2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 平面向量基本定理和坐标表示（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第01讲集合（精练）

刷真题明导向

一、单选题

1.（2022.全国•统考高考真题）在.ABC中，点。在边A3上,BD=2DA.记CA=〃7,O)=7z,则CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边48上，BD=2DA,所以8O=2ZM，^CD-CB=2(CA-CD],

所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故选:B.

2.（2020.山东・统考高考真题）已知平行四边形ABCD,点、E,厂分别是AB,的中点（如图所示），设AB="，

C.aD.—a+b

2

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结AC,则AC为ABC的中位线,

：.EF^-AC=-a+-b,

222

故选:A

二、双空题

3.（2022.天津・统考高考真题）在一ABC中，CA=a,CB=6,。是AC中点，=22E,试用。涉表示DE为

若ABJ_£>£，则/ACB的最大值为.

71

【答案】

22~6

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以可为基底，表示出47,庞，由可

得3片+/=助也，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点£为原点建立平面直角坐标系，设夙0,0),3(1,0)。3,0),4(%外，由45，。石可得点八的轨迹为以“(-1,0)

为圆心，以厂=2为半径的圆，方程为(X+1)2+/=4,即可根据几何性质可知，当且仅当C4与M相切时，/C最

大，即求出.

【详解】方法一:

31

DE=CE-CD=-b--a9AB=CB-CA=b-a,ABLDE^(3b-a)(b-a)=09

3d+/=4a.bncosNACB=j1j=葡力2寸$=¥，当且仅当同=石忖时取等号，而0<NACB<7t,所

TT

以/ACB£(O,—].

6

31TT

故答案为：-b--a•—.

226

方法二：如图所示，建立坐标系：

F(o,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),DE=(一苫3一，，AB=(l-x,-y),

DE1AB(^)(x-1)+^=0(x+1)2+y2=4,所以点A的轨迹是以M(-l,0)为圆心，以厂=2为半径的圆，当

22'

r21TC

且仅当C4与M相切时，/C最大，此时==：=

CM426

31TT

故答案为：-b--a•

22O

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.已知点40,1)1(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC等于()

A.(-7T)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

【答案】A

【分析】求出AB=(3,1),从而根据BC=AC-A3,即可求出向量8c的坐标.

【详解】由题意，点4(0,1)1(3,2),所以AB=(3,1),

贝!12C=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),

故选:A.

2.已知。为坐标原点，点A(L0),3(3,4),M是线段AB的中点，那么向量的坐标是()

【答案】B

【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解.

【详解】由中点坐标公式可得M(2,2)，所以OM=(2,2),

故选：B

3.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.q=(0,0),e2=(-1,3)B..=(3,-2),e2=(-6,4)

C.ex=(1,2),e2=(2,3)D.=(1,1),e?=(2,2)

【答案】C

【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,q=0,不可以作为基底，A错误；

对于B,6=-；6；,二毋4共线，不可以作为基底，B错误；

对于C,e；与e?为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；

对于D,4=；e；,；w，e2共线，不可以作为基底，D错误.

故选：C

4.己知a=(3,2),b=(3+m,m+\),a=AZ?(AeR),则()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可；

【详解】因为“=M(XeR),所以q//6,

所以2(3+/w)=3(加+1),m=3,

故选：C.

UUUUULUUUU

5.在.ABC中，已知。是A2边上的中点，G是CO的中点，若AG=XA8+〃AC,贝I实数2+M=()

A.—B.—C.—D.1

424

【答案】C

uuir1uuffiHITitur

【分析】根据。是A3边上的中点，G是⑺的中点，得到AD=：A氏CG=；C0,再利用平面向量的线性运算求

22

解.

【详解】解：因为。是A3边上的中点，G是8的中点，

IL1T1UUDUL1T1ULW

所以AO=-A5,CG=—C。，

22

UULTUULTUULFUULT1ULM

所以AG=AC+CG=AC+y

unrizUiirtur、imnniunr

=AC+-(AD-AC)=-AB+-AC,

_UUU.ULUUUUU

又因为AG=XAB+〃AC,

一113

所以4=:,4=7，则％+〃=

424

故选：C

6.6知向量莅=(1,3X),b=(2,7-A),若〃///?,则4=()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果.

【详解】因为G//Z?,所以2x32=7-4,解得4=1.

故选:A

7.如图，在△045中，尸为线段A3上的一点，且R4=4PA-^OP=xOA+yOB,则()

B

c21

B.%二一y=一

33

13

D.x=—

4

【答案】A

【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.

【详解】因为&1=4%，所以有。4一。8=4（。4-OP）,

31

整理可得"=一。4+—

44

故选：A.

8.在梯形ABCD中，若AB=2DC,^AC=xAB+yAD,则%+V=（）

35

A.—B.2C.—D.3

22

【答案】A

【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.

【详解】由题意，AB=2DC=2AC-2AD,化简得AC=gAB+AD,

13

即x=j，y=l，贝（Jx+y=3，

故选：A.

9.已知从尸分别为四边形ABC。的边C。、3C边上的中点，设=BA=b，贝IJM=（）

1rr1

A.—（。+人）B.—（tz+b）

22

C.—（tz—6）D.—（/?—<2）

【答案】B

【分析】先判断所为△CD5的中位线，可得E/=^=；（AB-AD）,化简可得结论.

【详解】如图所示：

VE,F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，故跖为的中位线,

贝！IEb=T=AB-AD）=+匕）.

故选：B.

10.平行四边形ABCD中，点M在边A3上，AM=3MB,记C4=a,CM=b,则AO=（）

3333

7414

C.—b——aD.—a——b

3333

【答案】D

【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.

【详解】在YABCD中，AM=3MB,CA=a,CM=b,

1一1—-.-14

所以AO=BC=8M+MC=3M4_CM=］（CA_CM）_CM=ga_§6.

故选：D

11.在正六边形ABCDEF中，ED与CE相交于点G,没FG=p,CG=q,则BC=（）

122111

A.+B.~P+~qC.p+-qD.-p+q

乙JJ乙乙乙

【答案】C

【分析】根据题意，由平面向量基本定理表示出GE，即可得到结果.

如图，连接CF,

因为ABCDE尸为正六边形，所以CF//DE,CF=2DE,

所以GE=gcG=；q,所以BC=FE=GE_GP=；g+p.

故选:C

12.已知向量。=«,2),6=(1,"1),贝『"=2"是“小/”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量平行的坐标表示，可得1)-2=0,简单计算，可得结果.

【详解】•••：/常，则(I)-2=0—=2或仁T.

.•.当/=2时，2/办命题成立，

反之，当7/了时，1=2不一定成立.

所以“r=2”是“，//尸的充分不必要条件.

故选；A.

13.在_钻。中2石=；"。,2户=3(&1+261),点尸为AK与防的交点，AP=AAB+^iAC,贝1|几一〃=()

A.0B.—C.-D.—

424

【答案】B

11o

【分析】利用平面向量基本定理得到AP=(1-4)A8+]Z:AC,AP^-mAC+-mAB,从而列出方程组，求出太山，

得到2=:,〃=:，求出答案.

24

【详解】因为2尸=；(8A+8C),所以尸为AC中点，

民P,尸三点共线，故可设取=后加，^AP-AB=k(AF-AB),

^^^AP=kAF+(l-k)AB=(l-k)AB+^kAC,

因为8E=gEC,所以AE—A2=；AC-gAE,即AE=gAC+：AB,

三点共线，

(12A12

可得AP=mAE=m\—AC+—ABI=—mAC+—mAB,

2mI,f.I

——=l-kk=—

所以3,9,解得t,

mI,3

—=—km=—

〔32〔4

11III

可得AP=-A8+-AC,贝!|4=—,〃=—,彳一〃=一.

24244

故选：B

14.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它

是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若

BC=a,BA=b,BE=3EF,则3歹=()

A

B.2+N

2525

34,

C.—a+—bD.—a+—b

5555

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.

33

【详解】因为=所以===

33

所以2F=d+CF=&——AE...①,BE=—BF=b+AE...②,

44、一

由①+3x②得：^BF=a+-b,^BF=—a+~b.

41642525

故选：B

15.如图，在.ABC中，BD=2AD,E为C。的中点，设A8=a,AC=b,则AE=（）

32

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.

【详解】由已知得

AE=-（AC+AD]^-AC+-AD^-AC+-x-AB=-b+-a.

2、'2222326

故选：D.

二、多选题

16.已知点A（4,6）,8,3,1）,则下列向量与A5平行的向量是（

B.可切

D.6/=(-7,9)

【答案】ABC

【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可.

【详解】由已知AB=（-7,-皆，

存在实数4=—|,使48=卜7,-||=-|]*3）=-*，

存在实数4=T，使钻=卜7,-|）=-（7,•!）=-〃，

存在实数4='，使"=17，-3=|1?，-3）=},

不存在实数乙，使筋=%〃，

故选：ABC.

17.如图，AB=2AE,AC=3AD,线段8。与CE交于点歹，记AB=a,AC=b,则()

12-

B.DE=——a+—b

23

21

D.AF——a~\—b

51555

【答案】AD

【分析】利用平面向量加法、减法以及数乘的几何意义，结合图形的几何性质，可得答案.

【详解】DE=DA+AE=-a--b,

23

EF=EA+AF=+yO,EC=EA+AC=-^a+b,

设AF=xa+yb9

y(1x>一

,:EF〃EC,：•—1=^9同理+DB=a--b,DF〃DB，­=—

一2~3

联立解得x=£,y=g

故选：AD.

18.如图，在平行四边形ABCD中，E、尸分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（）.

A.EF=^ABB.AD+DC=AB+BC

C.BE=CB-CED.AF=|AD+|AC

【答案】AB

【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.

【详解】选项A：由题意知，E、F分别是8边上的两个三等分点，且即与A5方向相同，则跖=：A8,故A

正确；

选项B：由图可知，AD+DC=AC,AD+DC=AC,所以AD+OC=AB+3C,故B正确；

选项C：CB-CE=EB,所以C错误；

选项D：AFAD+DF=AD+^DC=AD+^AC-AD）^^AD+^AC,故D错误.

故选：AB.

19.已知M为△ABC的重心，。为边3c的中点，则（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC=0

C.BM=^BA+^BDD.AB+AC=2^MB+MC^

【答案】ABC

【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.

【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得MB+MC=2MD，故A正确；

由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以M4=-2MD，

又MB+MC=2MD,所以AM+Affi+MC=O，故B正确；

BM=BA+^AD=BA+j^BD-BA^=^BA+^BD,故C正确；

AB+AC=2AD,MB+MC=2MD,又AD=3MD,所以AB+AC=3（MB+MC）,故D错误.

c

故选：ABC

20.设点M是一ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.AM=-AB+—AC,则点Af是8c的中点

22

B.若AM=-BM+CM，则点〃是ABC的重心

C.^AM=2AB-AC,则点M,B,C三点共线

112

D.若BM=：BC,贝+

【答案】AC

【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及ABC重心的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得AB+AC=AE=2AM，

^AM=^AB+^AC,可得M为8C的中点，所以A正确；

对于B中，若M为ABC的重心，贝!I满足AM+3M+CM=0，

即AM=-3M-CM,所以B不正确；

对于C中，由AM=2A3-AC,可得AM-AB=AB-AC,即BM=CB,

所以M,B,C三点共线，所以C正确；

对于D中，如图（2）所示，由

1171

-^^AM=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC,所以D不正确.

故选：AC.

三、填空题

21.已知方=（2,-3）,b=（O,k）,。与2a+b平行，则实数上的值为.

【答案】0

【分析】首先求出2a+6的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为方=（2,-3）,b=（0,k）,所以2。+6=2（2,-3）+（0㈤=（4,左-6）,

又。与2d+6平行，所以2（k-6）=-3x4,解得左=0.

故答案为：0

22.已知点A（-l,2）,3（2,8）,若向量A8=3AC，则点C的坐标是.

【答案】（0,4）

/、f3x+3=3

【分析】设C（x,y）,根据A5=3AC得至！）一6=6'解得答案.

【详解】设C（2）,AB=3AC，即（3,6）=3（x+l,y-2）=（3x+3,3y—6）,

f3x+3=3[x=0/、

故。A二解得“即点C的坐标是0,4.

[3y—6=6[y=4

故答案为:（0,4）

23.已知meR,三点A（-1,-1）、3（1,3）、共线，则y.

【答案】1

【分析】求出向量AB、AC的坐标，分析可知荒〃浅，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数，的值.

【详解】因为%eR,三点A（T,-1）、川1,3）、C（私29+。共线,则那〃浅，

ULIU

且AB=（2,4）,AC=（m+l,2m+Z+l）,

所以，2（2帆+/+1）=4（%+1）,解得仁1.故答案为：1.

24.如图，在中，。是A3的中点，石是延长线上一点，且BE=2BC,用向量C4、C5表示

DE._________________

一3一1一

【答案】DE^-CB--CA

【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.

【详解】因为BE=2BC,所以C为BE的中点，又D是AB的中点，

所以DE=CE-CD=~CB——fCA+CB)=—CB—CA.

2、>22

31

故答案为：DE=--CB--CA.

25.已知向量。4=(12㈤，03=(5,4),OC=(10,d),若A、B、C三点共线，则氏=.

2

【答案】-j

【分析】计算出AC、AB的坐标，由题意可知荒〃泥，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数人的值.

【详解】已知向量。4=。2水)，03=(5,4),OC^(10,-k),

则45=0台_04=(5,4)-(12,4)=(一7,4_左)，

ACOC-OA(10,-k)-(12,k)^(-2,-2k),

因为A、B、C三点共线，贝！I/〃髅，所以，一7x(-2左)=-2x(4—左)，解得k=1.

2

故答案为：-

26.已知在平行四边形A8CL•中，点E满足筮=2浅，DE=\AB-^-AD,则实数2=____.

44

【答案】7

4

【分析】利用向量的四则运算化简求值.

【详解】如图所示：

一，一一、，一,.、4IUUHUUUI

平仃四边形ABCD中，点E满足AE=2AC，

12

DE=DA+AE=DA+AAC=-AD+^AB+AD^=AAB+(A-1)AD=-AB-^AD,

解得：人;

故答案为：—

4

_____x

27.在/ABC中，点满足:AM=2MC,BN=3NC，^MN=xAB+yAC,则一=.

y

【答案】3

【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到MN=J42+3AC,再利用平面向量基本定理求出％y,即可求出

412

结果.

【详解】因为AM=2MC,BN=3NC，所以初\^二"。+。双=彳240—750二彳240—二(240—245)=7245+二40,

3434412

1ix

故由平面向量基本定理得到，x=jy=A，所以一=3.

412y

故答案为：3.

28.已知ABC的面积为24,点。，E分别在边BC,AC上，且满足CE=3EA，CD=2DB,连接A。，BE交于点、

F,则aAB尸的面积为.

【答案】4

【分析】根据平面向量的线性运算，结合三点共线的结论，即可由比例得面积关系.

13

【详解】由CE=3EA，CD=2DB得BE=:BC七BA,

44

11o□Q4

设8歹=所以一台尸=—20+—朋=-30+—朋？BF—BD+—BA,

X444444

由于4冗。三点共线，所以学+乎=1?X=|,

443

2

所以BF=§BE,

UUD3am1

由CE=3EA可得比=48,所以SABE=7sAsc=6,

22

由斯=耳师得

故答案为：4

29.若4(4,2),3(3,5),C(5,l),点。在第一象限且4)=43+几AC，则实数2的取值范围是

【答案】(-3,5)

【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D的坐标，根据其在第一象限即可求得答案.

【详解】由题意得AB=(-1,3),AC=(1,-1),设£>(〃?,〃)，

m_

由AD=AB+AACPTM(4,n—2)=(—1,3)+A(1,-1)=(2—1,3—A),

m—4=2—1m=2+3

则故

〃-2二3—XH=5-2

故D点坐标为(几+3,5-2),由于D在第一象限,

m=2+3>0

故-3<A<5,

n=5-2>0

即实数2的取值范围是(-3,5),

故答案为：(-3,5)

四、解答题

30.如图，在一。钻中，C是AB的中点，。是线段上靠近点。的三等分点，设。4=%05=6.

⑴用向量。与b表小向量。C,C£)；

(2)若OE=goC,求证：A2E三点共线.

【答案】⑴OC=1a+6),CD=-\a-\b

2,，26

(2)证明见解析

【分析】(1)利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

(2)利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.

【详解】(1)04=。,。8=5«是48的中点，

OC=1(<9A+OB)=|(a+Z7)；

CD^OD-OC=-b--(b+a]=--a--b.

32、'26

(2)AD=OD-OA=-b-a,

3

AE^OE-OA=-x-x(a+b)-a=--a+-b=-AD

22、'444

AE与AD平行，

又AE与AO有公共点A,

・•.ARK三点共线.

31.如图,在平行四边形ABCD中,E,尸分别为边CD,4。的中点,连接AE,BF交于点G.若AG=XA8+〃AO(2,〃wR),

求X+〃的值.

E

D7C

【答案】|3

【分析】作出辅助线，结合全等和相似知识和平面向量基本定理求出答案.

【详解】如图，延长CD,BF交于点H.

因为平行四边形ABCD中，F为边AD的中点，

易证HFD^VBFA,所以=

又因为四边形ABCD为平行四边形，4B与CA平行，

所以ABG^EHG,

因为E为边CD的中点，

AGABAB2

所以无=玩丁。户,

2

221(1^12-

所以==g(AO+OE)与产+万人修=^AB+^AD=AAB+^iAD,

所以2=W1，〃=：2,所以几+〃三3.

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.正方形ABC。中，E,尸分别是边A。，DC的中点，BE与AP交于点G.贝U()

A.AG=-AB+-ADB.AG=-AB+-AD

5555

1332

C.AG=-AB+-ADD.AG==-AB+-AD

5555

【答案】A

【分析】如图，以A为原点，分别以所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,分别

利用AG,F三点共线和B,G,E三点共线结合共线向量定理可求出点G的坐标，再利用平面向量基本定理可求得结

果.

【详解】如图，以A为原点，分别以A3,AD所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

设正方形的边长为2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(0,1),F(l,2),

所以AF=(1,2),BE=(-2,1),AD=(0,2),AB=(2,0),

因为A,GI三点共线，所以存在唯一实数几，使AG=XAF=〃1,2)=(%2X),

所以G。,2㈤,

因为用G,E三点共线，所以存在唯一实数左，使BG=kBE,

\A-2=-2k2

所以(4-2,2田=依-2,1),所以”,,解得2=：,

[2/1=k5

所以AG'IT，

设AG=mAB+nAD,贝！I[H)=根(2,0)+n(0,2)=(2m,2n),

12

所以加,

12

所以43=二48+14。，

故选：A

2.如图，在，ABC中，点。，E分别在边BC和边A3上，D,E分别为3C和54的三等分点，点。靠近点8,点

E靠近点A,AD交CE于点P,设BC=a,BA=b，则BP=()

cl4

B.—a+—bZ

77

cl3,24

C.—aH—hD.—ciH—b7

7777

【答案】B

【分析】利用BA,BC表示8P，结合平面向量基本定理确定其表达式.

【详解】设AP=XA。，EP=juEC，

所以2尸=AP-AB=XAD—A3=2(2D—2A)-AB,

又BD’BC,

3

夕

所以5尸=15。+(1—2)24,

2

因为3E=§3A,

r\Qr\

所以BP=BE+EP=BA+从EC=BA+从(BC—BE)=~^(1—4)BA+从BC,

工3

—=4%=-

所以:.,解得7

--=〃=]

1414

所以8P=—8C+—8A=—a+—6,

7777

故选：B.

3.在一ABC中，G满足GA+GB+GC=O,点M满足AG=3AM，贝U()

7271

A.BM=-BA+-BCB.BM=-BA+-BC

9999

2171

C.BM=-BA+-BCD.BM=——BA+-BC

3636

【答案】B

【分析】由已知可知G为ABC的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求.

【详解】因为G满足GA+GB+GC=O,，G为一ABC的重心，

AAG=gxg(A3+AC)=g(A8+AC),

又；AG=3AM，

：.BM=BA+AM=BA+-AG=BA+-x-(AB+AC)=BA--BA+-AC

33399

=-BA+-(BC-BA}=-BA+-BC.

99V>99

故选:B.

x+2y

4.如图所示，ABC中，点。是线段BC的中点，E是线段上的动点，则BE=xBA+yBC,则——的最小值

孙

()

【答案】D

【分析】利用平面向量共线定理与线性运算即可得x+2y=l,且x>0,y>0,再结合基本不等式“1”的代换即可求

得最值.

【详解】因为点D是线段的中点，所以8C=2B£>,

又E是线段AD上的动点，贝!）可设=且几40,1]

所以3E=a4+AE=BA+2AO=BA+/l（BO-3A）=（l-/l）BA+/lBO

[1—A=x

贝！|3E=x5A+y5C=x5A+2y5O,所以〈个八，贝!）％+2y=1,且％>0,y>0

[A=2y

所以£±ZZ=_L+2=（L+2]（x+2y）=2+2+2+曳24+2/?^=8,当且仅当上=勺，即x=:,y=；时等号成

xyyxxjyxyyxyx24

立，

元+2v

所以一^的最小值为8.

孙

故选：D.

5.在，ABC中，点M是边BC所在直线上的一点，且BM=23C，点P在直线AM上，若向量

12

3P=彳54+〃3。（彳>0,〃>0）,则不+一的最小值为（）

A.3B.4C.3+20D.9

【答案】B

【分析】由题意可得8P=ZBA+："BA1,又点A,P,M三点共线，所以2+g〃=l,再利用“1”的代换，结合基本

不等式求解即可.

【详解】BM=2BC,BC=^BM,

BP=ABA+pBC=ABA+/JBM,

点A,P,M三点共线，

又A>0,〃>0,

12（12V.11°"22、c24“

4〃（4〃人2J22//

当且仅当名=2,即彳吴，〃=1时，等号成立，

Z/L〃2

12

3+一的最小值为4.

Z〃

故选：B.

6.如图，在一至。中，。是线段8C上的一点，且30=430,过点。的直线分别交直线A5,AC于点M,N,

umuuum1

^AM=AAB,A7V=〃AC（/l>0,〃>0）,则〃一行的最小值是（）

A

A

A2A/3-4R273+4r2^_n26+2

3333

【答案】A

141

【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出7-丁，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】因为三点共线，所以可设

则A£>-AM=t(AN-AD),

31

XAD=AB+BD=AB+-BC=AB+-{AC-AB)=-AB+-AC,

4444

~3131

所以_A5+_AC_AM=，(AN——AB——AC),

4444

又AM=AAB，AN=〃AC,

3131

所以一AB+—AC———AB——AC),

4444

3131

所以(一一A)AB+-AC=——tAB+t(u——)AC,

4444

-23

I4141

所以‘消去'得厂§3〃'

了=(〃_])

144

…141

所以〃一力=〃一1+“,

1411

因为4>°'得力=§一面得〃>4,

14-T42^-4立时，等号成立,

所以4+；；——->2,,当且仅当〃即"=

3/z33333

所以"T的最小值为当士

故选：A

7.在正六边形ABCDEF中，点P是..CDE内（包括边界）的一个动点，设AP=2AB+〃AF（Z〃eR）,则2+〃的

取值范围是（）

A.[L2]B.[2,3]C.[2,4]D.[3,4]

【答案】D

【详解】因为P为动点，所以不容易利用数量积来得到乙〃的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个

点的坐标易于确定,

可得：2（1,0）4|岑],£>（1,@/-；用词0,@,则A2=（1,O）,AF=H）,所以设P（x,y）,则由

AP=2,AB+juAFKTW：P丸一,〃，-^-〃；因为P在.CDE内，CE:x+A/3Y=3,CD:y[3x+y=2A/3,所以P所满

x+