2023-2024学年湖南重点中学联考高三（上）月考数学试卷一（含解析）

2023-2024学年湖南重点中学联考高三（上）月考数学试卷（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设4=｛x|x+；W3｝,B=｛x\x2<9｝,则4nB中整数个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知母线长为5的圆锥的侧面积为20zr,则这个圆锥的体积为（）

A.127rB.167rC.247rD.487r

3.若^ABC是锐角三角形，则复数z=（cosB-sinA）+i（sinB-cos4）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知。X=d，OB=b^OC=C.OD=d>且四边形4BCD为平行四边形，贝4（）

A.a-b+c-d=0B.a-b-c+d=0

C.a.+b—c—d=0D.a+b+c+d=0

5.已知数列｛an｝的前n项和为%,若%=1，.+i=2Sn（neN*）,则有（）

A.｛斯｝为等差数列B.｛册｝为等比数列C.｛Sn｝为等差数列D.｛SJ为等比数列

6.为了保障交通安全，某地根据巡路交通安全法/规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不

得超过0.09nig/mL据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到

0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此

人在开车前至少要休息（参考数据：lg2«0.301,1g3ao.477）（）

A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4,4小时

7.已知函数/'（x）的定义域为R,设/（x）的导数是/''（%）,且/（x）•/'（X）+SEK>0恒成立，则

（）

A.华）</（一今B.展）>〃一夕

C.|展）|<1/（-=）1D.|照）|>|/（-=）|

8.若正三棱锥P-ABC满足|超+前+方|=1，则其体积的最大值为（）

A-72B.焉C.表D.焉

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题为真命题的是（）

A.若Q>b,且工>贝ijab<0B.若a<Z?<0,则小<ab<b2

ab

C.若c>a>b>0,则与<3D.若a>b>c>0,则晟〉淤

c-ac-bbb+c

10.设正方体4BCD-41B1C也中4祖,BBt,BC的中点分别为E,F,G,则()

A.乙EFG=4ZFGF

B.平面EGF与正方体各面夹角相等

C.E,F,G,%四点共面

D.四面体C-EFG,Di-EFG体积相等

11.已知函数/(x)=sin(3x+(p)(3>0)满足/(x。)=f(x04-1)=?，且/(%)在(与,%()+1)

上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是()

A./(%0+》=1

B.若%o=0,则/'(x)=sing+§

C.f(x)的最小正周期为4

D./Q)在(0,2024)上的零点个数最少为1012个

12.已知直线y=a与曲线y=已相交于4,B两点，与曲线、=华相交于B,C两点，A,B,

C的横坐标分别为%i，%2,x3,贝ij()

X2X2

A.x2=aeB.x2=lnxrC.x3=eD.x1x3>2x2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.曲线/'(X)=(x+a)e'在点(0J(0))处的切线与直线旷=一;x垂直，则。=.

14.若圆(x-I/+(y—1)2=2关于直线丫=kx+3对称，则k的值是.

15.如图，正四棱锥P-ABC。的每个顶点都在球M的球面上，侧面P4B是等边三角形.若半球

。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球。的体积与球M的体积的比

值为.

p

16.已知数列｛an｝的各项均为非零实数，其前n项和为%,%=1,且对于任意的正整数n均

布"Sn+i+Sn=an+l-

(1)若=-2,则=

(2)若。2023=-2022,则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是即=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题小.0分)

如图，在梯形/BCD中，AB//CD,/.BCD=135%BD=y/~5CD=<10.

(1)求sin/CBD的值;

(H)若△48。的面积为4,求力。的长.

18.(本小题12.0分)

已知数列｛斯｝满足的=；，当nN2时，%=昭；；1.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵证明:警+篙+……+郎

19.(本小题12.0分)

如图，在多面体2BCDE尸中，四边形4BCD为正方形，AF1平面ZBCD,AF//DE,AB=AF=

2DE=2,M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面a与FC,EC分别交于P,Q两点.

(1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ,并说明P,Q的位置及作法理由；

(2)线段BF上是否存在点“，使得直线AC与平面a所成角的正弦值为濡？若存在，求出MB的

长；若不存在，请说明理由.

E

M

20.(本小题12.0分)

2022年8月9日，美国总统拜登签署Q022年芯片与科学法案》.对中国的半导体产业来说，

短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新

的更强爆发力和持久动力.某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元(a>0),现为加大

对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(％e

N且100<%<275),调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%,技术人员的年人均投入调整

为a(zn—样)万兀.

(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的

研发人员的人数最少为多少人？

(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时

满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的

年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数m,满足以上两个条件，若存在，求出m的

范围；若不存在，说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点七,尸2在x轴上，离心率为5点P在C上，且AP&F2的

周长为6.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M(4,0)的动直线呜C相交于4B两点，点B关于x轴的对称点为D,直线4。与x轴的交

点为E,求AABE的面积的最大值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(》)=(%—a)(ex+1),g(x)=axlnx+%+e-2(a6R),设?表示九的

最大值，设F(x)=?nax{/(x),g(x)}.

(1)讨论/''(>)在(0,+8)上的零点个数；

(2)当x>0时F(x)20,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A=[x\x+^<3},B-{x\x2<9}={x|-3<x<3},

.♦・集合B中元素包含的整数有-3,-2,-1,0,1,2,3.

以上整数满足集合4中不等式的有-3,-2,-1,1,2,

故ACB中整数个数为5,

故选：D.

由题意，先求出集合B,可得B中的元素，带入集合4中检验，可得力CB中整数个数.

本题主要考查不等式的解法，求集合的交集，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r,高为九，

•••圆锥的侧面积为20兀，

:.5nr=20TT,:.r=4,

:*h=V25—r2=3，

•1•V=g兀r2fl=x16x3=167r.

故选:B.

根据圆锥的侧面积与体积公式，即可求解

本题考查圆锥的侧面积与体积公式，方程思想，属基础题.

3.【答案】B

【解析】【分析】

根据三角形是锐角三角形，得到A+B>90。，变形为B>90。-4根据三角函数在第一象限的单

调性，得到cosB<sinA,sinB>cosA,判断出复数对应的点的位置.

本题考查复数和三角函数的问题，复数的几何意义，属于基础题.

【解答】

解：•••△4BC为锐角三角形，

+90°,B>90°-4

•••cosB<sinA,sinB>cosA,

:,cosB—sinA<0,sinB—cosA>0,

.•・Z对应的点在第二象限.

故选：B.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查向量的运算，解题时要结合实际情况注意公式的灵活运用，属于基础题.

观察四个选取项，由题设条件知五一3+1-2=瓦？+而=6.

【解答】

解：,•,在平行四边形4BC0中次=a,OB=b,OC=c,OD=d，

.-.-a-b+c-d=BA+DC=O.

故答案选：4.

5.【答案】D

【解析】解：由题意，数列｛5｝的前n项和满足0n+i=2S“(neN*),

当n岂2时，有厮=25.-1，两式相减可得：

aa

n+l~n—2(Sn-S^-i)=2an,即即+1=3an>

则有等l=3(nN2),又为=1,

an

当n=1时,a2=2sl=2,所以詈=2,

所以数列｛即｝的通项公式为即=A';2!,2，

故数列｛册｝既不是等差数列也不是等比数列，

71

当九二2时，Sn=；an+1=3T,

又九=1时，Si=0i=l,适合上式，

所以S九=3nT,n£N*,

又由铲=3,可得数列｛Sn｝为公比为3的等比数列，

综上可得选项。正确.

故选：D.

由递推式的=1,an+1=2S.可推得式为即=《工二』’球可判定4B选项；根据条件得出%=

3f可判定CD选项.

本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：设经过久小时，血液中的酒精含量为y,

则y=0.3x(1-25%尸=0.3x0.75x,

由0.3x0.75x<0.09,得0.75*<0.3,

则Mg0.75<lg0.3,

mdiri-co、i、lg03lg3—l0.477—1523..4r

因为00.75<0,所以X200.75=Ig3-lg4"0.477-0.602=125=4-41845s兔2，

所以开车前至少要休息4.2小时，

故选:B.

设经过x小时，血液中的酒精含量为y,由题意可知y=0.3x0.75L再令yW0.09结合对数的运算

性质求出x的最小值即可.

本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题.

7.【答案】D

【解析】解：设g(x)=/(为-2cosx,

/(x)•f(x)+sinx>0恒成立，

g'(x)=2/(x)•f(x)+2sinx>0,

y=g(x)在定义域上是增函数，

-*)>。(一》

即严《)>尸(-9

•••1/(？)1>l/(-?)|.

故选：D.

构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性比较大小，即可求解.

本题考查导数的综合应用，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小，

属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：设正三棱锥的底边长为a,侧棱长为b,

aa

■.■l=\AB+AC+AP\2=a2+a2+b2+2a2xl+2abxj+2abxj=5a2+b^

又名-ABC=I-SA.BC,h=g1a2・Jb2-^a2=3a4-16a6<0<a<?,

设/(x)=3x4—16x6,o<x<?,

353

则/''(>)=12x-96x=12x(l-8x2),0<x<£?,

二当x6(0,华)时，/'(%)>0,/(x)单调递增；

4

当X时，f(x)<0,f(x)单调递减，

在(0,?)上存在唯一的极值点％=?,且在％=?时取得最大值为奈

故正三棱锥P-4BC体积的最大值为表.

故选：C.

先根据向量数量积的运算的性质，三棱锥的体积公式，建立函数模型，最后利用导数即可求解.

本题考查三棱锥的体积的最值的求解，函数建模，导数的应用，函数思想，属中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于A,--1=>0»又b-a<0,故ab<0,A正确.

abab

对于8,若Q<bvo,则。2>人2,故3错误.

“羊ab_ac-ab-bc+ab_(a—b)c

''c-ac-b(c—a)(c-b)(c-Q)(c-b)'

由c>a>b>0可得c—a>0,c—b>0,a—b>0,

・•.(Jc-喘a)(c—b)>0,—c—a>Ac—'bC错误.

对于D,a>b>c>0,・,・Q-b>0,b+c>0

.aa+c_ab-\-ac-ab-bc_(a-b)c

则rn石一石=b(b+c)=通而>①n

.•.?>手，O正确.

Db+c

故选：AD.

由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.

本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：正方体4BCD-&BiGDi中4/1，BBi，BC的中点分别为E,F,G,

不妨设正方体的棱长为2a,

则FG=y/~2a<EF=y/~2a<EG=V_6a>

2a2+2a2—6a21

所以COSNEFG

2x7~2czxV~2a

从而乙EFG=120°,乙EGF=30°,故4EFG=4乙EGF,故A正确;

由于平面EG/7/平面6:。1当，又平面CD】位的一个法向量亦与正方体各面的夹角相等，

即平面EGF与正方体各面夹角相等，故B正确：

由于FG与ED1异面，••.E,F,G,久四点不共面，故C错误；

由于CD1〃平面EFG,；.C、劣到平面EFG距离相等，故选项。正确.

故选：ABD.

对于A,设正方体的棱长为2a,推导出NEFG=120°,4EGF=30°,从而4EFG=4"GF；对于B,

由于平面EGF〃平面CD$i，平面CDiBi的一个法向量与正方体各面的夹角相等，从而平面EGF

与正方体各面夹角相等；对于C,FG与EDi异面；对于D,C£）i〃平面EFG,从而C、久到平面EFG

距离相等.

本题考查正方体结构特征、二面角定义、异面直线、四面体体积等基础知识，考查运算求解能力，

是中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：对于4项，由题意得，f（x）在（而,与+1）的区间中点处取得最大值，

所以〃笔里）=/（&+》=],所以A正确；

对于B项，假设若£（）=0,则/'（X）=sin（兀x+.）成立，由4项知，腐）=1）

而而/©）=si得=好于1，故假设不成立，则B项错误；

对于C项，f（沏）=f（殉+1）=亨，且f（x）在（右,沏+1）上有最大值,无最小值,

不妨令3%o+9=—3兀+2々兀，3（%o+1）+。=*+2/CTT,k6Z,

则两式相减，得3=M即函数的最小正周期7=3=4,故C项正确；

N0）

对于。项，因为T=4,所以函数〃x）在区间（0,2024）上的长度恰好为506个周期，

当/（0）=0,即9=kn,keZ时，/（%）在区间（0,2024）上的零点个数至少为506x2-1=1011个,

故。项错误.

故选AC.

根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案.

本题考查三角函数的性质的应用及函数的零点的求法，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：直线y=a与曲线?二宗相交于4,8两点，与曲线、=等相交于B,C两点，A,B,

C的横坐标分别为%1，%2»%3,

设/(%)=，得「(%)=宗,%e(-00,0),f'(x)>0,函数是增函数,xE(l,+oo),/\%)<0,

函数是减函数，则/(X)max=/⑴=

设g(x)=号，得g'(x)=1；产，XG(0,e),g'(x)>0,函数是增函数，xG(e,+oo),g'(x)<0,

函数是减函数，则g(X)max=/(e)=；，

从而可得0</<1<%2<e<与•由急■=a，得亚=ae*,故A正确；

由爵=若，得含=表荔，即/'(/)=f((nx2),又°</<1<X2<e,得°<lnx2<1,则与=

仇》2，故B错误；

由苗=臂1，得当黄n?11，即g(e”2)=。(句),又由1V工2VeV%3，B|JeX2>e,则/2=》3，故

C正确；

由前面知％1=伍》2，。“2=X3，得=e叼兀％2，又由焉=丹亭=。，得e*2=*lnx2=ax2»

则％i%3=据，%i+x3>2yj%i%3=2^2•故D正确.

故选：ACD.

通过构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，推出%1，%2,％3,的范围，

利用已知条件，判断选项的正误即可.

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数的零点的应用，是难题.

13.【答案】1

【解析】解：由/(%)=(%+a)e，得/(%)=(%+a+1)靖，

"(0)=a+1,

•••/(x)在点(0J(0))处的切线与直线y=-"x垂直，

a+1=2,解得a=1.

故答案为：1.

求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，利用两直线垂直与斜率的关系列式求解a值.

本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题.

14.【答案】-2

【解析】解：由题意知直线y=kx+3过圆心（1,1）,即l=k+3,

解得k=-2.

故答案为：-2.

根据题意可得直线y=kx+3过圆心（1,1）,由此得解.

本题考查圆关于直线的对称问题，属于基础题.

15.【答案】二

18

【解析】【分析】

本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力.

连接尸0,BD,取CD的中点E,连接PE,0E,过。作1PE于H.说明P。_L底面4BCD,设4B=4,

求出P。，设球M的半径为R,半球。的半径为R°.则R=2，2然后转化求解半球。的体积与球M的

体积的比值.

【解答】

解：如图，连接P。，BD,取C0的中点E,连接PE,0E,过。作。H1PE于从易知P。，底面ABCD,

设4B=4,则BD=VBA2+BC2=4。，BO=\BD=2「，P0=VBP2-BO2=2\T2-

则。为球M的球心，

设球M的半径为R,半球。的半径为Ro.则R=2n.易知岛=0H.

在等边三角形PCD中，PE=V42-22=2/3

由Rt△PHOsRt△POE

则立="="

RPOPE<3

3

故“手球°=）竽=工（血）3=£3

V球M衅2（R）18-

故答案为:

16.［答案】2爆餐与黑之2023（答案不唯一）

【解析】解:（1）由已知,当ri=2时，有2。1+2a2+劭=送，

又的=1,%=-2，代入上式，解得g=2;

（2）由已知，Sn+i+Sn=W+i,得2s〃=W+i—an+i，

a

当71>2时，2tln=2（S九—Sn-i）=—0n+l）—（W-n）»

即（％i+l+%1）（%1+1——1）=。，所以%i+i=—Qn或％i+l=+1，

又％=1,CI2023=—2022,所以％,=2023（答案不唯一）•

由%=1,。3=—2及Sn+i+Sn=W+i可求得的值；再由递推式经过变形代换，可得出即+1

-与或许+1=an+1,任选一种关系即可写出通项公式.

本题考查了由数列递推式求数列通项的方法，属中档题.

17.【答案】解：（1）在48。0中，由正弦定理知，—^-=—

''sinzFCDs\nz.CBD

所以BD-sin以CBD=CD-sinzBCD,

因为NBCO=手BD=V_5CD=CU，

即sin/CBO=彳

（H）因为sin/CBO=号"所以COSNCBOJ'］。,

所以sin/ABD=sin（；-乙CBD）=?，

所以cos乙4B0=得■2

因为SAABD=-BD-sin^ABD=4,所以AB=4口,

所以A£>2=AB2+BD2_2AB-BD-cosz.ABD=10,

所以AD=V^LO.

【解析】（/）由已知结合正弦定理即可直接求解；

（〃）由已知结合和差角公式及三角形面积公式可先求力B,然后结合余弦定理可求.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.

18.【答案】解：（1）因为a.二四陪1，

所以（几+l）an=7m71T+1,

即（n+l）an-几an_i=1,

所以数列｛（九+1）Q"为等差数列，其中首项为2al=1,公差d=l,

所以（九+1）（1n=71,

所以…备

2

⑵证明：因为蜉=黯=1+康=】+*;—£),

所以舒+砥+…+郎=[l+XlV)]+[l+XA》*“+[l+l_+)]=n+Xl+A

击一击)<n+*

【解析】(1)根据条件可得数列｛(7i+l)aj为等差数列，从而可得数列｛。"的通项公式;

(2)采用裂项相消法求和可证结论.

本题考查了数列的递推式和数列的求和，属于中档题.

19.【答案】解：(1)如图，取P为FC的中点，Q为EC靠近点E的三

等分点，理由如下：

•••四边形ABCD为正方形，.•.4D〃BC,又BCu平面FBC,力。C平

面FBC,

40〃平面FBC,又平面ADMn平面FBC=MP,M为FB的中点，

.-.AD//MP,且P为FC的中点.

由题意知，平面ABF〃平面。CE,平面ADMn平面DCE=CQ,

又AM平分NR4B,.••£)(?平分㈤)C,

又霁=：,；.Q为EC的三等分点，且QC=2EQ,从而作出线段PQ；

(2)由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,

则4(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),B(2,0,0),Z)(0,2,0),

：.BF=(-2,0,2).AD=(0,2,0)-AC=(2,2,0).

设询=4前(0<4S1).则M的坐标为(2-24,0,2/1).

设平面ZMM的法向量为沅=(x,y,z),

m-AM=(2-2A)x+22z=0m一八…i

则一一i'，取沆=(1,0,1—勺,

m•AD=2y=0'

设直线4c与平面a所成角为6,则sin。=|cos(沆,J?〉|=兽缥,

假设存在点M使得直线4c与平面a所成角的正弦值为分,

\m-AC\2/TO1

则有丽=2、D.J[(I子)2==，解得；1=：，MB=-y

••・线段BF上存在点M,位于靠近点B的三等分点处，使得直线4c与平面a所成角的正弦值为唱I

【解析】(1)根据线面平行的判定定理，面面平行的性质定理，即可求解；

(2)建系，利用向量法向量夹角公式，方程思想，即可求解.

本题考查线面平行的判定定理，面面平行的性质定理，线面角的求解，属中档题.

20.【答案】解：(1)某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元(a>0),现为加大对研发工作

的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(xeN且1004支〈

275),调整后研发人员的年人均投入增加(4乃％,技术人员的年人均投入调整为a(m-1|)万元,

可得调整后研发人员的年人均投入为[1+(4x)%]a万元，

则(400-x)[l+(4x)%]a>400a,(a>0),整理得0.04加一15%<0,

解得0WXW375,

因为x€N且100WxW275,所以100WxW275,故125W400-xW300,

所以要使这(400-x)名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的

研发人员的人数最少为125人；

(2)由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得(400-x)[l+(4x)%]a>

上式两边同除以ax得(处-1)(1整理得m<—+^+15；

XZbXZb

由条件②由技术人员年人均投入不减少，得a(m-|f)2a,解得血之||+1；

假设存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，

即哈=绊+或+15(100<x<275)恒成立,

因为处+今+15>2I--^+15=231

x257x25

当且仅当竺2=白即》=100时等号成立，所以mW23,

x25

又因为100WxW275,当x=275时，|1+1取得最大值23,所以m223,

所以234mW23,即m=23,

即存在这样的m满足条件，其范围为me{23}.

【解析】(1)根据题意,得到(400-x)n+(4x)%]aN400a,解得0Wx4375,结合条件1004

x<275,可求得125W400-XS300,由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；

(2)由条件①得mW第+摄+15,由条件②得m211+1,假设存在加同时满足以上两个条件,

则上述不等式恒成立，进而求得234机工23,即TH=23,故确定存在且?n6{23}.

本题考查了利用给定函数模型解决实际问题，属于中档题.

21.【答案】解：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为盘+5=1,

••1△PF/2的周长为6,则|P0|+\PF2\+IB&I=6,

:.2a+2c=6,即a+c=3.

于是2c+c=3,解得c=l,则a=2,b=Va2-c2=

・••楠圆C的标准方程是1+4=L

43

(2)设直线，的方程为％=ty+4(tH0),/孙力)，

'%=ty+4

联立2，消去工整理得(3/+4)必+24"+36=0.

(T+yT=1

i.24t36

则mi为+?2=一环,%丫2=滔3

,:点B,D关于%轴对称,则0。2，-、2)•设点E(Xo,0)，

・••4,E,D三点共线，则心£=岫£，即悬；=温，

人1人0人2人0

即%(%2-X。)=一-X。)，即%%2+丫2尤1=&(%+%)，

俎v.当丫2+，24yKty2+4)+y2(tyi+4)

将°一Xi+y2-丫1+及

=21〉小2+4。1+丫2)=2tyj2+4=2tx36=

当+为_yi+y224tT_.

.••点E(l,0)为定点,\EM\=3.

SXABE~BAAME—SABMEI=]|EM|.—HI―31+y?)、-4yly2

_3I(24t、24x36_18Vt2-4

=2y/一互。=3t2+4°

________r_18m18m_18_9_3口

令V[2-4=m(m>0),则％48E=3(*+4)+4=3m2+16=嬴逅-7T不=~，

mJ3m-m

当且仅当机=亨时取等号，・•.△ABE的面积的最大值为手.

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【解析】(1)根据离心率的公式、椭圆定义和a2=b2+c2,求a,b,c即可得到椭圆方程；

(2)设直线，的方程，联立直线，和椭圆方程，根据韦达定理、力，E,。三点共线和点B点。关于光轴

对称，得到点E(1,O)，然后利用割补的思路得到S-BE=岑百，最后利用换元和基本不等式的

方法求最值即可.

本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲