2023届四川省成都市第20中高三年级上册12月考试理科数学试卷

成都市第20中2022-2023学年高三上学期12月考试

(理科数学)

满分：150分12月12日

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的).

1.已知集合A={x|(x-3)(%+1)<0},B={y|y=x24-1),则4UB等于()

A.(l,+co)B.[-1,+oo)C.(l,3]D.(—1,+oo)

2.在复平面内，复数z满足z(l+i)=2,则复数z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，样本4和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为专和划，样本标准

差分别为&和SB，样本极差分别为治和犯，则()

B

A.£j>%B,SA>S，%<ygB.%4<xB,S^>SB,yA>yB

C-xA>xB,SA<SB,yA>yBD.xA<xB,SA<SB,yA<yB

-Esme(l+sin28)..

4.若tan。=-2,则--------------=()

sind+cosO

A-gB-l2

c.—D.-

555

5.若直线l:mx-y-4m+3=0(meR)与曲线(x-2)2+(y-3)2-1有公共点，则的

取值范围为()

A.[—VB.(—一坐，亨|D.(—亭，孚)

6.如图，C,D为以AB的直径的半圆的两个三等分点,E为线段CO的中点尸为BE的中点，设

AB=a,AC=b，则方=()

*5T1->5T1->5T15fIT

A.-Q+-faB-Q+-bC-Q+-bD.-a+-b

82428444

7.下列命题中，不正确的是()

1i

A.“若一v-则a>b”的否命题为假命题

ab

B.在锐角△ABC中，不等式si九4>cosB恒成立

C.在△4BC中，若QCOSA=bcosB,则△4BC必是等腰直角三角形

D.在中，若B=60。/2=ac,则△ABC必是等边三角形

8.函数f(x)=+0)(/>0,3>0,-兀V9<0),其部分图像如图所示，下列说法

正确的有()

①3=2;②租=一告③x=辑函数/Q)的极值点；

④函数/(x)在区间(五，居)上单调递增;⑤函数/(x)的振幅为1.

A.①②④B.②③④C.①②⑤D.③④⑤

9.已知又为数列{a"的前几项和，且％=2an+1+l(neN*),%=2,则下列式子正确的是()

32021320213202132020

A-aBa,5

2022_220202022=产21c,s2021=一4+^201902021=1+22020

22

10.设&,尸2分别为双曲线三一靠=1(a>0,b>0)的左，右焦点，若双曲线上存在一点

P使得IPF/+\PF2\=2V2b,且IP&I•IPF2I=ab,则该双曲线的离心率为()

D.在

A.V2B.2C.V5

2

221

11.已知函数/'(x)=x+;%.若正实数满足/'(m-9)+/(2n)=2,则一+一的最小

1+emn

值为O

12.如图，在棱长为2的正方体力BCD-&B1GD1中,E、F、G、H、P均为所在棱的中点,

则下列结论正确的有()

①棱4B上一定存在点Q,使得QC1DiQ

②三棱锥F-EPH的外接球的表面积为87T

③过点民F,G作正方体的截面，则截面面积为38

④设点M在平面BBiGC内，且〃平面AGH,则与力B所成角的余弦值的最大值为

272

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分).

(0<%<1,

13已知实数x,y满足「y20,则3x+2y的最大值为.

.x+y<2,

14已知平面向量d=(2,0),h=(一1,2)若向量3=a+(a-b)b，则^=.(其中朗1坐

标形式表示)

15己知△4BC的内角4,B,C的对应边分别为a,b,c.若A=>=4,△ABC的面积为2倔则

△4BC的外接圆的半径为.

16已知。为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A到焦点F的距离为4,设点M为抛

物线C准线，上的动点，给出以下命题：

①若△AL4F为正三角形时，则抛物线C方程为y2=4x;

②若力M1Z于M,则抛物线在A点处的切线平分NMAF;

③若而=3FA,则抛物线C方程为y2=6x;

④若|OM|+|MA|的最小值为2g,则抛物线C方程为f=8x.

其中所有正确的命题序号是.

三.解答题(本题共6小题，共70分，写清楚必要的文字说明与演算步骤)

17.(本题满分12分)设S”为数列｛%｝的前n项和,已知a?=7,an=2ati+a2-2(n>2).

(I)证明：｛每+1｝为等比数列；

(II)求｛an｝的通项公式，并判断n,an,Sn是否成等差数列？

18(本题满分12分)某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从

男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，

如图所示.

(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？

(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，

求至少有1名男生的概率.

19(本题满分12分)如图1,在矩形4BC0中,48=4,40=2,E是CO的中点，将△4OE沿4E

折起，得到如图2所示的四棱锥Oi-ABCE,其中平面OME1平面力BCE.

(I)设尸为的中点，若M为线段4B上的一点，满足4M=求证：MF〃平面。ME;

(II)求点B到平面CDiE的距离.

20.(本题满分12分)已知椭圆C:刍+4=19>6>0)的离心率为之，椭圆C的下顶点和

»bL2

上顶点分别为当,为,且|B/2l=2,过点P(0,2)且斜率为k的直线I与椭圆C交于M,N两点.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)当k=1时，求4OMN的面积；

(III)求证：直线与直线々N的交点7的纵坐标为定值.

21.(本题满分12分)已知函数f(x)=，nx—k久(keR),g(x)=x(e*—2).

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)若g(x)-f(x)>1恒成立，求k的取值范围.

选做题(多做，做错均按照第一题计分)

22.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线

为x轴，建立极坐标系，曲线G是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线Cz是著名的

笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为p=l-sind^ee[0,27T]).

(1)求曲线G的极坐标方程，并求曲线6和曲线C2交点(异于极点)的极径；

X=tCOS5

九t为参数).若曲线C3和曲线C2相交于除极点以外的

{y=tsin^

M,N两点,求线段MN的长度.

23.(本题满分10分)设函数f(x)=|x-4|+|x-5|的最小值为?n.

(1)求m；

%1

(2)设看,其2，工36R+,且Xi+x2+x3=m.求证：-—+及一+久3_21

1+%11+%21+%34

成都市第20中2022-2023学年高三上学期12月考试

(理科数学)

满分：150分12月12日

参考答案及解析

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的).

1.【答案】B【解析】集合4={"(久一3)(x+l)40}={x|—l4x43}

B={y\y=x2+1]={y\y1}

则4UB=[—1,+8).故选：B.

2.【答案】D【解析】「z(l+i)=2\二z=七=(1於i)=1-i

・•.在复平面内复数z对应的点位于第四象限.

故选：D.

3.【答案】B【解析】观察图形可知，样本A的数据均在[2.5,10]之间，样本B的数据均在

[10,15]之间，

由平均数的计算可知当<xB,样本极差为>功

样本8的数据波动较小，故5>SB，

故选:B

4.【答案】C【解析】由题意可得：s比氏1+s讥2°)

sinO+cosO

sinO(sin'O+cos20+2sin0cosO

sinO+cosO

_sinOsinO4-cos1264-2sin61cos6

sinO+cosOsin'64-cos26

9

tandtanO+2tan0+1

=U+1tar^e+l

=—2

5

5.【答案】C

【解析】由题意，m—y—4m+3=0(m6R)

曲线(％-27+(y—3)2=1表示圆心(2,3),半径为1的圆，

圆心(2,3)到直线TH%-y-4m+3=0(mGR)的距离应小于等于半径1,

|2m—3—4m+3|________叵5

12

・.・f=^—-\即|一2m\<Vl+m,解得-g<m<华故选:C.

11+m3J

6.【答案】A【解析】因为C,D为以的直径的半圆的两个三等分点，

则且4B=2CD

又E为线段CD的中点,F为8E的中点.•.而=④(荏+确

1—1一

=+7y48

乙乙

1一一1一

=2画+函+々通

彳一1一彳一

=~^AC+~TCD+TZAB

Z4Z

1一1一1一

=AC+不48+AB

ZoZ

1一5—

=小。+448

乙C_/

51-

=8a+2b

故选A。

7.【答案】C【解析】对于C,在△ABC中，由acos4=bcosB,

利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,

・•・sin2A=sin2B

vA,Be（0,兀），.•・2A=2B或2A—2n—28,

TT

得4=B或4+B=2，

4BC是等腰三角形或直角三角形，故C错误;

8.【答案】C【解析】

根据函数/'（x）=Asin（a）x+<p）｛A>0,a>>0,-n<q）<0）的部分图像，可得振幅/=1,故

⑤正确；

12兀Ilir57r

-x-=-----——3=2,故①正确;

20)1212

结合五点法作图，2x招+9=0,二9=一胡，故②正确，

/（X）=sin（2x—患），令x=*求得/'（x）=sin（-看）=一去不是极值，故③错误;

在区间（各右）上'2x—（一等5），函数“X）没有单调性，故④错误，

故选：c.

9.【答案】D【解析】由%=2an+i+l,得%_1=2册+1（九）2）,

n

两式相减得an=2an+1—2an,即+i=-，

2

乂%=2,即=2a2+1,解得@2=矛言=402

3

所以的首项为由=2,从第二项起是以-为公比的等比数列，

2

1on-2on-2Q2020

n2=2x（2）=2）,go22=^2021,

所以%=a2q-（几〉故

选项4B不正确；

1

Sn=4-a2+a3H------Fan\=2+②

11-

=2+^x--l+l(n>2)

Q2020

故S2021=(2)+3

选项C错,D对.

10.【答案】A【解析】由双曲线的定义可得,|PFI|—|PF2||=2Q,

由|P6I+\PF2\=2y[2b,\PF1\'\PF2\=ab,

2

则有(PFJ+\PF2\Y-4|PFJ・IPF2I=8b2-4ab=4a,

即有(b—a)(2b+a)=0,

222

即有b=a,即/=a=c—a,

则c2=2a2,则e=g=V2-

11.【答案】D【解析】函数f(%)定义域为R,令g(x)=f(x)—1=%4--—1=x4--―"

1+e1+e

[-riv,1—exe%—](1—e%、/、

因为g(一式)=一％+,-x=一久+.x=-\x+I=一9(久)，

1+e1+e\14-ex)

l+?2%

所以g(x)为奇函数，又“(%)=----7>°，所以g。)在R上单调递增，

(1+。)

由f(m—9)+/(2n)=2,得f(m-9)-1+f(2n)-1=0,

所以g(m-9)+g(27i)=0,即g(?n-9)=-5(2n)=g(-2九)

所以m—9=—2n,即m+2九=9,

211(21\1/m4n\

又m>0,n>0,则一+-=一(m+2n)I-4--I=-(2+2+-+—)>

mn9\mn/9\nmJ

当且仅当一=—,且in+2n=9时等号成立，此时m=2,n=

nmz4

21o

所以一+一的最小值为2.故选:D.

mn9

12.【答案】C【解析】建立如图空间直角坐标系,

设Q(2,a,0),其中0<a<2£(0,2,0),仇(0,0,2),

所以近=(-2,2-a,0),D^Q=(2,a,-2)

若棱4B上存在点Q,使得QC1DrQ,则祝-D^Q=0,

整理得(a-+1=0,此方程无解，①不正确；

设4B的中点为K,则四边形PHKE是边长为鱼的正方形，其外接圆的半径为r=l,

又FK，底面ZBCD,所以三棱锥F-EPH的外接球的半径为R=VPT1=V2

所以其表面积为8兀，②正确；

过点E,F,G作正方体的截面，截面如图中六边形EPG7FR.

因为边长均为鱼，且对边平行，所以六边形EPG7FR为正六边形，

其面积为S=6x^xV2xV2xs出60。=3V3,③正确；

设M(x,2,z),贝IJ71^2,0,2),71(2,0,0),G(0,2,2,0),^M=(x-2,2,z-2),AG=

(-2,2,1),而=(LOT)，

设元=(x,y,z)是平面4GH的一个法向量，则忆.星=°,

m-GH—0

令z=1可得％=1,y=^,即记=(诗,1)

因为〃平面4GH,所以而iT元=0,即x+z=3,

八A7M-AB2

设与川所成角为仇则郎。=瓦研西=加23+或

当X=微时,y=2/—6%+9取最小值

所以与4B所成角的余弦值的最大值为座,④正确；

故选：C.

二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分).

13.【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立方程组解得4(1,1),

令z=3x+2y,得y=—|x+宗由图可知，当直线y=—|x+孑过A时,直线在y轴上的截距

最大,z有最大值为5故答案为:5.

14.【解析】因为2=(2,0),6=(-1,2),所以/=五+仅=(2,0)+(2,-4)=(4,一4).故答

案为：(4,-4).15.【解析】根据题意得乙心讥4=2«,把4=弃=4代入得b=2,由余弦

定理得a=Vb2+c2-2bccosA-^22+42—2x2x4x^=2圾，设△4BC的外接圆的半

径为R,由正弦定理得'一=2/?,■-R=775=2-故答案为:2.

sinA2X/

16【解析】

对于①，当4M4F为正三角形时,|4F|=\AM\,故4W与x轴平行,•••|4F|=\AM\=4,.-.F到准

1

线的距离等于314Ml=2,即p=2,故①正确；

对于②，设4(%o，yo),不妨设点4在第一象限，则尢=J2p%o,由y=J2Px.得，=PN所以

y-2Vx

%.____[2p

抛物线在人的切线的斜率k=/,所以抛物线在4处的切线方程为y-J弼=^T=(x-

2殉2x0

Xo)，・••F(£o),M(-g,2pxo),所以MF的中点为%，)显然点H在直线y-

,___[2p

质高=*=(久-殉)上，即力”为△AFM的一条中线,又由抛物线的定义，知|4F|=\AM\,

2眄

所以△?1尸M为等腰三角形，所以4H平分NMAF;故②正确；

1?n

对于③，若而=3FA,则A,M,F三点共线，且|MF|=12,由三角形的相似比可得一=上，得

164

p=3,故③正确；

对于④，设B(-p,0),则0,8关于准线对称,故=

V\AF\=4,二4点横坐标为4一与不妨设4在第一象限，则4点纵坐标为J8P-p2,故|0M|+

|M川的最小值为|AB|=J(4+号)2+8p-p2=2VH,解得p=4或p=12,由4-刍》

0,p<8,故「=4,故④正确.故答案为:①②③④.

三.解答题(本题共6小题，共70分，写清楚必要的文字说明与演算步骤)

17.【解析】⑴证明：内=7,a3=2a2-2,二a2=3,an=2a71T+1,

的=1,泮4=勺-1上2=N2),+1}是首项为2,公比为2的等比数列•

an-l+1ran-l+i

.,P?九十1

nnn+1

(2)由⑴知，an+1=2,an=2-1,Sn=-—n=2一九一2，

n+1n

n+Sn-2an=n+2-n-2-2(2-1)=0.­•n+Sn=2an,即n,an,S"成等差数

列.

18.【解析】

(1)由题可得,男生优秀人数为100x(0.01+0.02)x10=30人，

女生优秀人数为100X(0.015+0.03)x10=45人；

51

(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是------=—,

30+4515

所以样本中包含男生人数为30x白=2人，女生人数为45xJ=3人.

设两名男生为4,42,三名女生为名,之,当.

则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：

，共

{4,4}{&,BJ,{AM，MpB3),{A2,B1},{A2,B2},{A2IB3},{B1,B3},{B2IB3}10

个，

记事件C:“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的基本事件有：

(AltA2),Mi，M1(B2},{AltB3),{A2,Fi),{A2,B2},[A2,B3}^7个.

所以P(C)=4

19.【解析】(1)证明:取。花的中点N,连4N、NF,则NE=4EC,NE//EC

VEC=^AB=2,当4M=^AB=1时SM=^EC,AM//EC

则NF=AM且NF//4M,则4MFN是平行四边形,4N〃MF.

又MF/u平面Z)iAE,ANu平面QAE,则MF〃平面。/E

(2)如图，取4E的中点O,Q,连接EF,D]O.

易证EF1DQOQ1CB.

因为DiA=DXE,AO=EO,

所以5。1AE.平面MEn平面4ECB=AE,

平面OiAE1平面AECB,DiOU平面4。送，

所以％。1平面4ECB

设点B到平面CD】E的距离为d.

在Rt△。1。(:中,|0C|=VlO.lDjOI=V2,得|D]C|=2V3.

在^QEC中,|EC|=|DiE|=2,|D]C|=273,\EF\=1.

由于％T-BCE=VB-CED,,贝勺--\CB\■\CE\•\0^\=----\CE\\EF\'d.

所以d=^.

20.【解析】

解:(1)因为出$2|=2,所以2b=2,即b=1,

因为离心率为虚，所以£=立，

2a2

设c=m,则Q=y/2m,m>0,

22

又=a—b,即tn?=27n2_炉，解得7n=1或—1(舍去),

所以a=V2,b=l,c=1,

2

所以椭圆的标准方程为y二+/=1.

2,

X22_1

(2)由区+'=1得/+2(%+2)2-2=0

、y=%+2

3%2+8%+6=0

△=82-4X3X6<0

所以直线与桶圆无交点，

故AOMN的面积不存在.

(y=kx+2

(3)由题意知，直线[的方程为y=依+2,设“(3月)”％加)，则,

(2+y=1

幺=(8.)2-4x6(1+2k2)>0

=8fc

整理得(21+I)/+8依+6=0,</*22k2+1,

6

xlx2=2

2kz+l

因为直线和椭圆有两个交点，所以A=(8fc)2-24(21+1)>0,则/>|,

设7(6,九)，因为当,7,M在同一条直线上，

n+1yi+1/cX1+33

则——fc+—

mX1X1%1

因为为,T,N在同一条直线上,

H—1、2-1々々+11

则——

m%2%2%2

8k

3)=0，所以n=

.^n+1n-13(%i+x2)'.2k2+1

由于——+3-------4k+--~~=4fc+—6

mm%1%2

2k2+l

则交点T恒在一条直线y=1±,

1

故交点F的纵坐标为定值-

2

21.【解析】解:⑴函数的定义域为(0,+8),

由f(x)-6x-kx、得/(X)=k=

当kW0时J'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，函数无极值点，

当k>0时，由尸⑶=0,得％=2当0<%<附/⑶>0,当x>1时，/⑺<0,

KKK

所以/(X)在(0,£)上单调递增，在G,+8)上单调递减，

1

所以/(X)有极大值点一，无极小值点，

1

综上，当kwo口寸,f(x)无极值