】依题意兀6

cosl+—I=±1,+—=fal,x=------GZ

6(0

J_7

在区间层,0J上恰有唯一对称轴,k=0,69€

co2,2

keZ

故选：D

6.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自

上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔数成公差

不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8,则第11层的塔数为（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】A

【分析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，4。，设出公差d,根据题意得即>=10+194,

又d>0,且dsN",故只能d=2满足，进而可得答案.

【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：4，4，，4。，由已知得，该等差数列为递增数列，

因为剩下两层的塔数之和为8,故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔

数必为」;

故北+4°）=108-8=100,4+须=20①；

2

又由4（）-4=9〃②，d>0,且dwN”，所以，

①+②得，2q。=20+9",得/=10+：〃，

由4+4O=2O知4（,<20,

又因为须eN，,观察答案，当且仅当d=2时，囚。满足条件，所以，%=19：

组成等差数列的塔数为：1,3,5,1,9,11,13,15,17,19；

剩下两层的塔数之和为8,只能为2,6.

所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：

1,2,3,5,6,7,9,11,13,15,17,19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足

题意，则第11层的塔数为17.

故答案选：A

7.如图，正方体4BC£>-ABCa的棱长为1,尸为AA的中点，M在侧面44与8上，若RMLCP,

则■RA"面积的最小值为()

A.立B.立C.@D.75

15105

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得AM=(O,y,2y-2),

进而结合二次函数性质求得.=2叵，利用三角形面积公式，即可求得答案.

I1Imin5

【详解】以点。为空间直角坐标系的原点，分别以D4，DC,所在直线为x,y,z轴，建立

空间直角坐标系，

则点M(l,y,z),O”,zVl,D,(0,0,1),所以。阳=(l,y,z-l).

因为C(0,l,0),?(1，0，£|，所以=

因为〃A/_LCP,所以l-y+；(z-l)=0,所以z=2y-l.

因为A(1,0,1)，所以AM=(O,y,2y-2),

所以|=西+(23，_2)2=J5y2_8y+4，因为04y41,

所以当y时，同时/=平.

因为正方体中，2A，平面A88/,AMu平面ABB/,故,

所以=—xlx^^.=—,

ADM

\\\7min255

故选：c.

8.已知〃x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且/(x)+g(x)=e',若关于x的不等式

27(力-咫2(司20在(0,1113)上恒成立，则正实数a的取值范围是()

A.£'+00)B.[0,+8)C.1D.

【答案】D

【分析】由奇偶性求得了(x),g(x)的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为“4萼士W，设

(e-exy

e，+e-x=f,换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得。的范围.

【详解】因为/(x),g(x)分别为R上的偶函数和奇函数,/(x)+g(x)=e*①,

所以〃-x)+g(-x)=葭,即-g(尤)=e-x②,

联立①②可解得/(x)=W二，g(x)=aj,

所以不等式2/(x)-跖2⑴20可化为e*+尸_“.(三二))>0,

因为x«0,ln3),则e=e-jO,故〃气』

<4_4

设e'+e-'f,则(/-「)2=伍'+6-*)2-4=--4,故"‘7^=下，

t

因为，=e'+eT,xe(O,ln3),所以/=

故/=^+6-在(O」n3)上是增函数，则

4(10、4324>—

又因为y=f，在小2时是增函数，所以则48.

tk3；t15f~~

因为a4：；］；：；)在x«(),ln3)恒成立,所以

所以正实数a的取值范围是(O.T-

故选：D.

二、多选题

9.已知一ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c且NC=1,c=3.则下列结论正确的是

()

A.ABC面积的最大值为36B.ACA8的最大值为

C.AcosA+acosB=3D.ABC周长的最大值为9

【答案】CD

【分析】对A选项，根据余弦定理建立关系，使用基本不等式求出时的最大值；

对B选项，用正弦定理及三角恒等变换得ACAB=36sin(2A+60)+¥)求最值；

对C选项，使用余弦定理将cosAcos8化为边后整理即可；

对D选项，根据A选项中“8关系，使用基本不等式求出a+力的最大值.

【详解】对A选项，•••NC=工,c=3,..cosC=-=a2+fc2-9,

322ab

...(必+9="+62..246当且仅当。=。=3时，取得等号,

：•ab,,9,，SABC=力sinC=^-abW所以A选项不正确；

对B选项，由正弦定理得一^二三^-4^,所以8=2百sinB

sinBsinCsin60

所以AC-AB=3/?cosA=65/3sinBcosA=6\/3sin(A+60jcosA

所以当A=15时，AC-AB的最大值为3人+|,故B不正确；

.22222r22

对C选项，*.*hcosA+acosB=b———~-+a-a+C-------==c=3,所以C选项正确；

2bc2ac2c

对D选项，由人选项的分析知.2+62=,由+9,；.(4+勿2-9=3油43［二2),当且仅当a=6=3时,

取得等号,「•(。+力2领B6,。+力6,

又c=3，•二ABC周长。+匕+G,9,所以D选项正确；

故选：CD

10.下列说法正确的是()

A.RR>y|y|是x3>V的充要条件

B.正数x,y满足x+y=2,则雪々的最小值是?

xy+13

C.-43c中，角A,B,C对应边分别为a,b,C,则cos2A<cos2B是的充要条件

D.若x>0,y>(),x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是2

【答案】ABC

【分析】对于A：根据/(x)=x|x|及g(x)=V单调性判断；

对于B：使用基本不等式“I”的代换求解；

对于C：使用倍角公式化简cos2A<cos28,再用正弦定理边角互化得证；

对于D：使用基本不等式转化可证得结论.

>X2>0

【详解】对于A：/(x)=x|x|=('c及g(x)=/在R上均为增函数，

所以>y|y|等价于/(x)>f(y)等价于x>y,

x3>V等价于g(x)>g(y)等价于x>y,

故是V>_/的充要条件，所以A正确；

$10+2严二卫］弋，当且仅当x=1,y=：时取等号；故B正确；

31Yxy+1)344

对于CABC中,由cos2A<cos25得l-2sin2Avl-Zsi/B,由sinA>0,sin8>0得sinA>sinB,

由正弦定理工=—二得。>人，

sinAsinB

以上关系均可逆，故cos2A<cos28是的充要条件，故C正确；

对于D：由x+2y+2肛=8得8=x+2y+x<2y)Vx+2y+(史f),解得x+2y24,当且仅当

x=2,y=l时取得等号，故D错误；

故选：ABC

11.已知圆锥O尸的底面半径「=百，侧面积为6兀，内切球的球心为Q,外接球的球心为。2,则下

列说法正确的是()

A.外接球。2的表面积为16兀

B.设内切球01的半径为弓，外接球仪的半径为々，则々=24

C.过点P作平面a截圆锥OP的截面面积的最大值为2

D.设母线尸8中点为从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为历

【答案】ABD

【分析】易知，圆锥轴截面％8为等边三角形，该三角形的内切圆半径与外接圆的半径即为圆锥OP

的内切球半径和外接球半径，求出即可判断A、B项；由dPAB为等边三角形，可知过点P作平面。

截圆锥OP的截面中，面积最大的截面即为右上钻,即可判断C项；将圆锥侧面沿A处剪开，连结AM

即为最小值，可得到D项.

【详解】设母线长为/,侧面积为近=&兀/=6兀，所以/=26.

所以/=2r,_PAB为等边三角形.

则圆锥的轴截面的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径,

如图1

图1

设内切球。1的半径为4,外接球。2的半径为4，

贝ISVMH=；4(PA+A8+PB)=gX6岛=3氐,

又SVPAB=；PA.ABsinZPAB=gx(2国x卓=3班，

所以，4=1.

由正弦定理可得，在工上48中，.腿…=21即2"=访=4,则=2

sinNPAB—

2

所以，外接球。2的表面积为4兀4=16兀，A正确.

因为，4=1，2=2,所以4=24,B项正确.

显然，过点P作平面。截圆锥。尸的截面均为腰长为2道等腰三角形，如图2,在底面圆上任取一点

7T

C,易知=

所以，SACP<SABP=3j3,即最大面积为36，c项错误.

图2

将圆锥侧面沿24剪开，得到的扇形的半径式=/=26，弧长4=2口=26兀，

则扇形的圆心角。=4=蜂=兀，如图3所示.

R25/3

图3

连结AM,即为最近路线，在RtAAPM中，有PA=R=2也,PM=；PB=®

所以，AM=JPA，+PA/2=#可+(可=岳，D项正确.

故选：ABD.

12.已知函数/(x)=2lnx-a?则下列结论正确的有()

A.当a=l时，％=1是y=/(x)的极值点

B.当。时,y(x)<o恒成立

e

C.当时，y=〃x)有2个零点

D.若不与是关于x的方程f(x)=O的2个不等实数根，则

【答案】ABD

【分析】对于A,代入。=1后对〃x)求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B,构造函

数g(x)=等(x>0),利用导数求得8(力皿=*，从而可证得〃x)<0；对于C,举反例排除即可;

对于D,利用极值点偏移的证明方法即可证得玉飞>e.

【详解】对于A,当a=l时，/(x)=21nx-x2(x>0),则/(x)=Z-2x=2(1)

X

令盟x)>0,得0<xvl；令/(x)<0,得x>l；

所以〃x)在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，

所以x=l是y=〃x)的极大值点，故A正确；

对于B,令〃x)=21nx-a?=0,得电。

i一■x2—2xInx.ci

令g(x)=n^r(x>0)，则8(同=工厂”一匕誓,

(打X

令g，(x)=0,解得x=6

故当xe(0,6)，g[x)>0,g(x)单调递增；当xe(五,+8),g,(x)<0,g(x)单调递减；

所以g(x)m「g(五)=(,

因为所以故£>牛，整理得21nx-加<0,即/(“<0恒成立，故B正确；

对于C,令a=。,则〃x)=21nx,令〃x)=0,解得x=l,故y=〃x)只有1个零点，故C错误;

对于D,因为不莅是关于x的方程/(x)=0的2个不等实数根，

22

而I、121nxi—⑪;=0Jinx,-ar,

所以)c12八，即)12o，

21nx2_奴2=°[lnx2=ax2

所以问题等价于Ini="有两个零点44，证明“2>e?,

[inr.=at.Inr,一Inr,

不妨设%>”0,则由J得到〃=:,

[lnz2=at24r

要证格>©2,只需要证明ln4+ln%>2,

即只需证明：Ina+\nt2=a(tx+%)=(%+幻当~警*>2,

2pLI

只需证明：ln「ln“2」一幻,即_Z,

…2t2£+]

t2

令m=G>1,

*2

只需证明：—―(77?>1)>

加+1

令s(相)=ln机-----(m>1),

m+1

则s'(m)=0、,＞0,即s在(1,+00)上单调递增，

/n(/n+1)

又S(l)=0,所以S(机)＞S⑴=0,即1!!机＞也三?(机＞0恒成立，

综上所述，原不等式成立，即为々＞e成立，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后

构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类

讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

三、填空题

13.已知向量0=(-1,2),向量6=(-3,4),则向量a在b方向上的投影向量为.

【答案】(-石青

【分析】先求出向量a在b方向上的投影，再求出与A同向的单位向量，进而求出向量a在方方向上的

投影向量.

【详解】由题意，忖=5,向量°在6方向上的投影为：=—=则与〃同向的单位向量为

(-■|，，)，所以向量a在8方向上的投影向量为：=

3344

故答案为：.

14.在平行四边形ABC。中，点E满足£)E=3EC，连接AE并延长交8c的延长线于点凡

AF^^AB+a^AD,若数列｛a,,｝是等差数列，其前"项和为S“，则$2022=.

【答案】2359

【分析】先根据分解定理求出4,。2期的值，然后再根据等差数列的求和公式求出Szg.

【详解】DE=3EC,AE延长交3c的延长线于点尸，」.IEC/^EDA,f:.CF=^AD,

--44

AF=AB+BF=AB+—AD,/.4=1,^?O22=—

故答案为：2359

15.已知正四棱锥P-A5CD的底面长为6,高为4,若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球

心到四棱锥侧面的距离为.

【答案吗

【分析】根据正四棱锥的性质，作出高，则外接球球心在高上，运用勾股定理可以求出外接球半径,

然后再根据正弦定理求出侧面的外接圆半径即可求得.

【详解】底面中心为G,连尸G,球心。在射线PG上，连OG,AC,8c中点为瓦连依

底面长为6,高为4,AG=3厄AP=7AG、PG?=4=PB,

17

一AOG中，R2=AG2+(4-R)2,R=—,

4

△PBE中，PE=yJPB2-BE2=5,.-.sinZPBC=后,

PC南3417

由正弦定理.PBC外接圆半径：“sin/FBC一历一二"一1"

收

故答案为：石

16.已知函数"X)=lnx-J直线y=是曲线y=/(x)的一条切线，则加+2”的取值范围是

【答案】[-21n2-4,”)

【分析】设切点为P(rJ。))，由导数的几何意义求出切线方程，可把加、〃用r表示，从而“+2〃可

表示为关于，的函数，再引入新函数，由导数求得函数的值域即得

【详解】由/(x)=lnx_,x>0可得r(x)=—+5，

设切点为网寸⑺)，则左=/(。=；+：,

所以曲线y=/(x)在切点处的切线方程为y-/(r)=r⑺(XT),

整理得y=(：+3)x+lnf-：-l,

11(2、13

所以加+2〃=一+-y+2[lnf----1I=—+21nt----2,

令g(x)=!+21nx-3-2(x>0),则g，(x)=_W+Z+2=2'2+：x2,

XXXXXX

令g'(x)=0,解得x=；,

当0<x<g时，g,(x)<0,g(x)单调递减；

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

故g(x)mi„=g(£|=-21n2-4,

则加+2〃的取值范围是［-21n2—4,+00),

故答案为：卜21n2-4,+«))

四、解答题

17.已知，ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,acosB=A,A=:,h=>/2.

⑴求角B；

(2)求A8C的面积.

【答案】(1)B=J

6

2

【分析】(1)利用正弦定理的边角变换及三角函数的基本关系式得到tanB=立，从而得解；

3

(2)先由三角形内角和性质与正弦的和差公式求得sinC=®^,再由正弦定理求得边。，从而

4

利用三角形面积公式即可得解.

【详解】(1)因为4cos8=J§bsirk4,所以由正弦定理得sinAcosB=Gsin3sinA,

又0<Av兀，所以sinA>0,

所以cosB二esin6,则tanB=,

3

又因为0<3〈兀，所以B=J.

0

（2）由（1）得B=g,又A=『

64

夜6夜1V6+V2

所以sinC=sin（兀一A_8）=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB=―X+X~~=,

22224

由正弦定理得名=，7;，则0=丝牛=白+1,

sinnsinesinn

所以SABC=+=.

18.已知数列｛q｝的各项均为正数的等比数列，％=32,2（%-4）=3%.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

（2）若我=（T）"k>g2%i,求数列｛2｝的前〃项和小.

【答案】（1）4=2"

【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可;

（2）由（1）可得以=（-1）"（2〃-1）,再分类讨论结合分组并项求和法求解即可

a“4=32

【详解】（1）设公比为q（q>0）,由题意得

214-at^=3a}q

4=2

解得

4=2

H2

(2)b.=(-1)"log,^=(-l)log221-'=(-1)"(2«-1)

VI

n

当为偶数时＞T"=瓦+H-----Fbn_x+bn=-1+3—5+7H----1-(277—1)=2x—=/?,

当〃为奇数时，T„=H“=n-l-(2«-l)=-n;

”,=（T）""一

19.在直棱柱ABC-ABg中，AC=BC=AAt=3,ZACB=90°,D,尸分别为棱4片，CG的中点,

E为棱耳G上一点，且A,D,E,尸四点共面.

⑴求田的长；

（2）求三棱锥8-尸的体积.

【答案】（1）C卢=1；

（2）3

【分析】（1）建立空间直角坐标系，由平面向量的共面公式可以求得；（2）将三棱锥8-田的顶

点转换为A可以求得.

以GA，G4，GC为x，%z正半轴建立空间直角坐标系.

A（3,O,3）,mO,|）,设E（O,a,O）,则由题意可知存在唯一实数使得

AE=xAD+yAF即（一3,a,-3）=x（一|,|,-3）+）［-3,0,-|）

所以GE=1

(2)CC,1平面ABC,CC,±AC,

又AC工8C,BCcCQ=C,BCCGu平面BBCC

.•.4。1平面3片。(，即AC_L平面班户

13131

S=3x3--x-x3--x-xl--x2x3=3*,^A-BEF=—X3x3=3

t/>?Lr.r22222

20.已知函数/(x)=6sin[x+E]cos(x+eof兀)

+COSX——.

13j

⑴求函数/(x)的单调递减区间；

⑵若函数〃("=/卜+9-昌-；,济(0,兀),tan^=|,求函数网力在区间O,：上的取值范围.

【答案】(1)]++E«wZ；

OJ

⑵卜-石24」'•

【分析】⑴化简已知得f(x)=sin(2x+^)+1TTTT3冗

解不等式g++一+E,ZeZ即得解；

2262

(2)由题意可知〃(x)=sin(2x+2夕),令2x+2—[2仍。+明,所以

力(x)=g(f)=sinf,f€[2@兀+2勿，再利用三角函数的图象和性质得解.

【详解】(1)解：/(x)=Vsin(2x+/J+gl+cos(2x-g7t]J

/吟1

=sin2x+—+—,

I6j2

令工+2fat<2x+—<—+2k7i,keZ=>—+Z：7t<x<—+kn,keZ

26263

・•・/(X)的单调递减区间为J++E，kwZ

o3

(2)解：由题意可知〃(x)=sin(2x+2e),s«0,兀)，XG[0,^],

令2x+2(p=t,rw[20,兀+20],

所以/z(x)=g(r)=sinf,r€[2e，7t+2e],

兀71nTt八r4兀3兀

因为*«(),兀)，tan夕=：,所以82°w，兀+2*[7,万

6；4i,2

71

，当f=时,g(f)a=g=1,

当f=R+2(p时,g(f)min=g(兀+2。)=­sin2(p=-2sin^cos^.

二,cose=±

由题得sin°

所以g")min=一五

.」(x)在[0,§上的取值范围是一£,1

21.在长方体A8CO-AAGR中，已知钻=45,E为AO的中点.

(1)在线段B|G上是否存在点尸，使得平面AA尸〃平面ECG?若存在，请加以证明；若不存在，请

说明理由；

(2)设AO=2,例=4,点G在叫上且满足偿=8AG，求EG与平面£Z?G所成角的余弦值.

【答案】⑴在线段4G上存在点凡使得平面AAF〃平面ECC-且尸为线段4G中点,证明见解析:

⑵迈

6

【分析】(1)尸为线段4G中点时，平面AAF〃平面ECG，先证明AA〃平面ECG，继而证明

AE//FC,,且AE=FG，从而四边形AEC/是平行四边形，AF//EC,,进而AF//平面ECQ,由

此能证明平面AAF//平面ECC,；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-型，求得相关点坐标，求出平面E8C的法向量,

利用向量法即可求得EG与平面EBC,所成角的余弦值.

【详解】(1)在线段BC上存在点F,使得平面AAF〃平面ECG，且尸为线段BC中点.

证明：在长方体ABC。-A4GA中，4A〃CG，AD//B^,

•••CC|U平面ECG，A41a平面ECG,

...例〃平面ECG，

为AO的中点，尸为B|G的中点，

：.AE//FC,,且AE=FG，

四边形AEC/是平行四边形，.・.A尸〃EG,

•1,EGu平面ECC},AF0平面ECClt：.AFII平面ECC1,

,/AFnAAf-A,ARMu平面AAF,

平面AAF〃平面ECG.

(2)在长方体ABCD-AAG。中，

以。为坐标原点，D4,OC,Z)A所在直线分别x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,

40=2,714,=4,4(2,0,0),E(l,0,0),5(2,2,0),C,(0,2,4),4(2,0,4),

故EG=(-1,2,4)EB=(l,2,0),而=(0,0,4),

fn-EC.=-x+2y+4z=0

设平面EBG的法向量为〃=(x,y,z),则1,

[n•EB=x+2y=0

取x=2,得n=(2,-l,l),

A4,=8AG,设G(%o，yo，Zo),则(0,0,4)=8(%-2,%,z0),

则玉,=2,%=0,2。=3，；.G(2,0,；),EG=(l,0,g),

设EG与平面E8G所成角为“e呜]，

5

・八।/厂—一IEG-H|2v5

则sine=|cos(EG,ri)|==^==—=,

|EG|[〃|5V6

...COS*1分=中-

故EG与平面EBC,所成角的余弦值为限.

6

22.已知函数/(x)=lnx-ox(a为实数).

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)若存在两个不相等的正数演，/满足了(司)=/(々)，求证为+%>’.

⑶若/(x)有两个零点演，/，证明：>2.

1111114)

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)讨论的正负，确定/(x)的单调区间；

1212

(2)极值点偏移问题处理：不妨设0<西<一<々，构造F(x)=/(x)-/(±-x)并证得xe(一,一)时，

aaaa

222

尸(x)>0,可得y(w)>/(三)即/(x,)>,/(--x,),再利用f(x)的单调性可得为与--*2大小关系，

aaa

从而证得结论.

fIn%,-ar.=011x,

(3)由《八两式相减用演，W表示。，将工一+~T—化为只有芭区的关系式，令一=f可转

Inx2-ax2=Qlox