高考数学一轮复习热点难点精讲精析11.1 计数原理

高考一轮复习热点难点精讲精析：

11.1计数原理

一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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1.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法

都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；

2.在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要

适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。

※例题解析※

K例』在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20,共有几种取法？

思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。

解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20,1种取法。

当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20,2种取法。

当.一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20,3种取法。

当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12,……，20,10种取法。

当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13,……，20,9种取法。

当一个加数是19时，另一个加数是20,1种取法。

由分类加法计数原理可得共有1+2+3++10+9+8+.......=100各取法。

（二）分步乘法计数原理的应用

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1.如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，

而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。

2.解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成,

才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法

计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取

※例题解析※

K例1某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。某人想先选定吉利

号18,然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一

注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？

思路解析：本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，

30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。

解答：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；

第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；

第3步：从30到36中选1个号有7种选法。

由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有15X10X7=1050注，故至少要花1050X2=2100元。

（三）两个计数原理的综合应用

K例』用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数。

思路解析：先根据条件把“比2000大的四位偶数”分类—选取千位上的数字—选取百位上的数字一

选取十位上的数字。

解答：完成这件事有3类方法：

第一步是用0做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，

只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外,

还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分类乘法计数原

理，这类数的个数有4X4X3=48个；

第二步是用2做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除

去2,1,0,只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉己经确定的首尾

两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分

步乘法计数原理，这类数的个数有3X4X3=36个；

第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类。

对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的的比2000大的四位偶数有4X4X3+3

X4X3+3X4X3=120»

注：（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分

类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具

体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使

用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分

步。

（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原

理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。

二、排列与组合

（-）排列数、组合数计算

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1.排列数公式：右边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1,最后一个因数是n-m+1,

共m个因数。公式A；=———主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；

（«-m）!

2.组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者

〃I

多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由一--写出

ml（n-m）!

注：在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的

方程都是在某个正整数范围内求解。

※例题解析※

K例』计算下列各式的值

（1）**；（2）仁工+盘:丁；（3）c；+c；+c：+c；++C

思路解析：利用排列数和组合数的公式及意义求解，（2）中注意n的取值范围。

解答：（1）方法一：

8!8!

.+4__+疝_4x8!+8!_5

-—尺—9!+9!—4X9!-9!-27'

3!4!

方法二：

父+4_44+4_5__5

―—阀-36--94-27.-27,

（2）若C；工有意义,

0<n-l<2n-3

则<0<2H-3</?+1,解得2W〃S4。

nwN*

当“=2时，有C：+C；=4;

当〃=3时，有C；+C；=7;

当”=侧，有C；+C；=ll.

c；+c；+c：+c；++G'=c；+c；+c：+c；++盘*

⑶=c：+c：+c；++小=c：+c：+c；++1>=

二*3叽S

3x2x1

(-)排列应用题

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求排列应用题的主要方法有：

(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；

(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；

(3)排列、组合混合问题先选后排的方法；

(4)相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑

元素的内部排列；

(5)不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

素排列的空当中；

(6)分排问题直排处理的方法；

(7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；

(8)定序问题除法处,理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；

(9)正难则反，等价转化的方法。

※例题解析※

K例2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，男生互不相邻；

(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人。

思路解析：无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可。但要看清是全排列还是选排列问题；

有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法。

解答：(1)从7个人中选5个人来排列，有£=7x6x5x4x3=2520种。

（2）分两步完成，先选3人排在前排，有用种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有

•父=5040种。事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件。

（3）（优先法）

方法一：甲为特殊元素。先排甲，有5种方法；其余6人有父种方法，故共有5X^=3600种。

方法二：排头与排尾为特殊位置。排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有4种方法，中间5

个位置由余下4人和甲进行全排列有用种方法，共有4X6=3600种。

（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A：种方法，再将4名女生

进行全排列，也有A：种方法,故共有A：XA：=576种。

（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应排女生，有种方法，再在女生之间及首尾

空出的5个空位中任选3个空位排男生，有用种方法，故共有A：X6=14.40利、

（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有&种方法，再从剩下的5人中选

3人排到中间，有耳种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有用种方法,

最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有8种方法，故共有&X6XA；=72O。

（三）组合应用题

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组合问题常有以下两类题型变化：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；

“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。

（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关

键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维,

用间接法处理。

※例题解析※

K例』7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

（.1）A,B必须当选；（2）A,B必不当选；（3）A,B不全当选；（4）至少有2史女生当选；（5）选

取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须男生担任，班长必须

由女生担任。

思路解析：（1）（2）属于组合问题，可用直接法；（3）（4）属于组合问题可用间接法；（5）发球先选

后排问题应分步完成。

解答：（1）由于A,B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，.•.有=120种。

（2）从除去A,B两人的10人中选5人即可，...有6：=252种。

（3）全部选法有种，A,B全当选有种，故A,B不全当选有C〉G'=£72种。

（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行求解。

...有循-GG-C；=596种选法。

（5）分三步进行：

第一步，选1男1女分别担任两个职务有种；

第二步，选2男1女补足5人有C；・C：种；

第三步，为这3人安排工作有种。

由分步乘法计数原理共有•C；・C：•A；=12600种选法。

（四）排列、组合应用题

K例》（1）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬

手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有96

种.（用数字作答）

（2）有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从

这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10,则不同的排法共有

____432____种（用数字作答）.

思路解析：（1）根据题意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后

一棒，因此应分类讨论，然后再逐类排出。

（2）根据题意，先将数字之和是10的数分类，然后再逐类安排。

解答：（1）甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方法；

乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方法；

丙传第一棒，共有•刘种方法。

由分类加法计数原理，共有A：+A：+川=96种方法。

（2）取出的4张卡片所标数字之和等于10,共有三种情况：1144,2233,1234；

所取卡片是1144的共有种排法；

所取卡片是2233的共有A：种排法；

所取卡片是1234,则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排

法+A：+C：+A：+A：=16A：种，

.•.共有排法18阂=18X4X3X2X1=432种。

注：解排列组合的应用题要注意以下几点：

（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类;

（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全

面考虑：

（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若

干简单的基本问题后用两个计数原理来解决：

（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设

计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列

组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。

（5）排列组合.综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好

的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。

三、二项式定理

（1）求特定的项或特定项的系数

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二项展开式的通项公式刀+i=,〃）集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数

的变化，它在求展开式的某些特定项（如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）.及

其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用。使用时要注意：

（1）通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；.

（2）通项公式中a和b的位置不能颠倒；

（3）展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各

项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出差错；

（4）在通项公式中共含有a,b,n,r,7；+1这5个元素，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到：知

道5个元素中的若干个（或它们之间的关系），求另外几个元素的问题。这类问题一般是利用通项公式，

把问题归结为解方程（组）或不等式（组），这里要注意n为正整数，r为非负数，且rWn

※例题解析※

1例］已知在(五-"的展开式中，第6项为常数项。

(1)求n；

(2)求含x"的项的系数；

(3)求展开式所有的有理项。

思路解析：写出展开式的通项公式f根据第6项为常数项求n-由n值令x的指数为2,求r-求出

Y的项的系数一令x的指数为整数k-根据O&rWn,r《Z,求k.一根据k值求出展开式的有理项。

n-r1r1n-2r

解答：(1)通项公式为亍(一

因为第6项为常数项，所以r=5时，有空=0,即n=10.

111

(2)令"=2,得尸=—(〃-6)=—x(10—6)=2,

322

.•.所求的系数为此(一；)2=£。

'10-2r

-T-ez

(3)根据通项公式，由题意(oWrWlO.

reZ

令华=k(k6Z)，贝ij10-2r=3k,即/-=5=2上.

32

：rGZ,；.k应为偶数。

Ak可取2,0,-2,即r可取2,5,8。所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为

Go(-g)2fCo(-g)5co(一g)8X~2-

注：(1)求二项式系数最大项：

①如果n是偶数，则中间一项(第(277+1)项)的二项式系数最大；.

2

n4-1n4-1

②如果n是奇数，则中间两项(第。项与第幺」+1项)的二项式系数相等并最大。

22

(2)求展开式系数最大项：如求(a+bx)"(ageR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法,

’A2A

设展开式各项系数分别为4,4,人,•，且第r+1项系数最大，应用｛'一I解出「来，即得系数最大项。

424+|

(二)赋值法的应用

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1.赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a.b,n的恒等式，出除

了正用、逆用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a,b取相应的特殊值，至于特殊值a,b如何选

取，视具体问题而定。

如：求(a+x)"+++x"展开式各项系数和，可令x=l,即得各项系数和

%+q+4+.%,若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x=-l,x=l,两等式相加或相

减即可求出结果。

2.“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或

几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意。

※例题解析※

24

K例》设(3x-l)，=a(]+a}x+a2x++a4x.

(1)求％+q+a2+%+%；

(2)求4+4+%；

(3)a}+%；

(4)a]+a2+a3+<a4;

(5)求各项二项式系数的和。

思路解析：本题级出二项式及其二项展开式求各系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值

来解决。

解答：(1)令X=l,得%+/+/+。3+。4=(3-1)4=16.

(2)令x=T得4-%=(-3-1)4=256,而由(1)知

/+q++“3+%=(3—1)4=16.两式相加，得4+a,+4=136。

(3)由(2)得(%+4+a,+%+包)—("o+。，+%)=%+。3=—120.

(4)令X=0得4=1,亦得4+生+。3+。4=%+4+。2+a3+。4一=16-1=15.

(5)各项二项式系数的和为C：+C：+C：+C：+C：=24=16.

(三)二项式定理的综合应用

(1)求4X6"+5”T被20除后的余数；

(2)7"+*7e+己・7储+…+C-'X7除以9,得余数是多少?

(3)根据下列要求的精确度，求1.02$的近似值。①精确到0.01；②精确到0.001。

解析：(1)首先考虑4•6